曲志昱, 吳　迪, 王　炎

(1.哈爾濱工程大學(xué)信息與通信工程學(xué)院, 黑龍江 哈爾濱 150001;2.中航工業(yè)雷達(dá)所北京創(chuàng)新中心, 北京 100012)

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基于線性變換的陣列幅相誤差自校正算法

曲志昱1, 吳迪2, 王炎1

(1.哈爾濱工程大學(xué)信息與通信工程學(xué)院, 黑龍江 哈爾濱 150001;2.中航工業(yè)雷達(dá)所北京創(chuàng)新中心, 北京 100012)

摘要：針對天線陣列的幅相誤差嚴(yán)重影響陣列測向算法估計性能的問題,提出了一種基于線性變換的陣列幅相誤差自校正算法。該方法通過利用幅度相位特性一致的輔助陣元,進(jìn)行矩陣的正交線性變換,并結(jié)合最小二乘法算法,有效地估計陣列的幅相誤差系數(shù)和入射信號的波達(dá)方向。其不需要譜峰搜索,無特征分解運算,計算量小,復(fù)雜度低,可實現(xiàn)對陣列幅相誤差的快速校正。計算機(jī)仿真實驗結(jié)果驗證了該算法估計性能的有效性。

關(guān)鍵詞：波達(dá)方向估計; 陣列幅相誤差; 自校正; 線性變換

0引言

輻射信號的波達(dá)方向(direction of arrival,DOA)估計[1-3]一直是信號處理領(lǐng)域的重要研究內(nèi)容,其在通信、雷達(dá)、偵查、探測和定位等許多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用,從而受到了國內(nèi)外專家學(xué)者廣泛的關(guān)注[4-5]。相繼出現(xiàn)了眾多經(jīng)典算法,包括多重信號分類(multiple signal classification, MUSIC)算法[4]和旋轉(zhuǎn)不變子空間(estimation of signal parameters via rotational invariance techniques, ESPRIT)算法[5]等。然而其良好的測向性能是建立在精確已知陣列流形的基礎(chǔ)上的。但是在實際被動陣列測向系統(tǒng)中,各天線陣元的電磁特性不一致,位置偏差等因素不可避免。這些因素產(chǎn)生的結(jié)果都會轉(zhuǎn)化為接收數(shù)據(jù)中存在的幅相誤差。這時陣列測向算法的測向性能將急劇下降[6-7]。從而就需要研究在陣列誤差條件下的DOA估計方法。該方法一般通過對陣列幅相誤差的有效校正來實現(xiàn)。

近年來,涌現(xiàn)出了大量的研究算法,大體上包括有源校正[8-9],循環(huán)優(yōu)化迭代自校正[10-16]以及矩陣變換類的自校正[17-22]等研究方向。有源校正類算法是要在空間設(shè)置方位精確已知的輔助信源。文獻(xiàn)[8]利用一系列位置已知的信號源來求解包含多種誤差參數(shù)的校正矩陣,從而對陣列誤差進(jìn)行校正。文獻(xiàn)[9]采用單個連續(xù)波校正源,通過旋轉(zhuǎn)陣列天線,完成單個輔助源的校正。有源校正需要外置輔助源或其他輔助設(shè)施,增加了測向設(shè)備的成本,對硬件和環(huán)境的要求嚴(yán)格,在很多情況下并不適用。

針對不同的陣列結(jié)構(gòu)和誤差模型,循環(huán)優(yōu)化迭代類自校正技術(shù)已得到深入的研究。文獻(xiàn)[10-11]基于子空間正交原理提出將陣列誤差參數(shù)與方向參數(shù)同時進(jìn)行迭代估計的WF自校正算法,為此類校正技術(shù)最為典型的代表。文獻(xiàn)[12]對WF自校正算法中的相位迭代校正做了全面的分析,指出此校正技術(shù)會出現(xiàn)相位模糊的現(xiàn)象。文獻(xiàn)[13]能夠同時估計信號DOA和陣列誤差參數(shù),但是其以陣列擾動誤差較小為前提,同時全局最優(yōu)解無法保證。除了迭代估計算法,還有一種基于最大似然或子空間擬合原理的多維參數(shù)估計類自校正技術(shù)[14-16]。但是這類算法都需要求解非線性的多維最優(yōu)化問題,利用全局極值的多維搜索,計算量較大。

