陳　偉， 許　斌， 趙世平

(四川大學(xué) 制造科學(xué)與工程學(xué)院，四川 成都 610065)

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接觸式掃描過程中探針
—樣品赫茲耦合的建模與分析*

陳偉， 許斌， 趙世平

(四川大學(xué) 制造科學(xué)與工程學(xué)院，四川 成都 610065)

摘要:隨著微器件測(cè)量系統(tǒng)中微測(cè)頭尺寸不斷減小和測(cè)量精度不斷提高，微納測(cè)量中測(cè)頭—樣品間的形變誤差對(duì)系統(tǒng)不確定度的影響是不能忽略的。為了研究二者間的相互作用和形變問題，根據(jù)材料應(yīng)力—應(yīng)變屬性和赫茲理論，建立了微測(cè)球與樣品的接觸模型，并以玻璃測(cè)頭和光學(xué)器件為分析對(duì)象，探討了測(cè)量力、測(cè)球半徑、樣品曲率半徑以及不同材質(zhì)樣品等對(duì)形變、形變區(qū)域半寬長(zhǎng)度及最大赫茲應(yīng)力的影響。結(jié)果表明：測(cè)球半徑與樣品曲率半徑的作用機(jī)理相似，而且相較于探針測(cè)球半徑因素，測(cè)量力和被測(cè)樣品不同曲率半徑因素對(duì)探針—樣品間形變的影響更為顯著。

關(guān)鍵詞：接觸式掃描; 赫茲理論; 測(cè)量力; 測(cè)球半徑; 測(cè)量誤差

0引言

隨著精密微細(xì)加工技術(shù)和先進(jìn)制造業(yè)的快速發(fā)展，各種復(fù)雜新型微結(jié)構(gòu)不斷出現(xiàn)，微結(jié)構(gòu)表面形貌接觸式測(cè)量以觸針式測(cè)量最為常見[1,2]。對(duì)于接觸式位移傳感器，探頭與樣品間的赫茲耦合和形變將直接影響測(cè)量結(jié)果的不確定度，二者耦合作用越強(qiáng)，形變就越大，測(cè)量精度越低。影響耦合和形變的因素主要有測(cè)量力、探頭半徑、樣品曲率半徑和樣品的彈性模量。Yan Wenyi[3,4]研究了測(cè)球—樣品間的相互作用，并通過仿真探究了形變與最大應(yīng)力的關(guān)系。Jin Fan[5]，Terekhina S[6]，Palade A C[7]通過球面模型研究了形變量、半寬長(zhǎng)度、測(cè)量力間的相互關(guān)系及接觸區(qū)域赫茲應(yīng)力的分布。傳感器測(cè)量力往往是通過測(cè)量結(jié)果與標(biāo)準(zhǔn)樣品的比對(duì)或借助力傳感器進(jìn)行標(biāo)定，而并未從測(cè)球—樣品形變導(dǎo)致測(cè)量差角度來進(jìn)行研究[8]。李志渤、黃強(qiáng)先等人[9]針對(duì)三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)(coordinate measurement machine,CMM)測(cè)頭問題，研究了不同材質(zhì)測(cè)球?qū)Σ煌瑯悠匪璧淖畲鬁y(cè)量力，在測(cè)力為10 mN時(shí)計(jì)算了測(cè)球—樣品的形變量，但CMM的測(cè)頭直徑通常為mm級(jí)，這并不適用于復(fù)雜微結(jié)構(gòu)測(cè)量。楊盛福等人[10]通仿真驗(yàn)證了ANSYS仿真解和赫茲解的一致性，馮劍軍等人[11]研究了圓柱—平面間的滑動(dòng)接觸，仿真中加入摩擦因素，研究了赫茲應(yīng)力在接觸面上的分布。

本文基于材料的應(yīng)力—應(yīng)變屬性和經(jīng)典赫茲接觸理論，分析了測(cè)頭—樣品間的相互作用，建立了相應(yīng)數(shù)學(xué)模型，并以玻璃測(cè)頭和玻璃光學(xué)樣品器件為分析對(duì)象，探討了測(cè)量力、測(cè)球半徑、樣品曲率半徑以及不同材質(zhì)的被測(cè)樣品等因素對(duì)探針—樣品間的形變、形變區(qū)域半寬長(zhǎng)度及最大赫茲應(yīng)力的影響。

