梁明軒　 王曉林 　袁惠群 　于印鑫

1. 中國計(jì)量學(xué)院, 杭州, 310018　2. 東北大學(xué), 沈陽, 110819 3.昆明理工大學(xué)， 昆明，650500

基于響應(yīng)面法的轎車主減速齒輪可靠性靈敏度研究

梁明軒1王曉林1袁惠群2于印鑫3

1. 中國計(jì)量學(xué)院, 杭州, 3100182. 東北大學(xué), 沈陽, 110819 3.昆明理工大學(xué)， 昆明，650500

摘要：為獲得某轎車主減速齒輪尺寸參數(shù)對其傳動(dòng)可靠性的影響，提出采用改進(jìn)拉丁超立方抽樣(LHS)獲取隨機(jī)尺寸樣本的方法；通過顯式有限元仿真構(gòu)建齒面最大接觸應(yīng)力完全二次響應(yīng)面(RSM)，研究了可靠度對參數(shù)的靈敏度。結(jié)果表明主減速齒輪可靠度對壓力角和模數(shù)的均值與方差較為敏感，應(yīng)合理控制其取值。

關(guān)鍵詞：主減速齒輪；改進(jìn)拉丁超立方抽樣；完全二次響應(yīng)面；可靠性靈敏度

0引言

汽車變速器是影響汽車性能的關(guān)鍵部件之一，其內(nèi)部主減速齒輪副處于常嚙合狀態(tài)，承受著整車的全部驅(qū)動(dòng)負(fù)載，且工況復(fù)雜多變，一旦出現(xiàn)故障不容易替換，該齒輪副的動(dòng)力穩(wěn)健性將會(huì)直接影響到整車的耐久性和可靠性等性能指標(biāo)[1-3]。影響齒輪副接觸應(yīng)力的因素有很多，采用蒙特卡羅(MonteCarlo)模擬齒輪接觸應(yīng)力分布時(shí)，需將不確定因素作為隨機(jī)變量建立概率模型，此時(shí)樣本抽樣方法對于近似響應(yīng)面模型的建立至關(guān)重要[4]。近20年來，拉丁超立方抽樣方法已廣泛應(yīng)用于預(yù)測模式的參數(shù)不確定性分析中[5-7]。為了用較少的樣本有效地估計(jì)響應(yīng)變量的均值，McKay等[5]提出了中值拉丁超立方抽樣(medianLatinhypercubesampling,MLHS)方法，它可以在抽取較少樣本的情況下，獲得較高的計(jì)算精度。Jirutitijaroen等[6]提出了含隨機(jī)排序法的拉丁超立方抽樣(LHSwithrandompermutation,LHSRP)方法，該方法需要準(zhǔn)備足夠數(shù)量的素?cái)?shù)并考慮素?cái)?shù)的根逆轉(zhuǎn)換，以上方法均沒有考慮抽樣參數(shù)的概率分布尾部特征。

目前，機(jī)械零件可靠性靈敏度分析大多以單個(gè)一體化結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)量作為極限狀態(tài)函數(shù)[8-11]，對于含有齒輪耦合接觸非線性的可靠度靈敏性分析在文獻(xiàn)中鮮見。文獻(xiàn)[8]采用不含交叉項(xiàng)的純二次多項(xiàng)式響應(yīng)面法對翼梁結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度可靠度進(jìn)行計(jì)算，獲得了機(jī)翼腹板和上下緣線等基本變量參數(shù)對結(jié)構(gòu)的可靠性靈敏度。文獻(xiàn)[9]將6σ可靠性方法與協(xié)同優(yōu)化相結(jié)合研究了汽車車橋輕量化問題，表明協(xié)同優(yōu)化方法得到的最優(yōu)解提高了系統(tǒng)的可靠性。王新剛等[10]重點(diǎn)考慮零件可靠度和失效率受變載荷和強(qiáng)度退化的影響，分析了管形截面扭桿在時(shí)變載荷作用下的動(dòng)態(tài)可靠性靈敏度。

