侯永剛趙長印張明江孫榮煜

(1中國科學(xué)院紫金山天文臺(tái)南京210008)(2中國科學(xué)院空間目標(biāo)與碎片觀測重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室南京210008)(3中國科學(xué)院大學(xué)北京100049)

利用太陽光壓的大偏心率伴飛衛(wèi)星軌道控制?

侯永剛1,2,3?趙長印1,2張明江1,2孫榮煜1,2

(1中國科學(xué)院紫金山天文臺(tái)南京210008)
(2中國科學(xué)院空間目標(biāo)與碎片觀測重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室南京210008)
(3中國科學(xué)院大學(xué)北京100049)

提出了利用太陽帆進(jìn)行大偏心率伴飛衛(wèi)星軌道控制的方法.伴飛衛(wèi)星圍繞其慣量主軸做角速度恒定的自轉(zhuǎn),其慣量主軸在慣性系內(nèi)指向保持不變.對(duì)伴飛衛(wèi)星的控制分為軌道面的控制和軌道面內(nèi)控制兩部分.在控制過程中,優(yōu)先考慮軌道面內(nèi)的控制,在軌道面內(nèi)控制不能進(jìn)行(或者因?yàn)閹缀卧虿荒苓M(jìn)行軌道面內(nèi)控制)時(shí),進(jìn)行軌道面的控制.通過滑膜控制方法(Sliding Mode Control)計(jì)算軌道面內(nèi)控制需要的控制力的方向和大小.得到需求的控制力要求后,推算出在控制過程中太陽帆相對(duì)于伴飛衛(wèi)星主體的角度解析表達(dá)式.通過控制太陽帆的方向得到所需的不同的控制力.整個(gè)控制過程只針對(duì)伴飛衛(wèi)星,主星處于自然飛行狀態(tài).最后對(duì)于這種控制方法進(jìn)行數(shù)值驗(yàn)證.在無攝運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下通過控制系統(tǒng)進(jìn)行伴飛軌道的軌道調(diào)整和誤差消除,在考慮4階非球形引力和第三體引力攝動(dòng)情況下進(jìn)行伴飛軌道的軌道維持.數(shù)值結(jié)果表明通過這種控制方法伴飛軌道能夠保持軌道誤差小于5 m.

航天器,天體力學(xué),方法:數(shù)值

1 引言

伴飛軌道的設(shè)計(jì)、控制和應(yīng)用是目前空間科學(xué)的熱門研究領(lǐng)域之一,經(jīng)過二十多年的發(fā)展,取得了豐富的成果.通過伴飛衛(wèi)星和主衛(wèi)星協(xié)作或者幾個(gè)衛(wèi)星組成編隊(duì)等協(xié)作方式,空間衛(wèi)星能夠完成很多復(fù)雜的空間任務(wù).相比于傳統(tǒng)的單個(gè)大衛(wèi)星,編隊(duì)衛(wèi)星有費(fèi)用低、可替換性高、靈活性大、應(yīng)用范圍廣等優(yōu)點(diǎn),在實(shí)際應(yīng)用中有廣闊的市場.在各種攝動(dòng)力的影響下,伴飛軌道并不能夠保持穩(wěn)定,伴飛衛(wèi)星和主星之間的幾何關(guān)系需要通過不斷地調(diào)整軌道來保持.這個(gè)控制過程需要消耗很多星載燃料.因此減少控制過程中的燃料消耗成為現(xiàn)在伴飛軌道研究中最主要的問題.

減少控制過程的燃料消耗主要有兩個(gè)途徑.一是通過初始軌道設(shè)計(jì),減少已知的軌道攝動(dòng)因素(主要是地球非球形引力攝動(dòng)J2項(xiàng)和其他有明確的長期項(xiàng)作用的攝動(dòng)因素)對(duì)伴飛軌道的影響,從而減少對(duì)伴飛軌道的控制次數(shù)和控制力.二是通過優(yōu)化控制策略使得燃料的利用率增加來達(dá)到節(jié)省燃料的目的.許多系統(tǒng)控制方法被應(yīng)用在伴飛軌道控制的領(lǐng)域,比較典型的有線性系統(tǒng)的控制方法、LQR控制和非線性系統(tǒng)控制方法滑膜控制等[1?3].通過調(diào)整控制方案,可以在一定范圍內(nèi)節(jié)省燃料.由于控制力通過化學(xué)燃料來提供,星載燃料的消耗仍舊是不可避免的.本文提出的應(yīng)用太陽光壓作為控制力能夠更大限度節(jié)省燃料.

