嚴(yán)　飛

(江蘇省南京市金陵中學(xué)，210005)

○教學(xué)研究○

燃起學(xué)生情感火花激發(fā)課堂生命活力
——“等差數(shù)列的前n項和”教學(xué)設(shè)計及感悟

嚴(yán)飛

(江蘇省南京市金陵中學(xué)，210005)

數(shù)學(xué)課上,問題情境創(chuàng)設(shè)是否成功主要體現(xiàn)在以下幾個方面:一是能否引起學(xué)生的興趣,使他們聚精會神地投入,在情感上貼近教師和教材;二是能否自然合理,既有前面知識的繼續(xù),又有后續(xù)知識的開端,以一定的積累作為基礎(chǔ);三是讓學(xué)生面臨有一定感性認(rèn)識的問題,問題無論是在操作層面上,還是在思維層面上,都要便于學(xué)生著手思考,讓學(xué)生形成一個欲罷不能的追求目標(biāo).筆者備等差數(shù)列的前n項和這節(jié)課時,做了一些思考.這一節(jié)課除了希望達(dá)到利用“倒序相加”法推導(dǎo)公式的目標(biāo)以外,還期望達(dá)成以下一些目標(biāo):一是體會推導(dǎo)求和公式的必要性;二是體會數(shù)列求和的一些基本方法;三是體會倒序相加法求和的優(yōu)越性. 于是從學(xué)生的實際出發(fā),拋開常規(guī),希望以問題驅(qū)動,引導(dǎo)學(xué)生操作,并進(jìn)行比較,最后能做出方法的選擇.

一、教學(xué)過程設(shè)計

1.創(chuàng)設(shè)情境

師:數(shù)學(xué)來源于生活,又應(yīng)用于生活,我們即將要去學(xué)農(nóng),需要準(zhǔn)備一架木頭梯子,要求梯子各級的寬度成等差數(shù)列,梯子最高一級寬28 cm,相鄰兩節(jié)之間寬度差4 cm.

設(shè)計意圖給出等差數(shù)列的首項和公差,而不是直接給出首項和末項,學(xué)生可以根據(jù)等差數(shù)列的通項公式寫出數(shù)列的各項,讓學(xué)生在求和過程中有更多的選擇.

師:請同學(xué)們回答下面三個問題:

(1)這架梯子的前3級共需準(zhǔn)備多長的木料?

(2)若梯子共12級,這架梯子中間各級一共需要準(zhǔn)備多長的木料?

(3)若梯子共n(n∈N*)級,這架梯子中間各級一共需要準(zhǔn)備多長的木料?

設(shè)計意圖這三個問題的設(shè)計具有層次性.學(xué)生解決第一個問題,不需要想太多,直接寫出三項,就可以得出和. 但這種方法有局限性,在解決第二小題的時候遇到了困難,就逼著學(xué)生重新考慮解決問題的方法,體會公式求和的必要性.另外,筆者課前備課時想避開在等差數(shù)列求和公式推導(dǎo)過程中常見的兩種經(jīng)典引入:一是直接從解決1+2+…+100引入,二是從教材中數(shù)鋼管的問題入手. 如果要解決等差數(shù)列求和中的“配對”,顯然高斯1+2+…+100的經(jīng)典引例更直接,學(xué)生更容易接受. 如果要破解“倒序相加”這一難點,顯然數(shù)鋼管的問題引入,效果更好. 但是不選擇這兩種設(shè)計,不僅是希望能有點新的探索,也是因為有些學(xué)生在課前進(jìn)行了預(yù)習(xí),問題情境很熟悉,啟發(fā)性過強,不利于更好地進(jìn)行思維訓(xùn)練,不能更好地體現(xiàn)出這種求和方法的必要性.

2.學(xué)生活動

師:第(1)問,請同學(xué)說出答案.

生:96 cm.這是根據(jù)通項公式,計算出前三項后再求和.但是這個方法有局限性,梯子的級數(shù)再增加,再用這個各項相加求和的方法計算就比較麻煩.

師:非常好,若梯子共12級,又如何準(zhǔn)備各級木料呢?請同學(xué)們思考說出方法并說出這樣做的理由.

生甲:首先求出末項a12=72,a1+a2+…+a12=28+32+…+68+72=6(28+72)=600. 計算出每一項再求和太繁瑣,求出末項是為了利用高斯求和的方法“首末配對”.