1測(cè)頭—樣品間的赫茲耦合模型

每一種材料都有其固有的應(yīng)力—應(yīng)變曲線如圖1所示，橫坐標(biāo)ε為應(yīng)變量，縱坐標(biāo)σ為應(yīng)力值，這是材料的固有屬性，由材料自身性質(zhì)決定[12]。在彈性形變階段應(yīng)力—應(yīng)變近似線性關(guān)系,即σ=Eε，式中E為材料彈性模量。當(dāng)應(yīng)力超過E's點(diǎn)(彈性極限點(diǎn))，應(yīng)力—應(yīng)變呈非線性關(guān)系，材料發(fā)生塑性形變。接觸式測(cè)量過程當(dāng)測(cè)量力小于彈性極限σe，材料發(fā)生彈性形變，當(dāng)測(cè)量力大于σe，材料發(fā)生塑性形變即為有損測(cè)量。為了保證整個(gè)測(cè)量過程中實(shí)現(xiàn)無損檢測(cè)，通常要求最大測(cè)量力應(yīng)小于σe。

圖1　材料的應(yīng)力—應(yīng)變特征曲線[12]Fig 1　Stress-strain characteristic curve of materials[12]

由于加工技術(shù)和加工方法的缺陷，加工工件表面通常存在著隨機(jī)分布且大小不等的凸峰和凹谷(以凸峰為主)[13]。形貌測(cè)量過程中測(cè)頭先與微凸峰相接觸，如圖2(a)所示。測(cè)頭—樣品間的接觸就是微凸峰間的接觸，測(cè)頭—樣品間的相互作用就是微凸峰間的相互作用。被測(cè)樣品表面粗糙度的形狀通常是橢圓體，因其接觸區(qū)域尺寸遠(yuǎn)小于探頭和被測(cè)工件本身的曲率半徑，因此粗糙度可以近似為球體[14]。因此，“測(cè)頭—樣品”的接觸問題可以視為一系列高低不齊的“球體—球體”接觸，具體接觸模型如圖2(b)和圖2(c)所示。

圖2　測(cè)球—樣品凸峰接觸時(shí)的形變示意圖[14]Fig 2　Deformation diagram of peak contact of probe-sample[14]

由經(jīng)典赫茲接觸理論[15]可知，當(dāng)測(cè)量力F作用于Z軸，在接觸點(diǎn)附近發(fā)生局部形變并形成一個(gè)較小的橢圓形接觸面，長(zhǎng)半軸在X軸上，短半軸在Y軸上如圖2(d)所示。橢圓形接觸面上各點(diǎn)單位壓力大小與材料的形變量有關(guān)，沿Z軸將產(chǎn)生最大單位壓力。

接觸區(qū)域沿Z軸的最大形變量δ為

(1)

形變區(qū)域橢圓長(zhǎng)軸半軸寬度a為

(2)

最大赫茲應(yīng)力應(yīng)出現(xiàn)在形變量最大處，最大赫茲應(yīng)力Qmax為

(3)

當(dāng)被測(cè)樣品為剛性材質(zhì)時(shí)，求解過程中只需將式(1)、式(2)、式(3)中R2換成+∞；當(dāng)探針與凹體接觸時(shí)R2變?yōu)?R2。

2形變因素分析

微結(jié)構(gòu)測(cè)量中，精密微位移傳感器測(cè)量力F通常為零點(diǎn)幾毫牛至數(shù)毫牛，本文選取F<1mN；微探針半徑R1和樣品曲率半徑R2為數(shù)微米。

2.1測(cè)量力對(duì)形變的影響

接觸式微位移傳感器的測(cè)量力是影響測(cè)量精度重要因素之一，測(cè)量力的大小將直接決定著微結(jié)構(gòu)形貌檢測(cè)質(zhì)量的高低，前文已有論述。測(cè)頭—樣品間形變量因測(cè)量力的不同而不同。測(cè)量力對(duì)測(cè)頭—樣品間的形變量、形變區(qū)域長(zhǎng)軸半寬長(zhǎng)度、最大赫茲應(yīng)力的影響如圖3所示。實(shí)線表示形變量與測(cè)量力的關(guān)系，點(diǎn)畫線表示半寬長(zhǎng)度與測(cè)量力的關(guān)系，虛線表示最大赫茲應(yīng)力與測(cè)量力的關(guān)系。由圖可知，測(cè)頭—樣品間的形變量與測(cè)量力呈正相關(guān)，隨著測(cè)量力的增大，形變量不斷變大。當(dāng)測(cè)量力F為1mN時(shí)，被測(cè)樣品曲率半徑R2為1μm，測(cè)球半徑R1為5μm時(shí)，沿測(cè)量力方向最大形變量為1.04μm，長(zhǎng)軸半寬長(zhǎng)度為29.4μm，而最大形變處的最大赫茲應(yīng)力為552N/mm2。在測(cè)量過程中應(yīng)根據(jù)形變誤差允許范圍，選取恰當(dāng)穩(wěn)定的測(cè)量力，保證測(cè)量的精度和可靠性。

