林惠賢

(廣東省佛山市南海區(qū)大瀝鎮(zhèn)高級(jí)中學(xué),528231)

○解題研究○

一道數(shù)列高考題的解題研究

林惠賢

(廣東省佛山市南海區(qū)大瀝鎮(zhèn)高級(jí)中學(xué),528231)

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容之一,也是與大學(xué)數(shù)學(xué)銜接的橋梁,在歷年的高考試題中都占有重要位置．但是從試卷分析情況看,學(xué)生對(duì)數(shù)列知識(shí)的掌握和應(yīng)用不容樂觀．本文以2012年廣東高考數(shù)學(xué)(理科卷)第19題為例,談?wù)剬?duì)該題的一些解題研究,希望能在解決數(shù)列綜合題方面給大家一些有益的教學(xué)啟發(fā)．

題目設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn滿足2Sn=an+1-2n+1+1,n∈N*，且a1,a2+5，a3成等差數(shù)列.

(1)求a1的值；(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(3)證明:對(duì)一切正整數(shù)n,有

一、題目分析

題目主要考查了數(shù)列an與Sn的關(guān)系,等差中項(xiàng)的性質(zhì)與等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式及求和公式,還有數(shù)列與不等式的綜合．涉及到的數(shù)學(xué)思想與方法主要有:方程(組)思想的應(yīng)用，轉(zhuǎn)化與化歸思想的運(yùn)用，構(gòu)造法、待定系數(shù)法、累加法、累乘法、數(shù)學(xué)歸納法、裂項(xiàng)相消法、放縮法等．

該題難度分三個(gè)層次,第(1)問屬于基礎(chǔ)題,第(2)問屬于中檔題,第(3)問是數(shù)列型不等式的證明,難度較大．題目的已知條件較少,明顯條件為“2Sn=an+1-2n+1+1,n∈N*,且a1,a2+5,a3成等差數(shù)列”；隱含條件是等差中項(xiàng)的性質(zhì),以及an與Sn的關(guān)系,即Sn=a1+a2+…+an和an=Sn-Sn-1(n≥2).通過這些條件不難列出方程組求出a1的值,從而解決第(1)問．由于已知條件給出Sn與an+1的關(guān)系式,故第(2)問可歸結(jié)為“知Sn求an”的問題,借助明顯條件“2Sn=an+1-2n+1+1,n∈N*”和隱含條件“an=Sn-Sn-1(n≥2)”,運(yùn)用化歸思想使第(2)問得到解決．至于第(3)問數(shù)列型不等式的證明,顯然要把第(2)問的結(jié)論作為已知條件使用,也就是說(shuō)第(3)問的求解要依賴于第(2)問的順利解答．該題的三個(gè)小問層層遞進(jìn),緊密聯(lián)系,前一問解答的正確與否直接關(guān)系到下一問的解答．

二、解題思路分析

1.對(duì)于第(1)問，

在2Sn=an+1-2n+1+1中

令n=1得2S1=a2-22+1,即

2a1=a2-3.

①

令n=2得2S2=a3-23+1，即

2(a1+a2)=a3-7.

②

再結(jié)合條件“a1,a2+5,a3成等差數(shù)列”又可得2(a2+5)=a1+a3.

③

聯(lián)立①②③，解得a1=1.

在解決本題第(1)問時(shí),估計(jì)學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)主要有兩個(gè):一是審題不認(rèn)真、細(xì)致,把數(shù)列{an}誤以為是等差或等比數(shù)列,亂套其通項(xiàng)公式及求和公式．二是只會(huì)由明顯條件列出一個(gè)關(guān)系式“2(a2+5)=a1+a3”,不善于發(fā)掘隱含條件,缺乏利用方程(組)的思想去解決問題．筆者認(rèn)為,若把第(1)問改為“求a1,a2,a3的值”,學(xué)生可能會(huì)更容易聯(lián)想到借助an與Sn的隱含關(guān)系．因此,在教學(xué)中,如果發(fā)現(xiàn)學(xué)生找不到思路時(shí),可適當(dāng)改動(dòng)一下問題以作提示,讓學(xué)生能更自然、更容易地聯(lián)想到解題的方向和思路．另外,在求解方程組的過程中,估計(jì)學(xué)生主要采用以下兩種策略:一是由① ② 得a2=2a1+3,a3=6a1+13,代入③ 解得a1=1.這是常規(guī)做法,把三元問題轉(zhuǎn)化為一元問題解決．二是由②-③ 得a1=1，這種方法能結(jié)合該方程組的特點(diǎn),迅速、快捷、一步到位就把問題解決．因此,在教學(xué)中,我們既要注重通法通則的教學(xué),也要注重解題技巧的教學(xué),鼓勵(lì)學(xué)生盡量結(jié)合題目特點(diǎn),選取最優(yōu)算法以提升解題速度．

2.對(duì)于第(2)問

由2Sn=an+1-2n+1+1，得2Sn-1=an-2n+1(n≥2)，兩式相減，可得2an=an+1-an-2n,即an+1=3an+2n(n≥2).接下來(lái)有3種不同的解題方法可供選擇.