事實(shí)上，由于設(shè)計(jì)公差、制造誤差和嚙合磨損等因素影響，汽車主減速齒輪副尺寸分布具有一定的隨機(jī)性，此時(shí)按確定性設(shè)計(jì)的齒輪副仍有可能發(fā)生疲勞失效。為體現(xiàn)參數(shù)分布的重要性，本文首先改進(jìn)了LHS抽樣，利用顯式動(dòng)態(tài)有限元程序仿真獲得了不同參數(shù)樣本下主減速齒輪副嚙合三維接觸應(yīng)力，從而構(gòu)建了齒面接觸極限狀態(tài)完全二次多項(xiàng)式顯式響應(yīng)面，計(jì)算了主減速齒輪副在隨機(jī)尺寸參數(shù)影響下的可靠度，并對影響嚙合可靠性的基本隨機(jī)變量的靈敏度進(jìn)行了分析，該方法和研究結(jié)果能較好地用于轎車主減速齒輪副結(jié)構(gòu)優(yōu)化。

1改進(jìn)的拉丁超立方重要性抽樣

x1,in=Fi-1((n-0.5)/N)

(1)

采用子區(qū)間隨機(jī)抽樣的LHSRP法樣本點(diǎn)x2,in可表示為

x2,in=Fi-1(ri,n/N+(n-1)/N)

(2)

式中，ri,n為[0,1]內(nèi)的獨(dú)立偽隨機(jī)數(shù)，n=1,2,…,N。

當(dāng)采用LHIS法抽樣時(shí)，抽取概率密度曲線期望左邊子區(qū)間的右邊界點(diǎn)，抽取期望值右邊子區(qū)間的左邊界點(diǎn)，這樣就保證抽取更多的期望值附近樣本點(diǎn)，更接近實(shí)際樣本分布特征，其樣本點(diǎn)x3,in可以表示為

(3)

采用MLHS法、LHSRP法和LHIS法的抽樣過程如圖1a和圖1b所示，對于樣本Xi服從期望為4、標(biāo)準(zhǔn)差為2的正態(tài)分布的6次抽樣結(jié)果如圖1c和圖1d所示?？梢钥闯鯩LHS法和LHSRP法抽樣更側(cè)重于在子區(qū)間內(nèi)取點(diǎn)，體現(xiàn)了“分層”的思想，而LHIS法的關(guān)鍵在于選取子區(qū)間內(nèi)趨近期望值的邊界頂點(diǎn)，兼顧了“分層”和“重要性”的思想，從而使抽樣結(jié)果能更好地體現(xiàn)樣本實(shí)際分布，具有較高的收斂性。

(a)MLHS、LHSRP法概率分布曲線

(b)LHIS法概率密度曲線

(c)MLHS、LHSRP法的抽樣結(jié)果(d)本文LHIS法的抽樣結(jié)果圖1　MLHS、LHSRP和LHIS方法的樣點(diǎn)比較圖

2主減速齒輪三維嚙合應(yīng)力響應(yīng)面

2.1響應(yīng)面模型理論

響應(yīng)面法(responsesurfacemethodology,RSM)是通過一系列確定性的試驗(yàn)擬合一個(gè)響應(yīng)面來模擬真實(shí)極限狀態(tài)曲面的方法。響應(yīng)面法作為經(jīng)典的代理模型方法包括線性響應(yīng)面、加權(quán)非線性響應(yīng)面、高精度響應(yīng)面以及Kriging響應(yīng)面等[11-12]，本文采用顯式完全二次多項(xiàng)式響應(yīng)面擬合隱式極限狀態(tài)函數(shù)，便于通過求可靠度顯式表達(dá)式的偏導(dǎo)數(shù)獲得系統(tǒng)的可靠性靈敏度。假設(shè)n維隨機(jī)輸入變量x和響應(yīng)向量y之間具有如下近似關(guān)系：

(4)

式中，a0、ai、aij(i=1,2，…,n; j=i,i+1,…,n)為待定系數(shù)。

對輸入變量x的k個(gè)樣本值(x1,x2,…,xk)進(jìn)行仿真試驗(yàn)，得到k個(gè)響應(yīng)量(y1,y2,…,yk)，則樣本點(diǎn)試驗(yàn)值與近似響應(yīng)面值之間的誤差可以表示為

