江創(chuàng)樹

(廣東省揭陽市揭東區(qū)第二中學(xué)，522000)

從教材練習(xí)題到高考壓軸題
——例談“求遞推數(shù)列通項公式”的教學(xué)

江創(chuàng)樹

(廣東省揭陽市揭東區(qū)第二中學(xué)，522000)

遞推數(shù)列是高考數(shù)列壓軸題的主要類型之一,特別是近幾年的廣東高考,對遞推數(shù)列的考查更是情有獨鐘.這類問題是一類比較難以處理的問題,學(xué)生碰到這類問題往往手足無措,無從下手.高考中這類問題的得分率很低，這是教學(xué)中的一個難點問題．

筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn),老師如果能從教材出發(fā),科學(xué)合理地利用教材,注重對教材中的通識、通法以及例題、習(xí)題進(jìn)行變形引申,引導(dǎo)學(xué)生用變化發(fā)展的眼光觀察這些例題、習(xí)題,歸納出解決問題的系統(tǒng)方法,扎實打好基礎(chǔ),學(xué)生在高考中碰到這些難題便能做到心中有數(shù),這些難題也會迎刃而解．本文就教材中的一道習(xí)題及其變式練習(xí)與一道高考壓軸題的聯(lián)系,談?wù)劰P者在求遞推數(shù)列通項公式的教學(xué)中的一些做法．

例1已知數(shù)列{an}中,a1=5,a2=2,an=2an-1+3an-2(n≥3)．對這個數(shù)列的通項公式作一研究,能否寫出它的通項公式?

解由題意，可設(shè)

an+λan-1=μ(an-1+λan-2)，

則an=(μ-λ)an-1+μλan-2.

由an=2n-1+3an-2,得

an-3an-1=-(an-1-3an-2)，

或an+an-1=3(an-1+an-2).

又∵a1=5,a2=2，

∴{an-3an-1}是以a2-3a1=-13為首項,-1為公比的等比數(shù)列;{an+an-1}是以a2+a1=7為首項,3為公比的等比數(shù)列．

由等比數(shù)列的性質(zhì)，可得

an-3an-1=-13·(-1)n-2,

即an-3an-1=13·(-1)n-1，

①

又an+an-1=7·3n-2.

②

由① 、② ，可解得

評注這是新課標(biāo)人教A版必修5第二章復(fù)習(xí)參考題B組的一道練習(xí)題,其原型是an=pan-1+qan-2(其中p、q為常數(shù)).這類問題有多種不同的解法,如數(shù)學(xué)歸納法、構(gòu)造法、特征根法等．上述解答過程用到了構(gòu)造法,在教學(xué)中可以引導(dǎo)學(xué)生對該問題進(jìn)行變形引申得到如下題目，從而引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)出形如an=pan-1+qan-2(其中p、q為常數(shù))這類題目的一般解法．

例2已知數(shù)列{an}中,a1=1,a2=4,an=4an-1-4an-2(n≥3)，求該數(shù)列的通項公式．

解由題意，可設(shè)

an+λan-1=μ(an-1+λan-2)，

則an=(μ-λ)an-1+μλan-2.

對比an=4an-1-4an-2，可得

由an=4an-1-4an-2，得

an-2an-1=2(an-1-2an-2),

又a1=1,a2=4,

∴數(shù)列{an-2an-1}是以a2-2a1=2為首項,2為公比的等比數(shù)列．

由等比數(shù)列的性質(zhì),可得

an-2an-1=2·2n-2，

即an-2an-1=2n-1，

∴an=n·2n-1．

評注在講解教材中的例題之后,對例題進(jìn)行變形,引導(dǎo)學(xué)生解答變形后的題目,最后歸納總結(jié)出如何利用構(gòu)造法求形如an=pan-1+qan-2(其中p、q為常數(shù))遞推關(guān)系的數(shù)列的通項公式．解答過程中,我們構(gòu)造出新的遞推關(guān)系an+λan-1=μ(an-1+λan-2),再根據(jù)其與題設(shè)給出的遞推關(guān)系求參數(shù)λ、μ.當(dāng)λ、μ有兩組解時,我們可以利用解方程組的思想求出{an}的通項公式(如例1)；當(dāng)λ、μ只有一組解時,我們可再次利用構(gòu)造法求出{an}的通項公式(如例2)．通過對比我們可以比較直觀地讓學(xué)生對如何求形如an=pan-1+qan-2(其中p、q為常數(shù))遞推關(guān)系的數(shù)列的通項公式有較為全面的認(rèn)識．由此可見,在平時的教學(xué)中,如果教師能經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生用發(fā)展變化的眼光去觀察教材中的例題、練習(xí)，熟練地掌握教材介紹的通識、通法，在高考中,我們對這類問題便能以不變應(yīng)萬變,處變不驚．接下來我們再來看一道經(jīng)典的高考壓軸題．

