曾艷妮，黃振東，邢　婧

（湖北經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北武漢430205）

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數(shù)學(xué)文化滲透大學(xué)數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)案例

曾艷妮，黃振東，邢婧

（湖北經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北武漢430205）

摘要：數(shù)學(xué)文化教育對(duì)大學(xué)數(shù)學(xué)教育有非常重要的作用和意義，但是如何在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中巧妙的融入數(shù)學(xué)文化值得研究，本文通過(guò)五個(gè)具體的教學(xué)案例說(shuō)明在教學(xué)過(guò)程中主要從知識(shí)背景、數(shù)學(xué)歷史、相關(guān)趣味典故、欣賞數(shù)學(xué)之美、數(shù)學(xué)中的哲學(xué)思想等方面挖掘數(shù)學(xué)文化素材，滲透數(shù)學(xué)文化，以有效提升數(shù)學(xué)教學(xué)效果，開(kāi)闊學(xué)生視野、提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)文化；數(shù)學(xué)；教學(xué)；案例

數(shù)學(xué)文化有著豐富的內(nèi)涵，基于數(shù)學(xué)文化的普遍定義，綜合學(xué)者們的研究成果，數(shù)學(xué)文化除了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的內(nèi)容即作為科學(xué)的數(shù)學(xué)內(nèi)容外還包括作為文化層面的數(shù)學(xué)，概括起來(lái)主要有數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)的價(jià)值觀、數(shù)學(xué)的知識(shí)體系、數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)與其它學(xué)科的交叉與融合等等。學(xué)者們都認(rèn)為數(shù)學(xué)文化是人類文化的一部分，不僅具有文化價(jià)值而且具有育人功能，恰當(dāng)好處地將數(shù)學(xué)文化滲透在數(shù)學(xué)教學(xué)中可以使學(xué)生在學(xué)習(xí)原有數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)開(kāi)闊視野、增加學(xué)習(xí)趣味性、提高數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)、提升學(xué)習(xí)積極性，使課堂教學(xué)更加高效，所以數(shù)學(xué)文化教育對(duì)大學(xué)數(shù)學(xué)教育有著重要意義和作用。下面通過(guò)幾個(gè)案例說(shuō)明數(shù)學(xué)文化滲透大學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的方法和途徑。

一、教學(xué)內(nèi)容的引入注重知識(shí)背景的闡述，揭示知識(shí)的發(fā)展歷程。

案例一：微積分發(fā)展史融入微積分教學(xué)

微積分的理論體系嚴(yán)謹(jǐn)而循序漸進(jìn)，步步深入、環(huán)環(huán)相扣，而其發(fā)展史卻曲折艱辛，數(shù)學(xué)的發(fā)展史中是先有微積分，再有極限理論。倘若學(xué)生打開(kāi)課本就直接正式接觸成熟的理論使得對(duì)這門(mén)課程認(rèn)識(shí)模糊，則不清楚為什么要學(xué)這門(mén)課程，這門(mén)課程是為解決什么核心問(wèn)題而產(chǎn)生，更不知道這門(mén)課程如何發(fā)展起來(lái)的。這有悖于學(xué)習(xí)的認(rèn)知規(guī)律，所以在微積分學(xué)習(xí)之前，介紹微積分的發(fā)展史有利于學(xué)生總體上對(duì)這門(mén)課程有一個(gè)初步的理解和認(rèn)識(shí)，從心理上接受并愿意探究這門(mén)課程。

數(shù)學(xué)的發(fā)展源于社會(huì)環(huán)境的力量，16世紀(jì)下半葉，歐洲文藝復(fù)興使得科學(xué)技術(shù)迅猛發(fā)展，生產(chǎn)力空前提高，航海、工商業(yè)和工程建筑設(shè)計(jì)都發(fā)達(dá)起來(lái)，研究物體的運(yùn)動(dòng)和變化成為迫切需要研究的課題，概括起來(lái)形成了四個(gè)核心問(wèn)題：瞬時(shí)速度問(wèn)題；曲線的切線；函數(shù)極值問(wèn)題；求積問(wèn)題（曲線長(zhǎng)度、圖形面積等）。前三個(gè)問(wèn)題的解決導(dǎo)致微分學(xué)的產(chǎn)生，第四個(gè)問(wèn)題的解決導(dǎo)致積分學(xué)的產(chǎn)生。17世紀(jì)十多位數(shù)學(xué)家為微積分的創(chuàng)立做了開(kāi)創(chuàng)性的研究，解決了許多本來(lái)認(rèn)為束手無(wú)策的難題，其中核心人物牛頓和萊布尼茨以無(wú)窮小概念為基礎(chǔ)試圖建立微積分理論，但是由于對(duì)無(wú)窮小認(rèn)識(shí)不清導(dǎo)致了很多悖論引發(fā)第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。雖然微積分理論不嚴(yán)密，但從17世紀(jì)末到19世紀(jì)初，微積分理論依然被廣泛而有效地應(yīng)用于物理、天文等領(lǐng)域，并取得了豐碩的成果。后來(lái)經(jīng)過(guò)兩百多年眾多數(shù)學(xué)家的努力，直到19世紀(jì)初，法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西建立了嚴(yán)格的極限理論，后來(lái)德國(guó)數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯等加以完善，從而形成了嚴(yán)密的實(shí)數(shù)理論，由此微積分理論的嚴(yán)密性無(wú)懈可擊。

