(山東科技大學(xué) 電氣與自動(dòng)化工程學(xué)院，山東 青島 266590)

帶乘性噪聲的隨機(jī)控制系統(tǒng)魯棒H2/H∞控制設(shè)計(jì)

蔣登輝，李艷

(山東科技大學(xué) 電氣與自動(dòng)化工程學(xué)院，山東 青島 266590)

摘要：本文主要研究了狀態(tài)方程和輸出方程均帶有多個(gè)噪聲源的無(wú)限時(shí)域離散隨機(jī)控制系統(tǒng)的H2/H∞控制器的設(shè)計(jì)問(wèn)題。首先給出一個(gè)隨機(jī)有界實(shí)引理(SBRL)；然后，利用隨機(jī)有界實(shí)引理和系統(tǒng)的精確可觀測(cè)性，給出了隨機(jī)控制系統(tǒng)最優(yōu)解的存在定理。該定理表明隨機(jī)H2/H∞控制設(shè)計(jì)與四個(gè)耦合的廣義代數(shù)Riccati方程的解的存在性有關(guān)。最后，給出了一個(gè)仿真實(shí)例來(lái)說(shuō)明設(shè)計(jì)的效用。

關(guān)鍵詞：隨機(jī)控制系統(tǒng)；隨機(jī)有界實(shí)引理；精確可觀測(cè)性；H2/H∞控制；廣義代數(shù)Riccati方程

所謂的H2/H∞控制是指尋找一個(gè)控制器不僅滿足H∞性能指標(biāo)的要求，而且當(dāng)最壞擾動(dòng)存在時(shí)，使得H2成本函數(shù)最小。混合H2/H∞控制作為一種重要的魯棒控制方法得到了廣泛的研究，并在工程實(shí)際中得到了應(yīng)用。文獻(xiàn)[1-4]是針對(duì)于確定性系統(tǒng)而言的，文獻(xiàn)[5]研究了離散時(shí)間馬爾科夫跳變系統(tǒng)的混合H2/H∞控制，文獻(xiàn)[6]考慮了利用Riccati方程的方法解決帶有隨機(jī)加性噪聲的線性系統(tǒng)的問(wèn)題，文獻(xiàn)[7]則研究了不確定多時(shí)滯廣義系統(tǒng)的魯棒控制問(wèn)題。文獻(xiàn)[8]和[9]分別研究了H2/H∞控制在CDMA系統(tǒng)的隨機(jī)功率控制和硬盤驅(qū)動(dòng)器的抗干擾設(shè)計(jì)。

近年來(lái)，隨著H2/H∞控制器的設(shè)計(jì)及其應(yīng)用的逐漸普遍，帶有乘性噪聲的連續(xù)和離散時(shí)間系統(tǒng)的隨機(jī)H∞控制和混合H2/H∞控制問(wèn)題已經(jīng)成為一個(gè)熱門的研究課題。文獻(xiàn)[10]給出了基于線性矩陣不等式的隨機(jī)有界實(shí)引理，這一引理在隨機(jī)H∞濾波器設(shè)計(jì)中起著非常重要的作用。文獻(xiàn)[11]很好地解決了帶乘性噪聲的馬爾可夫跳系統(tǒng)的精確可觀測(cè)性和精確可檢測(cè)性的問(wèn)題，并提出了相應(yīng)的PBH判據(jù)，對(duì)系統(tǒng)的魯棒H2/H∞控制進(jìn)行了詳細(xì)的設(shè)計(jì)；文獻(xiàn)[12]對(duì)狀態(tài)依賴噪聲的系統(tǒng)進(jìn)行了討論，獲得了關(guān)于隨機(jī)H2/H∞控制設(shè)計(jì)的成果。張維海等[13]針對(duì)一類狀態(tài)和擾動(dòng)依賴噪聲的系統(tǒng)進(jìn)行了H2/H∞控制器設(shè)計(jì)。盡管關(guān)于H2/H∞控制器設(shè)計(jì)理論已經(jīng)十分成熟，但是考慮到工程實(shí)踐中輸出過(guò)程也受到噪聲的影響的實(shí)際，例如在動(dòng)力調(diào)諧陀螺中，過(guò)大的輸出噪聲會(huì)引起視軸的抖動(dòng)較大，從而影響它的跟蹤精度和穩(wěn)定精度。因此本文研究狀態(tài)方程和輸出方程均帶有多個(gè)噪聲源的離散隨機(jī)控制系統(tǒng)的H2/H∞控制器設(shè)計(jì)問(wèn)題。