(5)

利用最小二乘法對式(5)進(jìn)行回歸分析，使誤差項(xiàng)最小，則可以得到

(6)

通過對式(6)進(jìn)行求解可以得到系統(tǒng)基本隨機(jī)變量和結(jié)構(gòu)響應(yīng)值的近似關(guān)系式中各系數(shù)的估計(jì)值，從而得到響應(yīng)面函數(shù)的顯式表達(dá)式。

2.2基于顯式有限元法的齒輪嚙合仿真

某型國產(chǎn)變速器主減速器輸入齒輪齒數(shù)z1=15，輸出齒輪齒數(shù)z2=65，一擋工況輸入轉(zhuǎn)速w=95.993 rad/s，額定扭矩T=1545.818N·m。在主減速齒輪副的尺寸范圍內(nèi)，假設(shè)齒寬、螺旋角、壓力角和模數(shù)服從正態(tài)分布，各變量的取值全部集中在[μ-3σ, μ+3σ]，樣本分布均滿足3σ準(zhǔn)則，其均值和標(biāo)準(zhǔn)差如表1所示。

表1　主減速齒輪尺寸變量均值和標(biāo)準(zhǔn)差

齒面出現(xiàn)最大接觸應(yīng)力是齒輪出現(xiàn)點(diǎn)蝕失效的直接原因，為了構(gòu)建接觸應(yīng)力響應(yīng)面模型，首先利用LHIS法對主減速齒輪副尺寸隨機(jī)變量進(jìn)行抽樣，得到仿真樣本點(diǎn)，利用ABAQUS/Explicit顯式動(dòng)態(tài)有限元程序仿真得到每組樣本點(diǎn)齒面最大接觸應(yīng)力值。

圖2為某型主減速齒輪副有限元模型，分別在兩齒輪軸心建立參考點(diǎn)RP-1與RP-2，建立如圖2所示坐標(biāo)系，將齒輪內(nèi)圈與參考點(diǎn)完全耦合，通過參考點(diǎn)施加邊界條件和載荷，約束參考點(diǎn)x、y、z方向位移以及繞x、y軸的旋轉(zhuǎn)，保留繞z軸旋轉(zhuǎn)自由度；在RP-1點(diǎn)上施加轉(zhuǎn)速ω，在RP-2上施加負(fù)載扭矩T，仿真時(shí)間為20 ms，取齒面最大應(yīng)力作為響應(yīng)真實(shí)值。

圖3為樣本初始取值時(shí)齒面最大接觸應(yīng)力云圖，可以看出在動(dòng)態(tài)嚙合過程中齒面最大接觸應(yīng)力為947.62 MPa。

圖 2　ABAQUS/Explicit中主減速齒輪有限元模型

圖 3　初始樣本值下齒輪接觸應(yīng)力云圖

利用式(4)～式(6)進(jìn)行數(shù)據(jù)回歸分析可以得到主減速齒輪副接觸應(yīng)力響應(yīng)面模型，其系數(shù)如表2所示。

表2　響應(yīng)面函數(shù)系數(shù)項(xiàng)

3主減速器齒輪嚙合可靠性及靈敏度分析

3.1可靠性分析及可靠度

假設(shè)Pmax為主減速器齒輪副齒面許用接觸應(yīng)力強(qiáng)度因子，G(X)是接觸狀態(tài)響應(yīng)面函數(shù)，齒輪接觸存在兩種狀態(tài)：G(X)≥Pmax失效狀態(tài)；G(X)

μG=E(G(X))=μG(μ1,μ2,…,μk,D1,D2,…,Dk)

(7)

DG=D(G(X))=DG(μ1,μ2,…,μk,D1,D2,…,Dk)

(8)

由此可以得到狀態(tài)函數(shù)的可靠性指標(biāo)表達(dá)式為

(9)

