王苗苗， 姚若俠

(陜西師范大學 計算機科學學院, 陜西 西安 710119 )

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廣義時間分數(shù)階Hirota-Satsuma耦合KdV系統(tǒng)新的精確解

王苗苗， 姚若俠*

(陜西師范大學 計算機科學學院, 陜西 西安 710119 )

摘要：借助復雜分數(shù)階變換和修正的Jumarie Riemann-Liouville分數(shù)階導數(shù)，利用一個二階常微分方程的解，基于G′/G有限級數(shù)展開法，對耦合的非線性廣義時間分數(shù)階Hirota-Satsuma-KdV系統(tǒng)進行研究，由此獲得了該系統(tǒng)的若干雙曲函數(shù)和三角函數(shù)形式精確解,豐富了其精確解系。關鍵詞: 分數(shù)階復雜變換； 廣義時間分數(shù)階Hirota-Satsuma-KdV系統(tǒng)；G′/G級數(shù)展開法； Jumarie Riemann-Liouville導數(shù)； 精確解

MR subject classification: 35Q20; 35J05

近年來，分數(shù)階微分方程[1]在眾多科學領域中被用來描述某些現(xiàn)象，主要原因在于分數(shù)階微積分很適合刻畫具有記憶[2-3]和遺傳性質(zhì)的材料和過程，并對復雜系統(tǒng)的描述具有建模簡單、參數(shù)的物理意義清楚、描述準確等優(yōu)勢，是物理過程與復雜力學數(shù)學建模的重要工具之一，在力學、化學、生物學、經(jīng)濟學等領域發(fā)揮了非常重要的作用。故此，分數(shù)階微分方程成為研究熱點，并越來越多地用于圖像處理[4]、生物醫(yī)學工程[4]、征收統(tǒng)計、地震分析[5]、粘彈性阻尼器[6]、流體力學[6]、非局部現(xiàn)象、 電力分形網(wǎng)絡[7]、多孔介質(zhì)、信號處理和系統(tǒng)識別、振動與控制[8]分數(shù)階正弦振蕩器[8-9]以及反常擴散等領域。

分數(shù)階偏微分方程大致分為三類[10-11]：空間分數(shù)階偏微分方程、時間分數(shù)階偏微分方程和時間-空間分數(shù)階偏微分方程，可以用來描述具有分形結(jié)構(gòu)的多孔介質(zhì)中的反常慢擴散現(xiàn)象，而分數(shù)階對流-擴散方程則可以用來描述介質(zhì)中流體的反常滲透現(xiàn)象。

由于分數(shù)階導數(shù)具有歷史依賴性與全域相關性[10-11]，故分數(shù)階微分方程求解的復雜性明顯增加。但由于大部分分數(shù)階微分方程并沒有精確解析解，故Crank-Nicholson格式法、預估校正算法、線性算法、變分迭代法[11]、同倫分析法[11]、Adomian分解法[12]、同倫攝動法[12]等一系列方法被用來獲得方程的數(shù)值解和近似解析解。

本文利用G′/G展開法[13]求解如下耦合的廣義時間分數(shù)階Hirota-Satsuma-KdV系統(tǒng)[19-20]，簡稱HS-KdV系統(tǒng)的精確解

(1)

其中0<α≤1,u=u(x,t),v=v(x,t)和w=w(x,t)。

1預備知識

分數(shù)階微積分研究中提出了許多定義，目前最常使用的3種是Caputo定義、Grunwald-Letnikov定義[14-15]和Riemann-Liouville定義。

(2)

其中Γ(n-α)是伽瑪函數(shù)，其廣義定義為

(3)

且Γ(x+1)=xΓ(x)。

當n∈N,有Γ(n)=(n-1)!。

(4)

修正的Jumarie Riemann-Liouville分數(shù)階導數(shù)[16-18]為

(5)

且其具有如下性質(zhì)[18]:

dαx(t)=Γ(1+α)dx(t),

(6)

(7)

(8)