大偏心率軌道在近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)處的軌道高度差距非常大,在一個(gè)周期中衛(wèi)星經(jīng)歷包括低軌和中高軌等各種不同的空間環(huán)境.因此大偏心率衛(wèi)星在空間探測以及通信導(dǎo)航等領(lǐng)域有著很廣泛的應(yīng)用.大偏心率軌道上同樣可以設(shè)計(jì)伴飛軌道,比如已經(jīng)發(fā)射成功的Cluster II編隊(duì)衛(wèi)星,整個(gè)系統(tǒng)由4個(gè)衛(wèi)星組成四面體結(jié)構(gòu),在近地點(diǎn)能夠進(jìn)行地球重力場的觀測,在遠(yuǎn)地點(diǎn)能夠進(jìn)行太陽風(fēng)和空間天氣的觀測[4].

利用小推力進(jìn)行軌道的控制和演化已經(jīng)被很多學(xué)者提出并進(jìn)行比較深入的研究[5?8].在衛(wèi)星上安裝太陽帆和大氣阻尼帆板,通過太陽光壓的作用力和大氣的作用力進(jìn)行軌道控制同樣也可以視為應(yīng)用小推力進(jìn)行軌道控制.通過適當(dāng)調(diào)整太陽帆的角度能夠消除升交點(diǎn)經(jīng)度的長期演化對(duì)伴飛軌道的破壞[9],驗(yàn)證了在軌道面內(nèi)通過這兩種自然作用力進(jìn)行軌道控制的可行性[10].但是這些研究都是主要針對(duì)主星軌道為近圓軌道的伴飛類型,并且設(shè)定衛(wèi)星為三軸穩(wěn)定型衛(wèi)星.主星軌道為大橢圓時(shí),伴飛衛(wèi)星相對(duì)于主星的軌道發(fā)生很大變化,軌道形狀不再是橢圓.動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)不能夠用線性系統(tǒng)表示.在控制策略的制定時(shí),不能應(yīng)用已經(jīng)很成熟的線性控制策略,需要設(shè)計(jì)新的控制機(jī)制.

本文將研究主從衛(wèi)星的伴飛方式,主星的軌道為大偏心率軌道,主星不依靠太陽光壓進(jìn)行控制(實(shí)際狀況中主星質(zhì)量比較大,應(yīng)用太陽光壓控制不合理),伴飛衛(wèi)星上安裝有太陽帆以提供控制力.伴飛衛(wèi)星在地球質(zhì)心慣性坐標(biāo)系(Earth Centrical Inertial coordinate,ECI)下保持穩(wěn)定自旋,并且自旋角速度方向與其慣量主軸重合,在飛行過程中,慣量主軸在ECI中方向保持不變.控制通過反作用輪對(duì)太陽帆與伴飛衛(wèi)星主體的相對(duì)角度進(jìn)行調(diào)整來實(shí)現(xiàn).控制過程中優(yōu)先考慮軌道面內(nèi)的控制.當(dāng)軌道面內(nèi)的控制完成或者因?yàn)閹缀谓嵌炔粷M足軌道面內(nèi)控制條件時(shí),進(jìn)行軌道面控制.在伴飛衛(wèi)星的初始軌道設(shè)計(jì)和軌道重構(gòu)的軌道設(shè)計(jì)中,考慮非球形引力攝動(dòng)J2項(xiàng)長期項(xiàng)的影響.

本文第2部分介紹伴飛運(yùn)動(dòng)的非線性動(dòng)力學(xué)模型,包括幾種不同的坐標(biāo)系和控制系統(tǒng)中的相對(duì)運(yùn)動(dòng)的非線性運(yùn)動(dòng)方程.第3部分為具體的控制策略表述,包括在飛行過程中太陽帆相對(duì)伴飛衛(wèi)星主體的角度的控制和利用滑膜方法得到軌道面內(nèi)控制時(shí)對(duì)控制力的要求.第4部分通過數(shù)值驗(yàn)證證明本文提出的方法切實(shí)可行,包括伴飛衛(wèi)星的軌道重構(gòu)和入軌誤差的消除.第5部分總結(jié)本文提出的方法并對(duì)未來的應(yīng)用狀況做出展望.