為了克服此類問題,學(xué)者們正在積極研究基于矩陣變換的自校正技術(shù)。此類方法不需要多維循環(huán)迭代以及設(shè)置初值,可以直接估計出入射信號的DOA以及陣列誤差參數(shù)。文獻(xiàn)[17]中,提出一種可工程實現(xiàn)的DOA估計方法,其利用了陣列接收數(shù)據(jù)和其共軛的點積。文獻(xiàn)[18]對這種方法進(jìn)行了改進(jìn),但是這兩種方法都只有在空間中存在至少兩個信號時才能應(yīng)用。另外,學(xué)者們也在研究使用部分陣元或者利用輔助陣元,使陣列誤差矩陣構(gòu)成某種特殊結(jié)構(gòu),來實現(xiàn)在幅相誤差下的DOA估計。一類非常著名的算法是利用秩損估計(rank reduction estimation, RARE)器[2, 19-21],但是其需要譜峰搜索過程。文獻(xiàn)[22]提出了一種簡單、有效的基于傳統(tǒng)ESPRIT算法的部分陣列DOA估計方法,但是涉及矩陣的特征分解運算,同時估計精度有待提高。

本文針對陣列幅相誤差問題,提出一種校正方法,實現(xiàn)對陣列幅相誤差系數(shù)和輻射信號DOA的正確估計。其基于正交線性變換思想[23],利用幅度相位性能一致的輔助陣元,進(jìn)行矩陣變換,并與最小二乘法相結(jié)合,首先估計出陣列幅相誤差系數(shù),然后估計出空間中入射信號的DOA。希望通過對該方法的研究,推動陣列測向方法在實際系統(tǒng)中的應(yīng)用。

1數(shù)學(xué)模型

設(shè)天線陣列是間距為d的M個天線陣元組成的均勻線陣。N個窄帶遠(yuǎn)場獨立的輻射信號s1(t),s2(t),…,sN(t)從方向θ1,θ2,…,θN入射。噪聲服從高斯分布,均值為零,方差為σ2,信號與噪聲之間相互獨立。接收到的數(shù)據(jù)可表示為

(1)

R=ARSAH+σ2I

(2)

式中,RS=E[S(t)S(t)H]為信號的協(xié)方差矩陣;I為單位矩陣;σ2為噪聲功率。

這里用ρ1,…,ρM和φ1,…,φM來表征陣列接收數(shù)據(jù)的幅度和相位誤差系數(shù)。那么可定義M×1維的幅相誤差矢量

(3)

M×M維的幅相誤差矩陣

(4)

陣列幅相誤差下的陣列流形可以表示為

(5)

接收數(shù)據(jù)受到幅相誤差的影響

(6)

(7)

這樣就需要研究在陣列幅相誤差模型下,對輻射信號DOA的估計方法。

2算法原理

設(shè)M個陣元中有q個陣元的幅相誤差精確校準(zhǔn),將此q個陣元稱為輔助陣元。把均勻線陣分成兩個子陣,其中前M-1個陣元構(gòu)成子陣1,后M-1個陣元構(gòu)成子陣2,則兩個子陣的導(dǎo)向矢量可分別表示為

(8)

(9)

式中,(M-1)×N維矩陣A1和A2分別表示兩個子陣的理想導(dǎo)向矢量;Γ1和Γ2分別表示兩個子陣的幅相誤差矩陣,可以寫為

(10)

(11)

A1和A2滿足

(12)

式中,Φ=diag{ej2πdsin θ1/λ,ej2πdsin θ2/λ,…,ej2πdsin θN/λ}。

(13)

(14)

(15)

式中,B1和B2分別為N×N維和(2(M-1)-n)×N維矩陣。B1的N行元素線性獨立,B2可由B1的線性變換表示,即

PHB1=B2

(16)

(17)

此時就存在一個唯一的N×N非奇異矩陣T,滿足

(18)

(19)

式中,N×(M-1-n)維P1、N×N維P2和N×(M-1-n)維P3為P的3個子陣,即

(20)

那么,此時可以得到

(21)

可推導(dǎo)出

(22)

式中,Ψ=T-1ΦT,為N×N維Φ的相似矩陣。則Ψ的特征值是Φ的對角線元素,Ψ的特征向量為矩陣T的各列。

那么只要估計出矩陣Ψ,對其進(jìn)行特征分解,即可得到它的N個特征值e1,e1…,eN,從而就可以估計出入射信號的DOA為

(23)

而對于式(22),又可進(jìn)一步化簡為

(24)

(25)

(26)

根據(jù)式(26)中的定義,可以很容易推得幅相誤差系數(shù)的求解表達(dá)式,即

(27)

(28)

先對協(xié)方差矩陣去噪,然后再估計傳播算子,令

(29)

(30)

(31)

(32)

式中,G為2(M-1)×N維矩陣;H為2(M-1)×(2(M-1)-N)維矩陣,且二者滿足關(guān)系

H=GP

(33)

(34)

式中,‖·‖F(xiàn)表示Frobenius范數(shù)。

通過求解可以得到

(35)

(36)