圖3　測(cè)量力對(duì)形變量、半寬長(zhǎng)度、最大赫茲應(yīng)力的影響Fig 3　Influence of measurement force on deformation quantity,half-width length and the maximum Hertz stress

2.2微探頭半徑對(duì)形變的影響

探針測(cè)球半徑對(duì)測(cè)頭—樣品間的形變量、形變區(qū)域長(zhǎng)軸半寬長(zhǎng)度、最大赫茲應(yīng)力的影響如圖4所示。實(shí)線表示形變量與測(cè)球半徑的關(guān)系，點(diǎn)畫線表示半寬長(zhǎng)度與測(cè)球半徑的關(guān)系，虛線表示最大赫茲應(yīng)力與測(cè)球半徑的關(guān)系。測(cè)球半徑與測(cè)頭—樣品間的形變量呈負(fù)相關(guān)，隨著探頭半徑的增大，形變量不斷減小。測(cè)球半徑與長(zhǎng)軸半寬長(zhǎng)度呈正相關(guān)，隨著探頭半徑的增大，長(zhǎng)軸半寬長(zhǎng)度隨之增加。最大赫茲應(yīng)力與形變量呈正相關(guān)，亦即與測(cè)球半徑呈正相關(guān)。但同時(shí)也應(yīng)注意到，測(cè)球半徑的增加，對(duì)于復(fù)雜微結(jié)構(gòu)形貌的測(cè)量必然會(huì)增加某些測(cè)量盲區(qū)，所以,不能為了減小測(cè)頭—樣品間形變量而盲目地增大測(cè)球半徑。

圖4　測(cè)球半徑對(duì)形變量、半寬長(zhǎng)度、最大赫茲應(yīng)力的影響Fig 4　Influence of probe radius on deformation quantity,half-width length and the maximum Hertz stress

2.3樣品曲率半徑對(duì)形變的影響

在整個(gè)測(cè)量過程中，隨著樣品不同位置曲率半徑的不同而需要不同的測(cè)量力，在整個(gè)動(dòng)態(tài)測(cè)量過程中需要不停地改變測(cè)量力的大小，以便實(shí)現(xiàn)最可靠的測(cè)量。工件不同位置的曲率半徑對(duì)測(cè)頭—樣品間的形變量、形變區(qū)域長(zhǎng)軸半寬長(zhǎng)度、最大赫茲應(yīng)力的影響如圖5所示。實(shí)線表示形變量與樣品曲率半徑的關(guān)系，點(diǎn)畫線表示半寬長(zhǎng)度與樣品曲率半徑的關(guān)系，虛線表示最大赫茲應(yīng)力與樣品曲率半徑的關(guān)系。由圖可知，隨著被測(cè)樣品曲率半徑的增加探針—樣品間的形變量逐漸減小，這是因?yàn)榍拾霃降脑黾邮沟脺y(cè)頭和樣品間的接觸面積增加，二者表面抵抗形變的能力增強(qiáng)。最大赫茲應(yīng)力與形變量呈正相關(guān)，當(dāng)形變量隨著被測(cè)樣品曲率半徑的增加而減小時(shí)，最大赫茲應(yīng)力也相應(yīng)地減小。工件不同位置的曲率半徑對(duì)形變量、半寬長(zhǎng)度的作用機(jī)理與探針測(cè)球半徑相似，所以,二者對(duì)測(cè)頭—樣品間的形變量、形變區(qū)域長(zhǎng)軸半寬長(zhǎng)度、最大赫茲應(yīng)力的影響和趨勢(shì)大致相同。

圖5　工件曲率半徑對(duì)形變量、半寬長(zhǎng)度、最大赫茲應(yīng)力的影響Fig 5　Influence of sample radius on deformation quantity,half-width length and the maximum Hertz stress

2.4不同材質(zhì)彈性模量對(duì)形變的影響

本文選取了幾種不同材質(zhì)的被測(cè)樣品如表1所示，用于研究不同材質(zhì)的彈性模量對(duì)于探針—樣品間的形變量、形變區(qū)域長(zhǎng)軸半寬長(zhǎng)度、最大赫茲應(yīng)力的影響。