在學(xué)習(xí)的過(guò)程中可以布置學(xué)生課外拓展閱讀數(shù)學(xué)史上著名的三次危機(jī)，了解危機(jī)的產(chǎn)生、發(fā)展、解決；查閱了解牛頓、萊布尼茲等數(shù)學(xué)家的生平事跡，學(xué)習(xí)他們的思維方法，數(shù)學(xué)精神等。

二、挖掘教學(xué)內(nèi)容背后的文化素材

案例二：數(shù)列極限的概念學(xué)習(xí)中利用數(shù)學(xué)文化素材

數(shù)列極限概念的學(xué)習(xí)是一個(gè)由淺入深的過(guò)程，為了給學(xué)生以直觀的認(rèn)識(shí)和深刻的體會(huì)，可以介紹我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中利用圓內(nèi)接正多邊形計(jì)算圓面積的方法——割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”。將割圓術(shù)的方法通過(guò)動(dòng)畫(huà)演示顯現(xiàn)，借助多媒體讓學(xué)生直觀感受內(nèi)接正多邊形面積逐步逼近圓面積的過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)從有限分割到無(wú)限接近的思想飛躍，進(jìn)而引入數(shù)列極限概念。

同樣，還可以借助我國(guó)古代的“截杖問(wèn)題”引入極限。

極限概念形成后，教師可以啟示學(xué)生極限思想在實(shí)際中的應(yīng)用，利用極限思想考慮某些數(shù)學(xué)問(wèn)題往往會(huì)有豁然開(kāi)朗的思路。如被數(shù)學(xué)教育家G·波利亞稱為“由來(lái)已久的難題”的問(wèn)題：兩人坐在方桌旁，相繼輪流往桌面上平放一枚同樣大小的硬幣。當(dāng)最后桌面上只剩下一個(gè)位置時(shí)，誰(shuí)放下最后一枚，誰(shuí)就算勝了。設(shè)兩人都是高手，問(wèn)先放者勝還是后放者勝？G·波利亞的巧妙解法是“一猜二證”：猜想（把問(wèn)題極端化）如果桌面小到只能放下一枚硬幣，那么先放者必勝。證明（利用對(duì)稱性）由于方桌有對(duì)稱中心，先放者可將第一枚硬幣占據(jù)桌面中心，以后每次都將硬幣放在對(duì)方所放硬幣關(guān)于桌面中心對(duì)稱的位置，先放者必勝。從波利亞的精巧解法中，我們可以看到，他是利用極限的思想考察問(wèn)題的極端狀態(tài)，探索出解題方向或轉(zhuǎn)化途徑。

課后可以讓學(xué)生進(jìn)一步利用數(shù)列極限思想查閱Koch雪花曲線試著求其周長(zhǎng)面積、Sierpinski三角形的形成等，進(jìn)而延伸了解有關(guān)分形圖的有關(guān)知識(shí)，體味數(shù)學(xué)的圖形美。