本文的主要內(nèi)容安排如下：第一節(jié)介紹離散隨機(jī)控制系統(tǒng)模型，并給出相關(guān)定義和重要引理；第二節(jié)提出設(shè)計(jì)目標(biāo)和要求，并獲得H2/H∞控制設(shè)計(jì)。第三節(jié)采用逆向迭代算法來(lái)求解四個(gè)廣義代數(shù)Riccati方程，并對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行了數(shù)值仿真。第四節(jié)總結(jié)全文。

1帶乘性噪聲的隨機(jī)控制系統(tǒng)模型和基本概念

本文考慮以下?tīng)顟B(tài)、控制輸入和輸出均帶乘性噪聲的隨機(jī)控制系統(tǒng)：

(1)

定義2[14]如果存在反饋矩陣F∈Rm×n使得閉環(huán)隨機(jī)控制系統(tǒng)(1)是穩(wěn)定的，那么隨機(jī)控制系統(tǒng)(1)是可鎮(zhèn)定的。

(2)

有唯一的解L≥0。

(3)

(4)

有唯一解L>0，而且

并且最優(yōu)控制為

引理2由文獻(xiàn)[16]中的引理3變換而來(lái)，兩者證明過(guò)程基本相同，在此不再贅述。

接下來(lái)引進(jìn)一個(gè)隨機(jī)有界實(shí)引理。首先考慮下面的隨機(jī)控制系統(tǒng)：

(5)

其中，v∈Rnυ是指外部干擾，Z∈Rnz是控制輸出。

對(duì)文獻(xiàn)[6]中的引理4做一個(gè)簡(jiǎn)單推廣，可以得到以下引理：

引理3如果系統(tǒng)(5)是內(nèi)部穩(wěn)定的，并且對(duì)于任意給定的γ>0，滿足‖Γ‖<γ，則下列廣義代數(shù)Riccati方程

2無(wú)限時(shí)域離散隨機(jī)控制系統(tǒng)的魯棒H2/H∞控制設(shè)計(jì)

本節(jié)我們利用代數(shù)Riccati方程得出隨機(jī)H2/H∞控制問(wèn)題的解?？紤]如下離散隨機(jī)控制系統(tǒng)：

(7)

(8)

(9)

系統(tǒng)(7)的無(wú)限時(shí)域隨機(jī)H2/H∞控制器設(shè)計(jì)要求如下：

(10)

定理1對(duì)于系統(tǒng)(7)，假設(shè)以下四個(gè)廣義代數(shù)Riccati方程

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

首先，給出引理4，將用于定理1的證明。

有以下結(jié)論：

定理1的證明分為以下三個(gè)步驟：

(17)

(18)

其中D1和D2的定義同引理4。

步驟3：當(dāng)系統(tǒng)(7)中存在最壞的干擾v*時(shí)，u*同樣會(huì)減少系統(tǒng)的輸出能量。

其中，

3數(shù)值仿真

本文采用逆向迭代算法來(lái)求解四個(gè)耦合方程(7)～(10)。給出下面的一個(gè)二維數(shù)值仿真，假設(shè)迭代次數(shù)是100次，在隨機(jī)控制系統(tǒng)(1)中，假設(shè)m=2，γ=0.997，

通過(guò)運(yùn)用逆向迭代算法,獲得耦合方程(7)～(10)的最優(yōu)解如下：

通過(guò)解可知，L1<0，L2>0。迭代過(guò)程如圖1和圖2所示,圖中橫坐標(biāo)是迭代次數(shù)N，縱坐標(biāo)是最優(yōu)解L1(0)、L2(0)、F1和F2矩陣中每個(gè)元素的值，L1(0)、L2(0)為對(duì)稱矩陣。圖形清晰地表明了逆向迭代算法的收斂性和快速性。

圖1　L1和L2的迭代過(guò)程

圖2　F1和F2的迭代過(guò)程

4結(jié)論

本文研究了帶乘性噪聲的離散隨機(jī)控制系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)問(wèn)題，通過(guò)精確可觀測(cè)性和一個(gè)有界實(shí)引理，得出了最優(yōu)的魯棒H2/H∞控制設(shè)計(jì)，該設(shè)計(jì)與四個(gè)耦合的廣義代數(shù)Riccati方程有關(guān)。使用逆向迭代算法對(duì)四個(gè)方程進(jìn)行了求解，并通過(guò)數(shù)值仿真驗(yàn)證了算法的有效性和設(shè)計(jì)的正確性。

參考文獻(xiàn)：

[1]BASART,BERNHARP.H∞-optimalcontrolandrelatedminimaxdesignproblems:Adynamicgameapproach[M].First.France:SpringerScience&BusinessMedia,1995:11-399.

[2]LIMEBEERD,ANDERSONB,HENDELB,etal.ANashgameapproachtomixedH2/H∞control[J].IEEETransactionsonAutomaticControl,1994,39(1):69-82.