表1　不同材質(zhì)的被測(cè)樣品參數(shù)表

被測(cè)樣品材質(zhì)彈性模量對(duì)測(cè)頭—樣品間的形變量、形變區(qū)域長(zhǎng)軸半寬長(zhǎng)度、最大赫茲應(yīng)力的影響如圖6所示。由圖可知，隨著被測(cè)樣品材質(zhì)彈性模量的增加，測(cè)頭—樣品間形變量和形變區(qū)域的半寬長(zhǎng)度都逐漸減小，二者趨勢(shì)基本一致。當(dāng)彈性模量小于1.5 GPa，測(cè)量力F=0.5 mN，測(cè)球半徑R1=5 μm，工件曲率半徑R2=1 μm時(shí)，測(cè)球—樣品間形變量最小為0.5 μm。實(shí)際測(cè)量中應(yīng)根據(jù)不同材質(zhì)的被測(cè)樣品選取合適的測(cè)量力。如當(dāng)被測(cè)樣品為柔性材質(zhì)時(shí)，應(yīng)選取更小的測(cè)量力，以減小測(cè)頭—樣品間形變對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響；當(dāng)被測(cè)樣品的彈性模量較大時(shí)，可以選取較大的測(cè)量力，以保證測(cè)量過程中測(cè)頭—樣品充分穩(wěn)定接觸。

圖6　工件彈性模量對(duì)形變量、半寬長(zhǎng)度、最大赫茲應(yīng)力的影響Fig 6　Influence of workpiece elastic modulus on deformation quantity,half-width length and the maximum Hertz stress

3結(jié)論

本文針對(duì)探針測(cè)頭—樣品間的赫茲耦合和形變問題，基于材料的應(yīng)力—應(yīng)變屬性和經(jīng)典赫茲接觸理論，分析了探針測(cè)頭與被測(cè)樣品間的相互作用，建立了相應(yīng)數(shù)學(xué)模型，并以玻璃測(cè)頭和玻璃光學(xué)樣品器件為分析對(duì)象，著重探討了測(cè)量力、測(cè)球半徑、被測(cè)樣品不同曲率半徑以及不同材質(zhì)的被測(cè)樣品等因素對(duì)探針—樣品間的形變、形變區(qū)域半寬長(zhǎng)度、最大赫茲應(yīng)力的影響，分析其內(nèi)在作用原理，尋找最大的影響因素。通過仿真分析可以看出：測(cè)球半徑與樣品曲率半徑的作用機(jī)理相似，而且相較于探針測(cè)球半徑因素而言，測(cè)量力和被測(cè)樣品不同位置曲率半徑因素對(duì)探針—樣品間形變的影響更為顯著。針對(duì)不同材質(zhì)的被測(cè)樣品，應(yīng)選取恰當(dāng)?shù)臏y(cè)量力和測(cè)頭半徑，以保證最佳的測(cè)量效果。

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Modeling and analysis of probe-sample Hertz coupling in contact scanning*

CHEN Wei, XU Bin, ZHAO Shi-ping

(School of Manufacturing Science and Engineering,Sichuan University,Chengdu 610065,China)

Abstract:As the size of probe used for micro-component measurement system is decreased continuously and measurement precision is increased constantly,influence of deformation error between probe and measurement sample on uncertainty of system is becoming an issue that can not be ignored.In order to research interaction between probe and sample and deformation problems,contact model for micro measuring ball and sample is established according to stress-strain properties of materials and Hertz theory,glass probe and optical devices are used as analysis target,effect of measurement force,probe radius,curvature radius of sample and samples with different materials on deformation,half width length of deformation zone and the maximum Hertz stress.Results show that interaction mechanism of curvature radius of measured sample and measuring ball radius is similar, and compared with probe radius factor,effect of measurement force and curvature radius factor of measured sample on deformation between probe and ample is more obvious.

Key words:contact scanning; Hertz theory; measurement force; probe radius; measurement error

DOI:10.13873/J.1000—9787(2016)03—0012—04

收稿日期：2016—01—18

*基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51405314)；中國(guó)物理研究院超精密加工技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放基金資助項(xiàng)目(KF15004)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)資助項(xiàng)目(2015SCU04A12)

中圖分類號(hào)：TH 711

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1000—9787(2016)03—0012—04

作者簡(jiǎn)介:

陳偉(1989-)，男，四川遂寧人，碩士研究生，主要研究方向?yàn)槲⑿蚊矞y(cè)量、傳感器設(shè)計(jì)及不確定度分析。

許斌，通訊作者，E—mail:bin_xu@scu.edu.cn。