修正的Jumarie Riemann-Liouville分數(shù)階導數(shù)具有Riemann-Liouville分數(shù)階導數(shù)和Caputo分數(shù)階導數(shù)二者的優(yōu)點，并成功應用于分數(shù)階拉普拉斯問題[21]、概率演算[22]、多變量的分數(shù)階變分法[23]、分數(shù)階變分迭代方法[24]和自然邊界條件的分數(shù)階變分法[25]等問題中。

2G′/G展開法概述

對于給定1+1維的非線性偏微分方程

(9)

其中P是u及u關于x、t的各階偏導數(shù)的多項式。該方法具體步驟如下：

步驟1文獻[26]提到一個復雜分數(shù)階變換可將分數(shù)階偏微分方程轉(zhuǎn)化為常微分方程。

復雜分數(shù)階變換[26]為

(10)

其中ξ為行波變量，K為任意非零常數(shù)。

將(10)式代入(9)式可得如下常微分方程

Q(u′,u″,u?,…)=0。

(11)

步驟2設常微分方程(11)的解可表示為關于(G′/G)的多項式

(12)

其中ai為待定常數(shù)且G=G(ξ)滿足二階線性常微分方程

G″(ξ)+λG′(ξ)+μG(ξ)=0。

(13)

步驟3(12)式中正整數(shù)m是由(11)式中線性最高階導數(shù)項和非線性項，通過齊次平衡原理[27]確定。此處,假設u(ξ)的階數(shù)為Deg[u(ξ)]=m，則其他表達式的階數(shù)為

(14)

由此即可確定(12)式中m的值。

ψ′=-μ-λψ-ψ2。

(15)

因而，常微分方程(11)的解為

(16)

步驟5將(16)式代入(11)式，運用ψ(ξ)所滿足的一階常微分方程(15)來消除所有導數(shù)項，然后合并ψ(ξ)的相同冪次項，并令ψ(ξ)的各次冪的系數(shù)為零, 得到一個關于常量ai、K、λ、μ的非線性代數(shù)方程組。

步驟6求解上述代數(shù)方程組，將所得結(jié)果代入(16)式，并利用(13)式在不同情況下的通解，即可獲得(9)式的多個不同類型的精確解。

3廣義時間分數(shù)階HS-KdV系統(tǒng)的精確解

對系統(tǒng)(1)引入復雜分數(shù)階變換[26]

(17)

將(17)式代入系統(tǒng)(1)，并結(jié)合上述修正的Jumarie Riemann-Liouville分數(shù)階導數(shù)，系統(tǒng)(1)可轉(zhuǎn)化為如下的常微分方程組

(18)

由于方程組(18)的精確解滿足(16)式，則設解為

(19)

(20)

A、B為積分常數(shù)。故得

(21)

該解可表示為如下雙曲函數(shù)形式

(22)

其中P=A-B,Q=A+B。

對方程組(18)應用齊次平衡原理[27]得,m=n=2,q為任意常數(shù)，此處取q=2。則系統(tǒng)(1)的解形式為

(23)

將(23)式分別代入常微分方程組(18)并利用(15)式化簡可得關于ψ(ξ)的各階冪次項，合并ψ(ξ)相同的冪次項，令ψ(ξ)的各次冪項的系數(shù)為零, 得到一個非線性代數(shù)方程組。使用符號計算系統(tǒng)Maple求解非線性代數(shù)方程組，可獲得14組解。限于篇幅，本文僅列出耦合的廣義時間分數(shù)階Hirota-Satsuma-KdV方程的部分有物理意義的精確解。

(24)

其中K、λ、μ為任意非零常數(shù)。將(24)式代入(23)式得

(25)

將(22)式代入(25)式，可在不同的參數(shù)約束條件下，獲得系統(tǒng)(1)不同形式的精確解：

情形1-1當λ2-4μ<0，可得三角函數(shù)解

(26)

其中行波變量

(27)

(28)