以Ψ為變量,最小化上式給出的目標(biāo)函數(shù),可以得到Ψ的如下最小二乘解

(37)

(38)

(39)

再將式(25)代入式(39),能夠推得

(40)

其中⊙表示Hadamard積。令

(41)

那么根據(jù)式(39)、式(40)和式(41)的推導(dǎo),可得

(42)

(43)

這樣,求解式(36)目標(biāo)函數(shù)最小化的問題就轉(zhuǎn)化為了線性約束下的優(yōu)化問題,即

(44)

(45)

令

(46)

從而得到方程組

(47)

將此方程組寫成矩陣形式

(48)

通過推導(dǎo),可以求解出

(49)

求出陣列幅相誤差系數(shù)后,可以進(jìn)一步得到陣列幅相誤差矩陣,即

(50)

(51)

利用估計出的陣列幅相誤差矩陣,就可以進(jìn)一步校正陣列流形,達(dá)到幅相誤差校正的目的。

目前對于基于輔助陣元的幅度相位校正類方法的研究非常廣泛,其中典型的算法就包括文獻(xiàn)[21]中的RARE算法和文獻(xiàn)[22]給出的基于ESPRIT的幅相誤差校正算法。RARE算法在實現(xiàn)過程中,需要矩陣特征分解運算和譜峰搜索過程,這將帶來巨大的運算量,增加了算法的復(fù)雜度。文獻(xiàn)[22]方法接近傳統(tǒng)的ESPRIT算法,不需要進(jìn)行譜峰搜索,但是其需要特征分解運算。

這里單獨考慮求解子空間方法的復(fù)數(shù)計算量,設(shè)采樣數(shù)據(jù)快拍數(shù)為1。如使用特征分解法求解子空間,求解協(xié)方差矩陣的計算量為O(M2),需要對協(xié)方差矩陣再進(jìn)行特征分解運算,特征分解運算的計算量共為O(M2+M3)。而對于本文基于正交線性變換思想的子空間求解方法,根據(jù)式(35),其對應(yīng)的復(fù)數(shù)計算量為O(N2+N3+N(M-N)+(M-N)2)[24]。由于要保證無模糊測向,信源數(shù)N必然小于陣元數(shù)M,而且本文方法無三次方的復(fù)乘運算,所以本文方法的計算量要小于文獻(xiàn)[22]方法。各方法復(fù)數(shù)乘法運算復(fù)雜度對比如表1所示。

表1　運算復(fù)雜度對比

3實驗分析

下面通過仿真實驗驗證本文方法在估計輻射信號DOA和陣列幅相誤差系數(shù)方面的性能。并與同樣利用輔助陣元進(jìn)行幅相誤差校正的RARE方法[21]和文獻(xiàn)[22]方法的進(jìn)行性能對比。

實驗條件:采用9陣元均勻線陣,陣元間距為入射信號的半波長。2個非相干入射信號角度為-10°和10°。前4個陣元為幅度相位特性一致的輔助陣元,其余5個陣元的幅相誤差向量η=[0.6ejπ/6,0.8e-jπ/18,1.53e-jπ/15,0.75ejπ/20,1.36e-jπ/10]T。噪聲為零均值高斯白噪聲。統(tǒng)計實驗時,蒙特卡羅實驗次數(shù)為100次。

實驗中,DOA估計的均方根誤差定義為

(52)

幅度和相位誤差系數(shù)估計的均方根誤差定義為

(53)

(54)

分辨成功概率定義為正確分辨的次數(shù)與實驗次數(shù)的比值,其中估計的角度誤差小于真實角度間隔的一半時認(rèn)為正確分辨。

實驗 1測角精度。實驗中設(shè)置了4個無幅相誤差的輔助陣元,可以使用經(jīng)典空間譜估計算法,進(jìn)行DOA估計。這里將本文方法的DOA估計性能與只利用4個無幅相誤差陣元的MUSIC算法,ESPRIT算法和PM算法的估計性能進(jìn)行比較?？炫臄?shù)為100,不同信噪比下各個算法DOA估計的均方根誤差如圖1所示;信噪比為10dB,不同快拍數(shù)下各個算法DOA估計的均方根誤差如圖2所示。比較本文方法,RARE算法和文獻(xiàn)[22]算法的DOA估計性能。快拍數(shù)為100,不同信噪比下各個算法DOA估計的均方根誤差如圖3所示;信噪比為10dB,不同快拍數(shù)下各個算法DOA估計的均方根誤差如圖4所示。