[3]KHARGONEKARPP,ROTEAMA.MixedH2/H∞control:Aconvexoptimizationapproach[J].IEEETransactionsonAutomaticControl,1991,36(7):824-837.

[4]SZNAIERM,ROTSEINH.Anexactsolutiontogeneral4-blocksdiscrete-timemixedH2/H∞problemsviaconvexoptimization[J].IEEETransactionsonAutomaticControl,1994,43(10):2251-2256.

[5]COSTAOLV,MARQUESRP.MixedH2/H∞controlofdiscrete-timeMarkovianjumplinearsystems[J].IEEETransactionsonAutomaticControl,1998,43(1):95-100.

[6]CHENX,MOOREJB,ZHOUXY,etal.SolvabilityandasymptoticbehaviorofgeneralizedRiccatiequationsarisinginindefinitestochasticLQcontrols[J].IEEETransactionsonAutomaticControl,2001,46(1):428-440.

[7]王中鳳,張高民,王玉芬.不確定多時(shí)滯廣義系統(tǒng)的魯棒H∞控制[J].山東科技大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2009,28(2):106-110.

WANGZhongfeng,ZHANGGaomin,WANGYufen.RobustH∞controlforuncertaingeneralizedsystemswithmultipletime-delays[J].JournalofShandongUniversityofScienceandTechnology(NaturalScience),2009,28(2):106-110.

[8]QIANLJ,GAJICZ.VarianceminimizationstochasticpowercontrolinCDMAsystems[J].IEEETransactionsonWirelessCommunications,2002,5(1) :1763-1767.

[9]DUCL,XIELH,TEOHJN,etal.AnimprovedmixedH2/H∞controldesignforharddiskdrives[J].IEEETransactionsonControlSystemsTechnology,2005,13(5):832-839.

[10]ELBOUHTOURIA,HINRICHSEND,PritchardAJ.H∞-typecontrolfordiscrete-timestochasticsystems[J].InternationalJournalofRobustNonlinearControl,1999,9(13):923-948.

[11]侯婷.離散時(shí)間Markov跳變系統(tǒng)的穩(wěn)定性和魯棒H2/H∞控制[D].青島:山東科技大學(xué),2010:9-97.

[12]CHENBS,ZHANGWH.StochasticH2/H∞controlwithstate-dependentnoise[J].AutomaticControl,IEEETransactionson,2004,49(1):45-57.

[13]ZHANGWH,HUANGYL,ZhangHS.StochasticH2/H∞controlfordiscrete-timesystemswithstateanddisturbancedependentnoise[J].Automatica,2007,43(3):513-521.

[14]譚成.隨機(jī)系統(tǒng)的穩(wěn)定性、能觀測(cè)性及能檢測(cè)性研究[D].青島：山東科技大學(xué),2012:10-37.

[15]LIZY,WANGY,ZHOUB,etal.Detectabilityandobservabilityofdiscrete-timestochasticsystemsandtheirapplications[J].Automatica,2009,45(5):1340-1346.

[16]ZHANGWH,HUANGYL,XIELH.InfinitehorizonstochasticH2/H∞controlfordiscrete-timesystemswithstateanddisturbancedependentnoise[J].Automatic,2008,44(9):2306-2316.

(責(zé)任編輯：傅游)

Robust H2/H∞Control of Stochastic Control Systems with Multiplicative Noise

JIANG Denghui, LI Yan

(College of Electrical Engineering and Automation, Shandong University of Science and Technology,Qingdao, Shandong 266590, China)

Abstract:The paper mainly investigated the mixed H2/H∞control design of infinite horizon discrete-time stochastic control systems with multiplicative noise in both state and output equation. Firstly, a stochastic bounded real lemma (SBRL) was built. Secondly, on the basis of SBRL and exact observability, an optimal solution existence theorem of the stochastic H2/H∞control system was obtained, which indicates that the stochastic control design is related to the solution of the four coupled general algebraic Riccati equations (GAREs). Finally, a numerical example was proposed to illustrate the effectiveness of the design.

Key words:stochastic control system; stochastic bounded real lemma; exact observability;H2/H∞control; general algebraic Riccati equation

收稿日期：2015-12-31

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(61402265)；山東科技大學(xué)群星計(jì)劃項(xiàng)目(qx2013111)

作者簡(jiǎn)介：蔣登輝(1990—),女,山東泰安人,碩士研究生,主要從事隨機(jī)魯棒控制研究. E-mail：liyanghd@163.com

中圖分類號(hào)：O231

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1672-3767(2016)03-0092-07

李艷(1975—),女,山東泰安人,講師,博士，主要從事隨機(jī)魯棒控制研究,本文通信作者.