情形1-2當λ2-4μ>0，可得雙曲函數(shù)解

(29)

其中，行波變量ξ以及S、H同(27)和(28)式。

對于情形1-2，考慮兩種特殊情況，便可獲得其如下形式的孤立波解。

情形1-2-1當A=B,即P=0,Q≠0,孤立波解為

(30)

情形1-2-2當A=-B,即P≠0,Q=0，孤立波解為

(31)

圖1時間分數(shù)階HS-KdV系統(tǒng)精確解(30)的三維圖

(34)

情形2-2當λ2-4μ>0時，可得雙曲函數(shù)解

(35)

對于情形2-2，考慮兩種特殊情況，便可獲得其如下形式的孤立波解。

情形2-2-1當A=B,即P=0,Q≠0,孤立波解為

(36)

情形2-2-2當A=-B,即P≠0,Q=0,孤立波解為

(37)

圖2時間分數(shù)階HS-KdV系統(tǒng)精確解(36)的三維圖

(40)

情形3-2當μ<0，可得雙曲函數(shù)解

(41)

對于情形3-2，考慮兩種特殊情況，便可獲得其如下形式的孤立波解。

情形3-2-1當A=B,即P=0,Q≠0,孤立波解為

(42)

情形3-2-2當A=-B,即P≠0,Q=0,孤立波解為

(43)

圖3時間分數(shù)階HS-KdVf(42)的三維圖

(46)

情形4-2當λ2-4μ>0，可得雙曲函數(shù)解

(47)

對于情形4-2，考慮兩種特殊情況，便可獲得其如下形式的孤立波解。

情形4-2-1當A=B,即P=0,Q≠0,孤立波解為

(48)

情形4-2-2當A=-B,即P≠0,Q=0,孤立波解為

(49)

圖4時間分數(shù)階HS-KdV系統(tǒng)精確解(48)的三維圖

(52)

4結(jié)語

本文利用復雜分數(shù)階變量變換和修正的Jumarie Riemann-Liouville分數(shù)導數(shù)，并結(jié)合齊次平衡原理，通過(G′/G)展開法來求解廣義時間分數(shù)階Hirota-Satsuma耦合KdV系統(tǒng)的精確解，獲得了該系統(tǒng)的含有多參數(shù)的新的雙曲函數(shù)和三角函數(shù)形式精確解，且當雙曲函數(shù)解取特殊值時即可獲得其孤波解，從而豐富了廣義時間分數(shù)階Hirota-Satsuma耦合KdV系統(tǒng)的解系。限于篇幅，本文僅列出部分解。從求解過程及求得的精確解易知用此方法來求解這類非線性問題更直接、簡潔和高效。但對于其他類問題能否適用還需進一步的研究。

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〔責任編輯宋軼文〕

New exact solutions of the coupled time-fractional generalized Hirota-Satsuma and KdV system

WANG Miaomiao, YAO Ruoxia*

(School of Computer Science, Shaanxi Normal University,Xi′an 710119, Shaanxi, China)

Key words:fractional complex transformation; time-fractional Hirota-Satsuma-KdV system;G′/G-expansion method; Jumarie′s Riemann-Liouville derivative; exact solution

Abstract:By means of the Jumarie′s modified Riemann-Liouville fractional derivative and the fractional complex transformation, using the solution of a second order ordinary differential equation and based theG′/G-expansion method, the coupled nonlinear time-fractional Hirota-Satsuma-KdV system is studied. Several hyperbolic function and trigonometric function exact solutions of this system are obtained, which enrich the exact solution family.

文章編號：1672-4291(2016)03-0022-10

doi:10.15983/j.cnki.jsnu.2016.03.135

收稿日期：2014-12-23

基金項目：國家自然科學基金(11471004，1172342)；中央高?；究蒲袠I(yè)務費專項資金(GK201302026)

*通信作者：姚若俠，女，教授，博士生導師。E-mail:rxyao2@hotmail.com

中圖分類號：O175.6

文獻標志碼：A