要準(zhǔn)確描述伴飛軌道的相對(duì)運(yùn)動(dòng)需要應(yīng)用不同的坐標(biāo)系,本文采用3個(gè)坐標(biāo)系系統(tǒng).對(duì)伴飛軌道進(jìn)行控制和重構(gòu)需要精確的動(dòng)力學(xué)模型,包括無攝條件下伴飛軌道的動(dòng)力學(xué)描述和攝動(dòng)力(包括控制力和對(duì)伴飛軌道造成破壞的攝動(dòng)力)作用下的攝動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程.

2 基礎(chǔ)知識(shí)

2.1 坐標(biāo)系系統(tǒng)

J2000地球質(zhì)心慣性系(ECI):原點(diǎn)為地球的質(zhì)心,參考平面為J2000歷元的平赤道, X軸指向?yàn)镴2000歷元的平春分點(diǎn),記做O?XY Z.

主星軌道坐標(biāo)系(Local Vertical Local Horizontal frame,LVLH):原點(diǎn)為主星的質(zhì)心,參考平面為主星的軌道面,x軸指向?yàn)橹餍堑氖笍降姆较?y軸的指向?yàn)榕c主星運(yùn)動(dòng)方向同側(cè)垂直于x的方向,z軸指向?yàn)橹餍堑慕莿?dòng)量方向,記做o?xyz.

伴飛衛(wèi)星本體坐標(biāo)系:原點(diǎn)為伴飛衛(wèi)星的質(zhì)心,z′軸指向?yàn)榘轱w衛(wèi)星自轉(zhuǎn)角動(dòng)量的方向,x′指向?yàn)樘柟夂蛕′軸組成的平面與參考平面的交線中與x同向的方向,記做o′?x′y′z′.

2.2 相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程

在主星LVLH坐標(biāo)系中,伴飛衛(wèi)星的位置矢量為[11]:

其中ρ=[x,y,z]T表示伴飛衛(wèi)星在主星LVLH坐標(biāo)系下的位置.ωl代表主星軌道的瞬時(shí)角速度,μ代表地球引力常數(shù),rc代表主星在ECI坐標(biāo)系中的位置,f代表除去地球中心引力外的其他所有力的作用,包括攝動(dòng)力和控制力.伴飛衛(wèi)星相對(duì)主星的位置矢量大小遠(yuǎn)小于主星相對(duì)于地心的位置矢量大小,因此有|ρ/rc|?1,將其代入(1)式中,并且保留其1階量,可以得到相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程的簡化形式[11]:

其中θ=ω+f為緯度幅角,ω是主星軌道的近心點(diǎn)角距,f是真近點(diǎn)角.d=[dx,dy,dz]T是相對(duì)攝動(dòng)力,u=[ux,uy,uz]T是控制力.通過橢圓軌道的關(guān)系式:

其中np是主星軌道的平運(yùn)動(dòng)角速度,e為主星軌道的偏心率,可以把(3)式簡化為下列矩陣形式[11]:

其中A和B均為3×3階矩陣,其具體的表達(dá)形式為[10]:

對(duì)于大偏心率軌道,動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)為非線性系統(tǒng).在控制過程中,動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)會(huì)由于不同的初始狀態(tài)量的變化而變化,因此要設(shè)計(jì)特殊的控制系統(tǒng)進(jìn)行控制.

主星的開普勒軌道根數(shù)為σ=[a,e,i,ω,?,M]T,伴飛衛(wèi)星的相對(duì)軌道根數(shù)記做δσ=[δa,δe,δi,δω,δ?,δM]T.通過矩陣旋轉(zhuǎn)能夠用軌道根數(shù)得到ρ的表達(dá)方式為:

其中Rx、Rz分別表示繞x、z軸的旋轉(zhuǎn)矩陣,rf、r分別表示伴飛衛(wèi)星和主星的位置矢量.相對(duì)軌道根數(shù)δσ均為小量,經(jīng)過線性化之后可以得到用相對(duì)軌道根數(shù)1階量表示的伴飛衛(wèi)星的相對(duì)位置為[12]:

3 控制系統(tǒng)

控制系統(tǒng)包括硬件系統(tǒng)和軟件系統(tǒng)兩個(gè)部分.太陽帆的安裝以及其相對(duì)姿態(tài)調(diào)整是整個(gè)控制系統(tǒng)的基礎(chǔ).對(duì)于不同的飛行狀態(tài),采用不同的控制策略,通過對(duì)太陽帆的調(diào)整,保持系統(tǒng)的穩(wěn)定.