例3(2008年廣東高考題)設(shè)p，q為實數(shù),α，β是方程x2-px+q=0的兩根,數(shù)列{xn}滿足x1=p,x2=p2-q,xn=pxn-1-qxn-2(n=3、4、5…)．

(1)證明:α+β=p,αβ=q；

(2)求數(shù)列{xn}的通項公式；

解(1)略．

(2)由題意，設(shè)

xn+λxn-1=μ(xn-1+λxn-2)，

則xn=(μ-λ)xn-1+μλxn-2.

又xn=pxn-1-qxn-2，

又由(1)知α+β=p,αβ=q，可解得

故由xn=pxn-1-qxn-2，可得

xn-αxn-1=β(xn-1-αxn-2)，

或xn-βxn-1=α(xn-1-βxn-2)，

∴數(shù)列{xn-αxn-1}、{xn-βxn-1}分別是以β、α為公比的等比數(shù)列．

由等比數(shù)列的性質(zhì)，可得

xn-αxn-1=(x2-αx1)βn-2，

③

xn-βxn-1=(x2-βx1)αn-2.

④

∴(i)當(dāng)α≠β時,由③ 、④， 可得

(β-α)xn=(x2-αx1)βn-1-(x2-βx1)αn-1.

又x1=p,x2=p2-q,α+β=p,αβ=q,

∴(x2-αx1)βn-1=βn+1,

(x2-βx1)αn-1=αn+1，

∴(β-α)xn=βn+1-αn+1，

(ii)當(dāng)α=β,即Δ=p2-4q=0時,

λ=-α=-β,μ=α=β.

由③ 或④ 及x1=p,x2=p2-q,α+β=p,αβ=q，可得

xn-αxn-1=αn,

∴xn=(n+1)αn.

評注這是2008年廣東高考卷的壓軸題,其主要難點在第(2)小題,利用遞推關(guān)系求數(shù)列的通項公式.由上面的解答過程我們不難看出,此題考查的內(nèi)容只是將我們前面兩道例題綜合起來,并將其一般化而已．如果我們在平時的教學(xué)中,能引導(dǎo)學(xué)生對前面兩個例題進(jìn)行歸納總結(jié),學(xué)生們在高考中就能心中有數(shù)．所以,只要我們在平時的教學(xué)中不斷引導(dǎo)學(xué)生用發(fā)展變化的眼光去對待教材中的習(xí)題,并及時地進(jìn)行歸納整理,做到對教材有整體的認(rèn)識,高考時便能得心應(yīng)手地化解難題，立于不敗之地．

遞推數(shù)列存在較多的類型,各種類型的特點不盡相同.為了較為更好地闡述如何利用教材對求其通項公式的方法進(jìn)行教學(xué),我們再看看在平時的教學(xué)中,如何利用教材求下面這幾種類型遞推數(shù)列的通項公式．

類型1an=an-1+f(n);

類型2an=f(n)an-1;

類型3an=pan-1+q(p、q為常數(shù)).

綜上所述,求遞推數(shù)列的通項公式既是教學(xué)的難點,又是高考的重點,近幾年的高考經(jīng)?？疾?學(xué)生的得分率比較低．通過我們上面的分析,只要老師們在教學(xué)中合理科學(xué)地利用教材,科學(xué)地對教材中的例題、習(xí)題進(jìn)行變式引申,引導(dǎo)學(xué)生用發(fā)展變化的眼光對待教材中的例題、習(xí)題,引導(dǎo)學(xué)生熟練掌握通識、通法,及時地進(jìn)行歸納總結(jié)，在高考中碰到這樣的問題便能胸有成竹，順利求解．