對于任意分布的狀態(tài)函數(shù)可以采用蒙特卡羅法模擬得到其分布特征參數(shù)，若G(X)服從正態(tài)分布，則系統(tǒng)可靠度可表示為R=ψ(β)，其中ψ(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布[10]。取設(shè)計(jì)要求的主減速齒輪嚙合極限接觸強(qiáng)度因子Pmax=985 MPa。圖4為利用蒙特卡羅法通過2000次模擬得到的主減速齒面最大接觸應(yīng)力響應(yīng)狀態(tài)函數(shù)G(X)概率直方圖和正態(tài)概率圖。從圖4可以看出G(X)服從正態(tài)分布，得到狀態(tài)函數(shù)均值和標(biāo)準(zhǔn)差為：μG=949.4799 MPa，σG=351.6672 MPa。通過式(9)計(jì)算得到β=2.70，從而得到其可靠度R=0.9965。

(a)狀態(tài)函數(shù)G(X)概率直方圖

(b)狀態(tài)函數(shù)G(X)正態(tài)概率圖圖 4　主減速齒輪副最大接觸應(yīng)力函數(shù)概率分布圖

3.2主減速器接觸可靠性靈敏度分析

參數(shù)的靈敏度分析是確定各參數(shù)對模式預(yù)測結(jié)果的貢獻(xiàn)大小，均值靈敏度反映了樣本均值大小對可靠性的影響程度，方差靈敏度反映了樣本參數(shù)波動(dòng)性對可靠性的影響程度，它有利于在進(jìn)一步的研究過程中有效減小模式預(yù)測參數(shù)的不確定性程度。主減速齒輪接觸強(qiáng)度可靠度對基本隨機(jī)變量的均值和方差的靈敏度為

(10)

(11)

利用式(10)和式(11)將μG和DG對矩陣μ和D中各元素求偏導(dǎo)數(shù)，略去求解過程，得到

4結(jié)論

(1)利用改進(jìn)的拉丁超立方抽樣對某型主減速齒輪副基本結(jié)構(gòu)尺寸進(jìn)行了抽樣，采用完全二次多項(xiàng)式顯式響應(yīng)面法對其接觸可靠性進(jìn)行了分析。

(2)在主減速齒輪副基本尺寸樣本服從正態(tài)分布的情況下，由蒙特卡羅法模擬得到的最大齒面接觸應(yīng)力服從正態(tài)分布。主減速齒輪副模數(shù)分布是影響其可靠性的最主要因素；壓力角和模數(shù)均值的增大會(huì)降低其接觸可靠度，齒寬和螺旋角的增大會(huì)增大其可靠度；基本尺寸隨機(jī)波動(dòng)對其接觸可靠性影響相對較小。該方法可為轎車主減速齒輪嚙合傳動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)提供參考。

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(編輯王艷麗)

ReliabilitySensitivityforMainReductionGearsofaCarBasedonResponseSurfaceMethods

LiangMingxuan1WangXiaolin1YuanHuiqun2YuYinxin2

1.ChinaJiliangUniversity,Hangzhou， 3100182.NortheasternUniversity,Shenyang,1108193.KunmingUniversityofScienceandTechnology,Kunming,650500

Abstract：In order to obtain the effects of size parameters on reliability of the main reduction gears in a car, an improved LHS was presented to acquire the random size samples. The full quadratic RSM of the maximum contact stress on tooth surface was built through explicit finite element simulations to study reliability sensitivity to the key parameters. The results show that the mean and variance of pressure angle and modulus which are more sensitive to reliability of the gears must be selected reasonably in design stage.

Key words：main reduction gear; improved Latin hypercube sampling; full quadratic response surface model; reliability sensitivity

收稿日期：2015-05-04

基金項(xiàng)目：國家高技術(shù)研究發(fā)展計(jì)劃(863計(jì)劃)資助項(xiàng)目(2012AA040104);浙江省“儀器科學(xué)與技術(shù)”重中之重學(xué)科開放基金資助項(xiàng)目

中圖分類號：TK122

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2016.04.023

作者簡介：梁明軒，男，1986年生。中國計(jì)量學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院講師。研究方向?yàn)辇X輪箱傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)及其可靠性、轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)及振動(dòng)控制。發(fā)表論文6篇。王曉林，男，1957年生。中國計(jì)量學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院教授。袁惠群，男，1954年生。東北大學(xué)理學(xué)院教授、博士研究生導(dǎo)師。于印鑫，男，1983年生。昆明理工大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院講師。