3.1 攜帶太陽帆的伴飛衛(wèi)星構(gòu)造以及角度調(diào)整

安裝太陽帆的伴飛衛(wèi)星的構(gòu)造如圖1所示,伴飛衛(wèi)星的主體為圓柱形,太陽帆為長方形并且通過連接桿與伴飛衛(wèi)星的主體相連.ns為軌道平面法線單位矢量,α表示軌道平面法線方向與伴飛衛(wèi)星自轉(zhuǎn)軸夾角的余角.太陽帆與連接桿固連,連接桿與伴飛衛(wèi)星主體之間通過兩個(gè)反作用輪相連.連接桿為圓柱形,通過反作用輪的控制,連接桿能夠圍繞其旋轉(zhuǎn)軸做角度為0??360?的旋轉(zhuǎn),同時(shí)連接桿本身能夠繞伴飛衛(wèi)星的主體旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)角度為?90??90?.在調(diào)整太陽帆的過程中,反作用輪消耗一定的能量,這些能量可以通過與太陽帆相連的太陽能電池提供,并不需要消耗伴飛衛(wèi)星上的燃料.兩個(gè)太陽帆完全相同,對(duì)稱分布在伴飛衛(wèi)星主體的兩側(cè).在控制過程中,這種對(duì)稱的構(gòu)造能夠使伴飛衛(wèi)星保持旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定性,不會(huì)增加額外的角速度.

圖1 攜帶太陽帆的伴飛衛(wèi)星構(gòu)造Fig.1 The construction of the follower with solar wings

如圖2所示,在坐標(biāo)系o1?x1y1z1中,p平面垂直于坐標(biāo)系的參考平面o1?x1y1,伴飛衛(wèi)星的太陽帆連接桿的自選旋轉(zhuǎn)軸在p平面內(nèi),γ為平面o1?x1z1與平面p的夾角,是表征衛(wèi)星自旋的角度量.b表示伴飛衛(wèi)星的太陽帆連接桿的自選旋轉(zhuǎn)軸的指向,?表示太陽帆連接桿與伴飛衛(wèi)星自轉(zhuǎn)軸之間的夾角,其表征連接桿相對(duì)于伴飛衛(wèi)星主體之間的相對(duì)方向調(diào)整.n表示太陽帆的法線方向的單位矢量,β為太陽帆法線方向與平面p之間的夾角,其表征連接桿的自旋.F表示需要的攝動(dòng)力的方向,ζ表示攝動(dòng)力與x1的夾角.

圖2 伴飛衛(wèi)星本體坐標(biāo)系Fig.2 The body- fixed frame of the follower

控制力來源于太陽光壓,其中太陽光壓產(chǎn)生的攝動(dòng)加速度為[9]:

其中p0=4.624×10?6N·m?2為光壓常數(shù),1＜q＜2為光壓系數(shù),s為兩個(gè)太陽帆的總面積,m為伴飛衛(wèi)星的總質(zhì)量,L表示太陽光照射的方向,假定太陽光為平行光.控制力的方向均通過調(diào)整太陽帆來達(dá)到.在o1?x1y1z1坐標(biāo)系中,太陽帆法向向量n可以用圖2中定義的幾個(gè)角度量來表示,其具體表達(dá)式為:

由拉格朗日攝動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程可知,軌道根數(shù)i、ω只被垂直于軌道面攝動(dòng)力的作用影響,其余4個(gè)軌道根數(shù)只受軌道面內(nèi)攝動(dòng)力的影響(ω會(huì)因?yàn)?的變化而產(chǎn)生一定的變化).太陽帆控制類型有3種,一是保持在軌道面內(nèi)一定的控制力的作用,二是保持垂直于軌道面的控制作用,三是保持垂直于光線照射的方向(以免光壓成為破壞伴飛軌道的攝動(dòng)力).