思路1(先變形再用累加法)

先兩邊同時(shí)除以3n+1,得

所以an=3n-2n(n≥2).

當(dāng)n=1時(shí)，a1=1,也滿足該式子,所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=3n-2n.

思路2(先變形再用構(gòu)造法)

先兩邊同時(shí)除以2n+1,得

再通過待定系數(shù)法構(gòu)造輔助數(shù)列求得an=3n-2n(n≥2)，進(jìn)而由a1=1也滿足該式得到通項(xiàng)公式an=3n-2n(n∈N*).

思路3(直接用構(gòu)造法)

由an+1=3an+2n，得an+1+2n+1=3(an+2n),所以數(shù)列{an+2n}(n≥2)是一個(gè)以a2+4=5+4=9為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列.an+2n=9×3n-2,即an=3n-2n(n≥2)，當(dāng)n=1時(shí)，a1=1，也滿足該式，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=3n-2n.

比較三種解題思路,思路1是先變形再用累加法,思路2、3都用到了待定系數(shù)法進(jìn)行構(gòu)造求解.區(qū)別在于解題思路2先變形再進(jìn)行構(gòu)造,解題思路3則是直接構(gòu)造,解題看似思路3更為直接快速,但用待定系數(shù)法進(jìn)行構(gòu)造求解數(shù)列是學(xué)生理解上的一個(gè)難點(diǎn).估計(jì)學(xué)生會(huì)對(duì)解題思路1的累加法過程更容易接受些,但前提條件是學(xué)生要會(huì)先做變形處理,化為形式“bn+1=bn+f(n)”．不管采取哪種解題思路,筆者估計(jì)學(xué)生在解答第(2)問過程中的易錯(cuò)點(diǎn)為:一是在利用“an=Sn-Sn-1(n≥2)”求解時(shí),忽略了“n≥2”條件的限制,從而漏掉了對(duì)“當(dāng)n=1時(shí)，a1=1,也滿足該式子”情況的討論．二是三種不同解法都要用到等比數(shù)列的通項(xiàng)公式或求和公式,由于有“n≥2”的限制,所以學(xué)生在套公式計(jì)算時(shí),項(xiàng)數(shù)是n項(xiàng)?n-1項(xiàng)?還是n-2項(xiàng)?學(xué)生在此會(huì)比較容易出問題．

此外,筆者認(rèn)為在課堂教學(xué)中對(duì)第(2)問還可進(jìn)行這樣的一個(gè)推廣:

形如an+1=pan+qn(p≠1)型遞推數(shù)列,求通項(xiàng)方法有以下三種方向:

再用累加法求通項(xiàng).

(3)直接進(jìn)行構(gòu)造,設(shè)an+1+λqn+1=p(an+λqn).通過比較系數(shù),求出λ,轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求通項(xiàng)．

3.對(duì)于第(3)問

有以下四種不同的解題思路:

思路1(逐項(xiàng)放縮)

由3n-3n-1=2·3n-1≥2·2n-1=2n,

思路2(累乘法)

思路3(裂項(xiàng)相消法)

當(dāng)n≥3時(shí)，

an=3n-2n=(1+2)n-2n

=1+C1n·2+C2n·22+…+Cn-1n·2n-1

>C2n·2n=2n(n-1).

又a2=5>2×2×(2-1),

所以an>2n(n-1)(n≥2),

綜上，命題獲證.

思路4(數(shù)學(xué)歸納法)

①當(dāng)n=1時(shí)，顯然命題成立；

②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2,k∈N)時(shí)成立，則

即命題在n=k+1時(shí)也成立.

綜合①②知，對(duì)一切正整數(shù)n,命題成立.

筆者認(rèn)為該題是一道好題,問題設(shè)計(jì)逐層深入,有一定的區(qū)分度,讓不同層次的學(xué)生能在該題的解答過程中有所體現(xiàn)．第(1)問屬于基礎(chǔ)題,考查的是數(shù)列的一些基本知識(shí)和解題的基本技能,這要求學(xué)生在平時(shí)的數(shù)學(xué)

學(xué)習(xí)中要夯實(shí)基礎(chǔ),加深對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)．第(2)、(3)問需要學(xué)生有較強(qiáng)的思維能力,通過多角度觀察題目特點(diǎn),深入剖析其特征,溝通各類知識(shí)的聯(lián)系,抓住規(guī)律去探求解決問題的方法,考查的是學(xué)生的綜合能力和創(chuàng)新能力.要求學(xué)生善于把一般問題轉(zhuǎn)化為特殊問題、把不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題去解決,即化歸的思想.這是學(xué)生較為薄弱的環(huán)節(jié)之一,需要學(xué)生在平時(shí)的學(xué)習(xí)中有意識(shí)地對(duì)做過的題目進(jìn)行總結(jié)、反思和歸類,把數(shù)學(xué)問題及其解決方法一一對(duì)應(yīng),并能觸類旁及,舉一反三．這樣，不管題目怎樣千變?nèi)f化,但萬(wàn)變不離其宗,只要對(duì)癥下藥,問題便可以迎刃而解．