師:很好,同學(xué)們都是這么做的嗎?

生乙:a1+a2+…+a12=12a1+(1+2+…+10+11)d,利用等差數(shù)列通項公式分成兩部分求和.于是,問題轉(zhuǎn)化為求1到11這11個自然數(shù)的和,可以“首末配對”.

設(shè)計意圖讓學(xué)生充分打開思路,培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維的能力,提供研究問題的一般方法——先研究具體問題,再研究一般性問題. 學(xué)生甲的方法,讓學(xué)生體會不能再一項項相加求和,體會尋找等差數(shù)列一般求和方法的必要性.學(xué)生乙的方法,讓學(xué)生體會一種重要的數(shù)學(xué)方法:將較為復(fù)雜的不熟悉的數(shù)列求和化歸為熟悉的已知的數(shù)列求和的問題；同時可以感受到分組求和的方便,為后面講一般數(shù)列求和的問題做鋪墊.

師:請同學(xué)評價一下這兩種方法.

生:這兩種方法都用到了“配對”的方法,并且都實現(xiàn)了求和的“化繁為簡”的目的.

設(shè)計意圖學(xué)生評價學(xué)生所講方法的優(yōu)劣,把一個學(xué)生的想法轉(zhuǎn)化為所有學(xué)生的想法.

師:為了方便起見,數(shù)列{an}的前n項和記為Sn,即Sn=a1+a2+a3+…+an.

如果這是一架“愛的天梯”, 中間各級一共需要準(zhǔn)備多長的木料?

生:Sn=a1+a2+a3+…+an, 利用等差數(shù)列{an}中,n+m=p+q,且n,m,p,q∈N*,則an+am=ap+aq的性質(zhì)“首末配對”,但是需要根據(jù)n的奇偶性進(jìn)行討論.

當(dāng)n為偶數(shù)時,

Sn=a1+a2+a3+…+an

當(dāng)n為奇數(shù)時,

Sn=a1+a2+a3+…+an

再根據(jù)已知的a1和d求出an,代入,可得Sn=2n2+26n.

設(shè)計意圖對這個問題,學(xué)生分奇偶討論,不是難點,但要從奇偶討論過渡到倒序相加,確實不容易.這一過程中有兩點優(yōu)勢:一是學(xué)生對數(shù)列中常見奇偶討論,有了一次很好的體驗;二是有了比較,才能夠突出倒序相加的優(yōu)勢.

師: 我們不難發(fā)現(xiàn),Sn與n的奇偶性無關(guān),那么是否意味著還有統(tǒng)一的可以避開分類討論的方法呢?(分組討論)

生:Sn=a1+a2+…+an-1+an，

Sn=an+an-1+…+a2+a1.

兩式相加，得

2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+…+(an+a1)=n(a1+an),

師:你是怎么想到這個方法的?

生:想到這個方法是受到初中梯形面積公式的推導(dǎo)方法的啟發(fā),將梯形旋轉(zhuǎn)倒置,與原圖形首尾相接,構(gòu)成一個平行四邊形,梯形的面積是這個平行四邊形面積的一半.

師:很好,這種方法稱為“倒序求和”,請同學(xué)們比較一下“配對求和”與“倒序求和”.

生:“倒序求和”本質(zhì)還是“配對”,只是換了一種表達(dá)形式,“倒序求和”可以避開奇偶分類討論.

設(shè)計意圖“配對求和”與“倒序求和”雖然如出一轍,但是從“配對求和”到“倒序求和”有比較大的思維跨度,學(xué)生在這個地方存在著比較大的認(rèn)知困惑.如果“倒序求和”的方法直接被介紹,無疑就像波利亞所說的“帽子里跳出來的兔子”.所以引導(dǎo)學(xué)生回顧梯形的面積公式的推導(dǎo)方法,實現(xiàn)了由“配對求和”到“倒序求和”的平穩(wěn)過渡,讓學(xué)生知道公式的來龍去脈,以及公式背后隱藏的數(shù)學(xué)思想方法和思維過程.

師:非常好,“倒序求和”的本質(zhì)是將“不同的數(shù)求和”化歸為“相同的數(shù)求和”.這種倒序求和的方法在日常生活中也有應(yīng)用,例如這樣一個實際問題:某倉庫堆放的一堆鋼管,最上面的一層3根,下面每一層都比上一層多一根,最下面一層有8根,快速數(shù)出這堆鋼管的總數(shù).