三、引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)欣賞數(shù)學(xué)之美

案例三：泰勒級(jí)數(shù)的學(xué)習(xí)中融入最美的數(shù)學(xué)等式——?dú)W拉公式

在微積分的發(fā)展歷程中，將復(fù)雜函數(shù)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)具有重要意義，這一節(jié)內(nèi)容學(xué)習(xí)完畢后，我們可以應(yīng)用所學(xué)的知識(shí)將函數(shù)用麥克勞林級(jí)數(shù)公式展開(kāi)得到著名的歐拉公式，令可得，此公式曾獲得“最美的數(shù)學(xué)等式”稱號(hào)，它的令人驚嘆之處在于將數(shù)學(xué)里最重要的幾個(gè)數(shù)字聯(lián)系到了一起：兩個(gè)超越數(shù)——自然對(duì)數(shù)的底e和圓周率π，兩個(gè)單位——虛數(shù)單位i和自然數(shù)單位1，以及被稱為人類偉大發(fā)現(xiàn)之一的0。此公式將這幾個(gè)看似毫無(wú)關(guān)系的數(shù)字如此自然而巧妙地寫(xiě)成一個(gè)如此簡(jiǎn)單的式子，甚稱“天作之合”！還有人理解0，1代表算術(shù)、e代表分析學(xué)、π代表幾何、i代表代數(shù)，一個(gè)公式將四個(gè)數(shù)學(xué)分支聯(lián)系在一起，冥冥之中早已存在于宇宙中！因此數(shù)學(xué)家評(píng)價(jià)它為“上帝創(chuàng)造的公式”，這充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美，使人為之深深地震撼！

凡是數(shù)學(xué)中奇妙的有規(guī)律的讓人愉悅的美的東西，我們都可以稱之為數(shù)學(xué)美，它是自然美中的一部分，是科學(xué)美學(xué)的核心，數(shù)學(xué)之美還有很多種，如圖形之美、語(yǔ)言之美、符號(hào)之美、結(jié)果之美、解題方法之美等等，這些美是含蓄而深邃的，需要一定的功底才可以被發(fā)掘的，所以教師在講課過(guò)程中要善于引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)欣賞數(shù)學(xué)之美，一旦學(xué)生理解體會(huì)到了這些美，才會(huì)被數(shù)學(xué)深深吸引，才會(huì)有興趣有熱情去探索數(shù)學(xué)。

四、學(xué)習(xí)過(guò)程中增加數(shù)學(xué)典故，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，開(kāi)闊視野

案例四：無(wú)窮大的理論學(xué)習(xí)中講解有限與無(wú)限的有關(guān)典故

無(wú)窮大是一種特殊形式的極限，學(xué)習(xí)了極限的概念后便可以從形式上給出無(wú)窮大的定義，但是如何讓學(xué)生深刻的理解無(wú)窮大，還需要教師多做一些設(shè)計(jì)，不妨講講與無(wú)窮大相關(guān)的典故，打打比方幫助學(xué)生理解無(wú)窮大的本質(zhì)。

例如《西游記》中，孫悟空一個(gè)筋斗翻十萬(wàn)八千里，可是他卻依然翻不出如來(lái)佛的手掌心。這里孫悟空不管筋斗翻得多遠(yuǎn)，始終是個(gè)有限數(shù)，而如來(lái)佛法力無(wú)邊不妨將他的手掌看成無(wú)窮大，孫悟空每翻一個(gè)筋斗眼看要逃出如來(lái)佛手心的時(shí)候，如來(lái)佛的手又變大一點(diǎn)，再翻一個(gè)再大一點(diǎn)，……，如此一來(lái)永遠(yuǎn)也逃不出去！于是無(wú)窮大可以理解為要它有多大它就有多大，無(wú)窮大是個(gè)變量！

再如希爾伯特的旅館：說(shuō)是數(shù)學(xué)家希爾伯特開(kāi)了一個(gè)空間旅館，旅館有無(wú)窮多個(gè)房間，每個(gè)房間都住了一個(gè)客人，這時(shí)又來(lái)了k個(gè)客人，依然要求每人住一間房，如何安排？又來(lái)了一個(gè)團(tuán)，有無(wú)窮多個(gè)客人，該怎樣安排？又來(lái)了無(wú)窮多個(gè)團(tuán)，每個(gè)團(tuán)都有無(wú)窮多個(gè)客人，又該如何安排？通過(guò)分析答案發(fā)現(xiàn)無(wú)論來(lái)多少個(gè)客人，這個(gè)奇特的旅館始終能裝下，就是說(shuō)無(wú)窮大中含有無(wú)窮個(gè)無(wú)窮大！

這對(duì)學(xué)生深刻理解無(wú)窮的含義和本質(zhì)，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的奇妙和魅力有很好的促進(jìn)，課后還可以進(jìn)一步要求學(xué)生收集資料找出有限與無(wú)限的區(qū)別與聯(lián)系，布置學(xué)生看《從一到無(wú)窮大》、《奇妙的無(wú)窮》等拓展數(shù)學(xué)文化的書(shū)籍。

五、在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中體會(huì)哲學(xué)的思想

案例五：數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)學(xué)習(xí)中插入“飛矢不動(dòng)”悖論