圖1　信噪比對DOA估計均方根誤差的影響

圖2　快拍數(shù)對DOA估計均方根誤差的影響

圖3　信噪比對DOA估計均方根誤差的影響

圖4　快拍數(shù)對DOA估計均方根誤差的影響

仿真結(jié)果表明,本文方法的DOA估計精度比只用4個輔助陣元的空間譜估計方法高。這是因為本文方法利用了較多陣元的接收數(shù)據(jù),雖然其余五個陣元具有幅相誤差,但是本文方法做了有效的校正。同時,與其他同樣進(jìn)行了幅相誤差校正的方法相比,本文方法同樣具有較高的DOA估計精度。

實驗 2分辨概率。對比本文校正方法,RARE方法和文獻(xiàn)[22]方法對多個信號分辨成功概率的統(tǒng)計結(jié)果。對不同信噪比和不同快拍數(shù)條件下的分辨成功概率進(jìn)行統(tǒng)計,取快拍數(shù)100,信噪比10dB,仿真統(tǒng)計結(jié)果如圖5和圖6所示。

圖5　信噪比對成功分辨概率的影響

圖6　快拍數(shù)對成功分辨概率的影響

由圖5和圖6可以看出,在一定的信噪比和快拍數(shù)門限內(nèi),3種方法對2個信號的分辨成功概率均隨信噪比的增加而增大,隨快拍數(shù)的增多而提高。當(dāng)信噪比高于10dB,快拍數(shù)高于50時,本文方法和文獻(xiàn)[22]方法的分辨成功概率可以達(dá)到100%,3種方法中,本文方法的分辨性能最高,其次為文獻(xiàn)[22]方法,再次為RARE方法。

圖7　幅度誤差估計的均方根誤差

圖8　相位誤差估計的均方根誤差

仿真結(jié)果表明,本文方法對幅相誤差系數(shù)的估計精度隨著信噪比的增加而提高。當(dāng)信噪比高于15dB,本文方法對幅相誤差估計的均方根誤差低于10%。從而可以說明,當(dāng)信噪比足夠高時,本文方法對幅度和相位誤差的估計可以達(dá)到較高的估計精度和穩(wěn)定性。

表2　幅度和相位誤差估計的均值和方差

4結(jié)論

實際被動陣列測向系統(tǒng)中,陣列幅相誤差嚴(yán)重影響測向算法性能。本文提出一種基于線性變換的陣列幅相誤差自校正算法,能夠有效地估計出陣列幅相誤差系數(shù)和輻射信號的DOA。與其他相關(guān)方法相比,其不需要譜峰搜索,無特征分解運算,算法計算量小,復(fù)雜度低。仿真結(jié)果表明,該方法能夠獲得較高的DOA估計性能和幅相誤差系數(shù)的估計精度。通過本文方法的研究,可以進(jìn)一步推動陣列測向方法在實際被動測向系統(tǒng)中的應(yīng)用。

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曲志昱(1983-),女,副教授,博士,主要研究方向為寬帶信號檢測、處理與識別及高分辨高精度測向技術(shù)。

E-mail:quzhiyu@hrbeu.edu.cn

吳迪(1987-),女,博士研究生,主要研究方向為高分辨高精度測向技術(shù)、陣列誤差校正技術(shù)。

E-mail:wudi7212@126.com

王炎(1992-)，男,博士研究生,主要研究方向為高分辨高精度測向技術(shù)。

E-mail:wangyan17855@163.com

Self-calibration method of gain/phase error based on linear transformation

QU Zhi-Yu1, WU Di2, WANG Yan1

(1.CollegeofInformationandCommunicationEngineering,HarbinEngineeringUniversity,Harbin150001,China;2.RadarResearch(Beijing)LeihuaElectronicTechnologyInstitute,Beijing100012,China)

Abstract:Processing the signals received on an array of sensors for localization of multiple emitters is of great interest. However, the common array gain/phase errors will severely affect the estimation performance of direction finding algorithms. In this paper, a self-calibration method of gain/phase errors based on linear transformation is proposed. Both the gain/phase coefficients and direction of arrival (DOA) can be estimated effectively by a sequence of processes including applying a group of instrumental sensors with consistent gain/phase performance, converting and deriving the matrix by using the orthogonal linear transformation as well as combining the least squares method. The proposed algorithm is able to self-calibrate the array gain/phase errors without spectral searching and matrix decomposition, there it is low in computational load and complexity. Furthermore, the computer simulation results verify the effectiveness and superiority of the algorithm.

Keywords:direction of arrival (DOA) estimation; array gain/phase errors; self-calibration; linear transformation

收稿日期：2015-05-28；修回日期：2015-10-18；網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版日期：2016-01-27。

基金項目：航空科學(xué)基金(201401P6001)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費重點專項資金項目(HEUCF150804)資助課題

中圖分類號：TN 911

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.3969/j.issn.1001-506X.2016.06.02

作者簡介：

網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2422.TN.20160127.1541.008.html