設(shè)計意圖充分挖掘了教材的功能,給出公式后,引用了課本中鋼管的實例,再一次讓學(xué)生對倒序相加有了更為形象的理解.

3.數(shù)學(xué)建構(gòu)

師:這樣我們就利用“倒序求和”的方法解決了求等差數(shù)列{an}的前n項之和Sn的問題.

師:如何根據(jù)題目的已知條件做出合理的公式選擇?

生:在已知首項、末項和項數(shù)時,選擇第一個公式;在已知首項、公差和項數(shù)時,選擇第二個公式.

4. 數(shù)學(xué)應(yīng)用

例1在等差數(shù)列{an}中,前n項之和為Sn.

(1)已知a1=3,a50=101,求S50;

設(shè)計意圖讓學(xué)生盡快熟悉公式,根據(jù)條件進(jìn)行合理選擇公式.

師:如果將第一小問改為,已知S50=2 600,a1=3,你能求a50和公差d嗎?

生:可以,根據(jù)等差數(shù)列的求和公式以及通項公式,通過解方程的思想解決.

師:也就是說在等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式中,含有n,a1,d,an,Sn五個量,只要已知其中的三個量,就可以求出余下的兩個量. 請同學(xué)們動腦筋自己舉出幾個例子.

生甲:等差數(shù)列-10,-6,-2,…前多少項的和是54?

師:請兩位同學(xué)分別板演這兩道題,其他同學(xué)自行完成.

設(shè)計意圖學(xué)生自己提出問題讓其他學(xué)生解決,不僅可以加深學(xué)生對等差數(shù)列通項公式和求和公式的理解,同時還提高了學(xué)生的思維能力和參與課堂活動的積極性.

二、教學(xué)感悟

“探究”是學(xué)習(xí)的方法,也是學(xué)習(xí)的過程,某種意義上說也是學(xué)習(xí)的目的,因為它是解決數(shù)學(xué)問題思路形成的方法,與科研、運用等社會價值構(gòu)成了思維方式和意圖的關(guān)系.在日常生活和工作中,人們探究是因為面臨著要解決的問題,那么數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的探究的對象是什么呢?那就是“問題”.問題是數(shù)學(xué)活動的載體,《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實驗)》提出“提高數(shù)學(xué)地提出、分析和解決問題(包括簡單的實際問題)的能力.”

如果一個教師“給他的學(xué)生以適合他們的認(rèn)知水平的問題去引起他們的好奇心,并

用一些吸引人的問題來幫助他們解題,他就會引起學(xué)生們對獨立思考的興趣并給他們一些方法.”(波利亞). 課堂教學(xué)中提出的問題不同,觸及學(xué)生原有的知識基礎(chǔ)、知識結(jié)構(gòu)就不同,學(xué)生的學(xué)習(xí)方式不同,學(xué)生對待問題的態(tài)度、情緒也不同,最終是學(xué)生的學(xué)習(xí)效果、學(xué)生的收獲產(chǎn)生了很大差別. 備這一節(jié)課時,首先,想注重問題情境的整體性,所以以我們學(xué)農(nóng)準(zhǔn)備梯子為情境,以“問題串”的形式出現(xiàn),希望能在問題串的引領(lǐng)下,學(xué)生進(jìn)行系列的、連續(xù)的思維活動,從而達(dá)到不斷攀升新的思維高度的目的;其次,想注重問題情境的層次性,問題之間具有層次,由淺入深逐步展開,這種層次不僅是邏輯之間的層次,更為主要的是思維過程的生成性. 通過問題情境中的三個問題不僅可以達(dá)到讓學(xué)生知道利用“倒序相加”法推導(dǎo)出等差數(shù)列前n項和公式的目的,同時通過問題的深入還可以讓學(xué)生理解以下三點:① 為什么要配對?② 為什么要倒序相加?③ 為什么能倒序相加?在教學(xué)過程中,不斷給回答問題的學(xué)生提出新的和更深入的問題,就是希望能做到把一個學(xué)生的正確的想法轉(zhuǎn)變成其他所有學(xué)生的想法,并且其他學(xué)生也能得到對問題的深刻的認(rèn)識. 同時,希望學(xué)生自己能提出問題,培養(yǎng)學(xué)生善于發(fā)現(xiàn)問題并有欲望去解決它的意識.