無(wú)窮多項(xiàng)相加到底有沒(méi)有和，這便是級(jí)數(shù)要解決的問(wèn)題，對(duì)這個(gè)知識(shí)的學(xué)習(xí)不妨介紹一下“飛矢不動(dòng)”悖論。公元前五世紀(jì)，以詭辯著稱的古希臘哲學(xué)家芝諾（Zeno）用他的無(wú)窮、連續(xù)以及部分和的知識(shí)，引發(fā)出一系列關(guān)于運(yùn)動(dòng)不可分性的哲學(xué)的悖論，人們通常稱之為芝諾悖論?！帮w矢不動(dòng)”悖論是其中之一。從數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)分析這個(gè)悖論，射出去的箭“動(dòng)”是顯然的，“靜”可以理解為將箭走過(guò)的位移分成無(wú)窮多份，每份都是無(wú)窮小，箭在每一個(gè)瞬間都有一個(gè)固定的位置，或者說(shuō)每一個(gè)瞬間基本是沒(méi)有位移的，這就產(chǎn)生了悖論。通過(guò)對(duì)悖論的破解引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)時(shí)間的連續(xù)性，量變引起質(zhì)變等哲學(xué)思想。

關(guān)于無(wú)窮多項(xiàng)相加在數(shù)學(xué)的歷史中還有過(guò)不少悖論，如阿基里斯追不上烏龜悖論等，學(xué)習(xí)了數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)后可以讓學(xué)生查閱書(shū)籍收集這方面的悖論，并用學(xué)過(guò)的知識(shí)逐一破解。通過(guò)這種方式加深對(duì)知識(shí)的理解，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，體會(huì)哲學(xué)思想。

六、注重理論聯(lián)系實(shí)際，在應(yīng)用中傳承數(shù)學(xué)文化

案例六：離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的實(shí)際應(yīng)用

保險(xiǎn)金問(wèn)題：交強(qiáng)險(xiǎn)是汽車(chē)保險(xiǎn)中必買(mǎi)的險(xiǎn)種，假設(shè)每次事故財(cái)產(chǎn)損失平均賠付500元，人員傷亡平均賠付3萬(wàn)元，某型家庭自用車(chē)，每年繳納交強(qiáng)險(xiǎn)金額為950元.據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分析，該型車(chē)一年內(nèi)發(fā)生交通事故導(dǎo)致財(cái)產(chǎn)損失和人員傷亡的概率為分別0.2958和0.0182。問(wèn)：一輛該型車(chē)，保險(xiǎn)公司年平均收益為多少呢？

設(shè)保險(xiǎn)公司年收益為X，首先寫(xiě)出X的分布律:根據(jù)題目給出的條件，當(dāng)發(fā)生交通事故以0.2958的概率導(dǎo)致財(cái)產(chǎn)損失時(shí)，保險(xiǎn)公司需賠償500元，投保人繳納了950元的保費(fèi)，所以保險(xiǎn)公司的收益為950-500=450元；當(dāng)發(fā)生交通事故以0.0182的概率導(dǎo)致人員傷亡時(shí)，保險(xiǎn)公司需賠償3萬(wàn)元，950元的保費(fèi)減去3萬(wàn)為負(fù)29050元，若車(chē)輛沒(méi)有任何損失時(shí)，這950元的保費(fèi)就為保險(xiǎn)公司的純盈利，概率為0.6860。所以X的分布律如下：

思考：對(duì)于受害者來(lái)說(shuō)，若遭遇重大的損失和傷亡，這500元及3萬(wàn)元的賠償金無(wú)疑是杯水車(chē)薪，所以，投保人希望能提高賠償金（設(shè)m為財(cái)產(chǎn)損失平均賠償金，n為人員傷亡平均賠償金），同時(shí)又想少交一點(diǎn)保險(xiǎn)費(fèi)（設(shè)為s），而保險(xiǎn)公司當(dāng)然是想多收點(diǎn)保險(xiǎn)費(fèi)少陪一點(diǎn)錢(qián)，如何處理這種矛盾呢？即當(dāng)m，n，s滿足什么關(guān)系式，保險(xiǎn)公司才能盈利呢？

X的分布律如下：

（注：本文系湖北經(jīng)濟(jì)學(xué)院法商學(xué)院2015年教育教學(xué)研究項(xiàng)目“數(shù)學(xué)文化融入大學(xué)數(shù)學(xué)教育的意義與策略研究”，項(xiàng)目編號(hào)：2015J16）

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