所需的控制力為u,通過矩陣旋轉(zhuǎn)能夠得到u在o1?x1y1z1坐標(biāo)系中的表達(dá)式,如將o?xyz的坐標(biāo)原點(diǎn)轉(zhuǎn)移到o1點(diǎn),角ζ表示ox軸與平面o1?x1y1的夾角,那么旋轉(zhuǎn)矩陣為:

在伴飛衛(wèi)星飛行過程中,α變化比較慢,ζ隨著軌道的真近點(diǎn)角的增加做周期性變化.在軌道面內(nèi)控制時(shí),uz=0,此時(shí)u′滿足:

要利用太陽帆進(jìn)行軌道控制,就要求太陽帆的法線方向與控制力方向相反,即要滿足:

將(10)式和(11)式代入(12)式后可以得到需要控制的角度?、β滿足的條件:

當(dāng)太陽光壓不能提供控制力時(shí),需要將太陽帆平行于太陽光照射方向,此時(shí):

其中

將(10)式和太陽光照方向矢量的表達(dá)式代入(15)式中,可以得到兩個(gè)角度量之間的關(guān)系:

確定需要的控制力之后通過(13)式或者(16)式來控制太陽帆,就能夠?qū)崿F(xiàn)伴飛衛(wèi)星的軌道控制.

3.2 初始軌道和控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

伴飛衛(wèi)星受到攝動(dòng)力的作用,會(huì)逐漸偏離原來的軌道,造成伴飛軌道的破壞.其中非球形引力攝動(dòng)和日月第三體引力攝動(dòng)屬于保守力攝動(dòng),存在攝動(dòng)勢函數(shù),通過初始軌道根數(shù)調(diào)整能夠消除保守力攝動(dòng)長期項(xiàng)的影響.在主星的LVLH坐標(biāo)系下,攝動(dòng)影響最大的是沿跡方向的誤差.根據(jù)(7)式,要消除沿跡方向上的攝動(dòng),必須滿足:

要滿足(17)式,要求式中左邊的初始狀態(tài)均為0,并且變化率為零.定義兩個(gè)變量:

令保守?cái)z動(dòng)平均化之后的勢函數(shù)為R(a,e,i),根據(jù)拉格朗日攝動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程,可以得到和表達(dá)式:

令差分值δ˙λ=0就可以消除保守力攝動(dòng)長期項(xiàng)造成伴飛軌道y方向上的長期漂移.在所有的長期項(xiàng)中,影響最大的是非球形引力攝動(dòng)J2項(xiàng)的影響.只考慮J2項(xiàng)作用時(shí),初始軌道根數(shù)要滿足的條件可以簡化為:

應(yīng)用此式作為初始軌道的限制條件,更高的精度要求可以用(20)式作為限制條件.

通過(2)式可得,在主星LVLH坐標(biāo)系中,伴飛衛(wèi)星的位置矢量在ox和oy方向上是相互耦合的,在oz方向上是獨(dú)立的.因此,可以將整個(gè)伴飛軌道的控制系統(tǒng)分開.其中ox和oy方向是二維的非線性控制系統(tǒng),oz方向是一維的非線性控制系統(tǒng).

在實(shí)行ox和oy方向控制時(shí),太陽帆不提供oz方向的控制力;在實(shí)行oz方向控制時(shí),在ox和oy方向上均不提供控制力.在控制過程中,以ox和oy方向控制為優(yōu)先控制,當(dāng)ox和oy方向控制因?yàn)閹缀谓嵌仍蚧蛘咭呀?jīng)完成控制時(shí),實(shí)行oz方向控制.由于太陽帆能夠提供的攝動(dòng)加速度并不很大,這種方法能夠節(jié)省整個(gè)控制過程需要的時(shí)間.針對(duì)ox和oy方向控制應(yīng)用滑膜控制方法設(shè)計(jì)一種控制策略.定義誤差函數(shù)e為:

變結(jié)構(gòu)控制是一種控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法,適用于線性及非線性系統(tǒng),包括控制系統(tǒng)的調(diào)節(jié)、跟蹤、自適應(yīng)及不確定等系統(tǒng).它具有一些優(yōu)良特性,尤其是對(duì)加給系統(tǒng)的攝動(dòng)和干擾有良好的自適應(yīng)性.滑膜控制是一種特殊的變結(jié)構(gòu)控制,本質(zhì)上是一類特殊的非線性控制,且非線性表現(xiàn)為控制的不連續(xù)性.這種控制策略與其他控制的不同之處在于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)并不固定,而是可以在動(dòng)態(tài)過程中,根據(jù)系統(tǒng)當(dāng)前的狀態(tài)(如偏差及其各階導(dǎo)數(shù)等)有目的地不斷變化,迫使系統(tǒng)按照預(yù)定滑動(dòng)模態(tài)的狀態(tài)軌跡運(yùn)動(dòng).由于滑動(dòng)模態(tài)可以進(jìn)行設(shè)計(jì)且與對(duì)象參數(shù)及擾動(dòng)無關(guān),這就使得滑膜控制具有快速響應(yīng)、對(duì)應(yīng)參數(shù)變化及擾動(dòng)不靈敏、無需系統(tǒng)在線辨識(shí)、物理實(shí)現(xiàn)簡單等優(yōu)點(diǎn).滑膜變結(jié)構(gòu)控制的原理,是根據(jù)系統(tǒng)所期望的動(dòng)態(tài)特性來設(shè)計(jì)系統(tǒng)的切換超平面,通過滑動(dòng)模態(tài)控制器使系統(tǒng)狀態(tài)從超平面之外向切換超平面收束.由于系統(tǒng)的特性和參數(shù)只取決于設(shè)計(jì)的切換超平面,而與外界干擾沒有關(guān)系,所以滑膜變結(jié)構(gòu)控制具有很強(qiáng)的魯棒性.

當(dāng)主星的軌道為橢圓軌道時(shí),描述伴飛衛(wèi)星的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)為典型的非線性系統(tǒng).在沒有攝動(dòng)力影響時(shí),動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)在一定條件下是周期穩(wěn)定的.周期穩(wěn)定的前提為主星和伴飛衛(wèi)星的軌道半長徑完全相同.此時(shí)系統(tǒng)對(duì)初始的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)極為敏感,任何一個(gè)微小的軌道半長徑的偏差均會(huì)引起穩(wěn)定性的破壞.此外各種不同的攝動(dòng)作用也會(huì)使得這種非線性系統(tǒng)無法自己保持穩(wěn)定.因此必須對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行控制才會(huì)確保系統(tǒng)穩(wěn)定.通過觀測系統(tǒng)得到伴飛衛(wèi)星和主星的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)(包括絕對(duì)運(yùn)動(dòng)的速度時(shí)間分量和相對(duì)運(yùn)動(dòng)的速度時(shí)間分量),為伴飛控制系統(tǒng)的狀態(tài)變量.滑膜面為要求系統(tǒng)保持的狀態(tài)的超平面(使得誤差為0).控制調(diào)整后的伴飛系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為輸出量.控制系統(tǒng)的目標(biāo)為使得系統(tǒng)的狀態(tài)變量與定義的超平面重合.定義滑膜面為:

其中ν=diag[ν1,ν2]為常數(shù)對(duì)角矩陣,令控制力為:

其中K=diag[K1,K2],并且有|Ki|＞|d1|和|K2|＞|d2|,K為控制系統(tǒng)需要對(duì)狀態(tài)變量提供的控制變量(控制力)的大小的最小值.C的表達(dá)式為:

將(25)式代入(4)式,經(jīng)過化簡可以得到:

其中D為各種攝動(dòng)力之和.系統(tǒng)的李雅普努夫函數(shù)(Lyapunov function)是:

其導(dǎo)數(shù)為:

滿足(29)式條件的控制力能夠保證系統(tǒng)的穩(wěn)定.在本文的條件下

其中umax為太陽帆能夠提供的最大的推力值.在實(shí)際情況中,受到(12)式的限制,軌道面內(nèi)的控制力由于幾何關(guān)系的制約并不一定能夠?qū)崟r(shí)提供,也不能夠維持整周的時(shí)間,有一定的間斷性.

