高杏杏， 胡志興, 廖福成

(北京科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院, 北京100083)

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一類擴(kuò)散的食餌-捕食模型

高杏杏， 胡志興*, 廖福成

(北京科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院, 北京100083)

摘要：研究一類擴(kuò)散并具有比率依賴功能反應(yīng)函數(shù)的Leslie-Gower模型。 運(yùn)用比較原理得到了系統(tǒng)的持久性。應(yīng)用譜理論, 探討正平衡點(diǎn)的局部漸近穩(wěn)定性。利用李雅普諾夫函數(shù)研究了正平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性。關(guān)鍵詞: Leslie-Gower模型; 擴(kuò)散; 比率依賴

MR subject classification: 35K57

捕食關(guān)系一直是種群動力學(xué)中最基本而廣泛的一個方面, 而經(jīng)典的Leslie-Gower模型的特點(diǎn)在于捕食者滿足Logistic增長規(guī)律, 其中捕食者的環(huán)境容納量與食餌數(shù)量成正比。 對于改進(jìn)的Leslie-Gower模型, 已有許多學(xué)者做過改進(jìn), 也取得不少成果[1-7]。

由于在捕食關(guān)系中, 空間對種群的各項(xiàng)形態(tài)特征有很大的影響, 因此, 在模型中考慮擴(kuò)散很有必要，文獻(xiàn)[1-3]在模型中均加入了擴(kuò)散的影響。此外, 也有更多的研究表明, 捕食者在尋找食物時, 食餌和捕食者自身的種群密度都會對其造成影響, 即具有比率依賴的功能性反應(yīng)函數(shù)可以更好地反映實(shí)際情況, 文獻(xiàn)[4-6]在模型中均選擇了具有比率依賴的功能反應(yīng)函數(shù)。 文獻(xiàn)[4]研究了具有比率依賴的Holling-Ⅲ功能性反應(yīng)函數(shù)的Leslie-Gower模型

(1)

本文將(1)式的功能性反應(yīng)函數(shù)進(jìn)一步改進(jìn), 建立了新的模型。

1模型的建立

在模型(1)的基礎(chǔ)上, 我們考慮將功能性反應(yīng)函數(shù)變?yōu)榫哂斜嚷室蕾嚨腍olling-Ⅳ型反應(yīng)函數(shù), 建立模型如下：

(2)

其中，u(x,t)、v(x,t)分別表示t時刻食餌與捕食者的種群密度; 正常數(shù)d1、d2分別為擴(kuò)散系數(shù);Δ為Laplace算子;Ω?Rn表示具有光滑邊界?Ω的有界開區(qū)域, 并滿足齊次Neumann邊界條件,即邊界上沒有種群遷移;n為?Ω上的單位外法向量; 初始條件u0(x)、v0(x)均為非負(fù)連續(xù)函數(shù);a、b、c、m、l、s、e均為正常數(shù)。

為了表示方便，作以下變換：

(3)

2系統(tǒng)的持久性

引理1[7]若z(x,t)滿足以下方程組

定理1系統(tǒng)(3)的解(u,v)滿足以下兩式：

證明由系統(tǒng)(3)的第1式可得：

d1Δu+u(1-u),(x,t)∈Ω×[0,∞)。

同理，由比較原則及ε的任意性可知，

定理得證。

定義1[4]如果系統(tǒng)(3)的初始條件u0(x)、v0(x)非負(fù)且均不恒為0, 并存在正常數(shù)ε1、ε2,使得系統(tǒng)(3)的解(u(x,t),v(x,t)滿足以下兩式：

那么稱系統(tǒng)(3)一致持久。

定理2如果pw

因此，當(dāng)pw

3正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

3.1正平衡點(diǎn)的存在性

證明若系統(tǒng)存在唯一的正平衡點(diǎn),則應(yīng)滿足

v*=wu*。

3.2正平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性

證明我們做出如下假設(shè)：

(1) 滿足齊次Neumann邊界的條件下, 設(shè)0=μ0<μ1<μ2<…是Ω上-Δ的特征值。

(2)T(μ1)是相應(yīng)于μ1的特征空間。i=0,1,2,…。

(3)Xij={kφij|k∈R2},其中{φij}是T(μi)的正交基,j=0,1,2,…;dim[T(μj)]。

將系統(tǒng)(3)在E*處線性化后可得

Zt=[DΔ+GZ(Z*)]Z

其中

Z=(u(x,t),v(x,t))T,

D=diag(d1,d2)。

對于每個i≥1,Xi是算子DΔ+Gz(Z*)的不變子空間, 則λ是算子DΔ+GZ(Z*)在Xi上的特征值?λ是矩陣Mi=-μiD+GZ(Z*)的特征值, 其中

則det(λI-Mi)=λ2-λ·trMi+det Mi,

其中

(d1+d2)μ1-qw,

(d2μi+qw)(d1μi-1+2u*)+pwu*·

3.3正平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性

定理5當(dāng)滿足如下條件(a)—(d)時,系統(tǒng)(3)正平衡點(diǎn)E*(u*,v*)全局穩(wěn)定, 其中

(a)pw

(b)w≤2,

證明令u(x,t),v(x,t)為系統(tǒng)(3)的一個正解, 考慮如下函數(shù):

V(t)=∫ΩM(u(x,t),v(x,t))dx。

則

首先,由格林公式及齊次Neumann邊界條件, 可得

-d1∫Ωvdx=

d1∫Ωvdx=

時，恒有I2(t)<0,則

因此，系統(tǒng)在E*處全局穩(wěn)定。

4結(jié)論

本文研究了一類改進(jìn)的Leslie-Gower模型, 其特點(diǎn)是考慮了擴(kuò)散的影響并采用了具有比率依賴的功能性反應(yīng)函數(shù),更符合自然情況下種群捕食的實(shí)際情況。 首先, 分析了種群能夠持續(xù)生存的條件; 其次, 研究了系統(tǒng)存在唯一正平衡點(diǎn)E*的條件; 最后,分別探討了E*局部漸近穩(wěn)定、全局穩(wěn)定的情況。 研究表明，在一定的條件下, 捕食者與食餌能共存, 它們最終達(dá)到一定數(shù)量, 這將助于我們進(jìn)一步研究自然界中種群的捕食關(guān)系。

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〔責(zé)任編輯宋軼文〕

A diffusive predator-prey model

GAO Xingxing, HU Zhixing*, LIAO Fucheng

(College of Mathematics and Physics, University of Science and Technology Beijing, Beijing 100083, China)

Key words:Leslie-Gower model; diffusion; ratio-dependent

Abstract:A diffusive Leslie-Gower model with ratio-dependent functional response is studied.The permanence of the system is obtained by using the comparison principle.Based on Spectrum Theory, locally asymptotic stability of the positive equilibrium is discussed.The Lyapunov function is used to analyze the Global stability of the positive equilibrium.

文章編號：1672-4291(2016)03-0017-05

doi:10.15983/j.cnki.jsnu.2016.03.134

收稿日期：2015-05-14

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金(11471034,61174209); 北京科技大學(xué)冶金工程研究院基礎(chǔ)研究基金(YJ2012-001)

*通信作者：胡志興，男，教授。E-mail:huzhixing@ustb.edu.cn

中圖分類號：O175

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A