4 數(shù)值模擬

數(shù)值驗(yàn)證共有3個(gè)部分:第一為開環(huán)控制的伴飛衛(wèi)星將相對(duì)軌道根數(shù)做對(duì)應(yīng)的調(diào)整,對(duì)應(yīng)實(shí)際的航天任務(wù)中的伴飛軌道重構(gòu);第二為加入人為的誤差在滑膜控制系統(tǒng)的控制下將誤差消除.這兩部分均不考慮攝動(dòng)作用的影響;第三部分檢驗(yàn)在有攝動(dòng)因素的影響時(shí),利用滑膜控制系統(tǒng)保持伴飛軌道穩(wěn)定.本文應(yīng)用做數(shù)值運(yùn)算的主星軌道的軌道半長徑、軌道傾角和偏心率均與XMM-Newton衛(wèi)星相同(如表1所示),另外3個(gè)軌道根數(shù)人為設(shè)定.伴飛軌道的相對(duì)軌道根數(shù)滿足(21)式的限制條件.假設(shè)伴飛衛(wèi)星的質(zhì)量為80 kg,兩個(gè)太陽帆的面積為4 m2.

圖3～5表示應(yīng)用太陽光壓控制方法使得伴飛衛(wèi)星的相對(duì)軌道根數(shù)發(fā)生變化的變化規(guī)律,初始時(shí)間為2015年1月1日0時(shí).如圖3所示,需要1次調(diào)整軌道半長徑就能夠增加或減少10 m,降低10 m需要的時(shí)間為0.075 d,增加10 m需要的時(shí)間為0.06 d.

表1 主星軌道根數(shù)Table 1 The orbital elements of the leading satellite

圖3 伴飛衛(wèi)星軌道半長徑的調(diào)整,左圖表示降低10 m的控制過程,右圖表示增加10 m的控制過程.Fig.3 The adjustment of the semi-major axis of the follower.The left is the control of decreasing 10 m, the right is the control of increasing 10 m.

如圖4所示,使得偏心率增加2×10?5需要時(shí)間為1.2 d,經(jīng)過1次調(diào)整就能夠達(dá)到目的,具體的控制時(shí)間大約從第0.3天開始,到第1.2天時(shí)結(jié)束.使得偏心率降低2×10?5需要時(shí)間大約為8 d.需要經(jīng)過7次調(diào)整,每次調(diào)整經(jīng)歷的控制時(shí)間不同.第2次和第5次的調(diào)整經(jīng)歷時(shí)間最長,兩次調(diào)整均能夠使得軌道偏心率降低5×10?6以上,最后控制在第8天時(shí)間最終完成.

圖4 伴飛衛(wèi)星軌道偏心率調(diào)整.左圖表示降低2×10?5的控制過程,右圖表示增加2×10?5的控制過程.Fig.4 The adjustment of eccentricity of the follower.The left is the control of decreasing 2×10?5,the right is the control of increasing 2×10?5.

如圖5所示,使軌道傾角增加1′′需要時(shí)間為8 d,控制經(jīng)過3次調(diào)整過程.控制開始的時(shí)間恰好能夠進(jìn)行第1次調(diào)整,經(jīng)歷時(shí)間大約為2 d,軌道傾角增加大約0.4′′;第2次調(diào)整時(shí)間為第4天到第6天,軌道傾角增加0.5′′,最后第8天時(shí)第3次調(diào)整達(dá)到最終增加1′′的目標(biāo).降低1′′需要時(shí)間為11 d,整個(gè)控制過程同樣經(jīng)歷3次調(diào)整過程.第1次調(diào)整從第3天開始,調(diào)整時(shí)間大約為1 d,軌道傾角降低0.2′′;第2次調(diào)整從第7天開始,經(jīng)歷時(shí)間稍大于1 d,軌道傾角降低0.3′′;第3次調(diào)整從第10天開始,經(jīng)歷2 d,軌道傾角降低0.5′′.調(diào)整所需要的時(shí)間與軌道的初始狀態(tài)和太陽的位置關(guān)聯(lián)很大.

圖5 伴飛衛(wèi)星軌道的軌道傾角調(diào)整,左圖表示降低1′′的控制過程,右圖表示增加1′′的控制過程.Fig.5 The adjustment of inclination of the follower.The left is the control of decreasing 1′′,the right is the control of increasing 1′′.

圖6表示誤差消除的狀況,初始時(shí)間同樣為2015年1月1日0時(shí).在x方向和z方向分別添加10 m的誤差,從圖中可以得出,沿x方向上10 m的誤差能夠在2 h內(nèi)消除,沿z方向10 m的誤差能夠在5 h內(nèi)消除.

圖6 伴飛衛(wèi)星軌道x(左)和z(右)方向誤差消除Fig.6 The error elimination along the x(left)and z(right)directions

圖7表示初始時(shí)間不同(太陽位置不同)時(shí)應(yīng)用太陽光壓輻射控制系統(tǒng)對(duì)于x方向上誤差修正的能力.時(shí)間跨度為2014年整年,橫坐標(biāo)表示調(diào)整開始時(shí)的天數(shù),縱坐標(biāo)表示10 d內(nèi)能夠消除的x方向上誤差的大小.從圖中可得,10 d內(nèi)能夠消除的誤差最大可達(dá)2 500 m,最小不到30 m.

圖7 伴飛衛(wèi)星軌道x方向上初始時(shí)間不同時(shí)10 d內(nèi)的誤差消除能力Fig.7 The error elimination ability along the x direction in 10 days with di ff erent initial epoch

圖8表示考慮20階地球非球形引力攝動(dòng)和日月第三體引力攝動(dòng)的影響.在本文的設(shè)計(jì)中軌道演化10 d的誤差保持,可見在一定時(shí)間范圍內(nèi),沿各個(gè)方向上的誤差會(huì)出現(xiàn)波動(dòng).經(jīng)過一段時(shí)間,誤差會(huì)被控制系統(tǒng)消除,在整個(gè)控制過程中,誤差能保持在5 m以下.在x、y方向上的誤差維持得比較小,在z軸上的誤差比較大,但是仍然能夠維持在米級(jí).

圖8 伴飛衛(wèi)星軌道的保持過程中3個(gè)方向上的誤差變化Fig.8 The errors along the 3 directions during the formation maintenance

5 總結(jié)與展望

本文提供了一種能夠控制大偏心率伴飛軌道的方法.通過調(diào)整太陽帆的指向,將太陽光壓輻射產(chǎn)生的作用力作為控制力,能夠成功達(dá)到控制目的.經(jīng)過數(shù)值驗(yàn)證,在衛(wèi)星飛行一周的時(shí)間里,能夠進(jìn)行10 m級(jí)的軌道誤差修正,在考慮非球形引力攝動(dòng)時(shí)能夠使伴飛軌道誤差維持在5 m以內(nèi).

這種方法仍舊有一定的局限性,比如控制力的方向受到伴飛衛(wèi)星和太陽的相對(duì)位置的局限,控制力的大小受到太陽帆的面積的局限,以及調(diào)整相對(duì)位置時(shí)的能量消耗與太陽能電池的能量供應(yīng)關(guān)系等.要克服這些局限性并實(shí)際應(yīng)用,仍需要進(jìn)一步研究.

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Orbit Control of Fly-around Satellite with Highly Eccentric Orbit by Using Solar Radiation Pressure

HOU Yong-gang1,2,3ZHAO Chang-yin1,2ZHANG Ming-jiang1,2SUN Rong-yu1,2
(1 Purple Mountain Observatory,Chinese Academy of Sciences,Nanjng 210008)
(2 Key Laboratory of Space Object and Debris Observation,Chinese Academy of Sciences, Nanjing 210008)
(3 University of Chinese Academy of Sciences,Beijing 100049)

The method of controlling highly eccentric fly-around orbit using the solar wing is designed in this paper.The formation is maintained by controlling the follower. The in-plane and the out-of-plane control are separated.The follower is rotating around the inertial principal axis with a constant angular velocity.The controlling of the angular between the solar wings and satellite body is obtained.The orbit is controlled by adjusting the geometrical orientation.The in-plane control is prior to the out-ofplane control.The out-of-plane control force is applied when the error of in-plane is eliminated or the in-plane control force can not be supplied.Three di ff erent kinds ofnumerical simulations including the orbit recon figuration,the error elimination,and the orbit maintenance are performed.It is shown that the method can keep the error less than 5 m,and it is feasible for the space formation.

space vehicles,celestial mechanics,methods:numerical

P135;

:A

10.15940/j.cnki.0001-5245.2016.01.006

2015-04-02收到原稿,2015-05-26收到修改稿

?國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11125315,11173056)資助

?shanda.hou@163.com