趙 連 闊

(山西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，山西 臨汾 041004)

·研究簡報·

解析函數(shù)空間上的有限秩加權(quán)復(fù)合算子

趙 連 闊

(山西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，山西 臨汾 041004)

[摘要]給出了解析函數(shù)再生核巴拿赫空間上有限秩加權(quán)復(fù)合算子的統(tǒng)一刻畫.主要結(jié)論表明解析函數(shù)再生核巴拿赫空間上的有限秩加權(quán)復(fù)合算子或者是零算子或者是一秩算子.

[關(guān)鍵詞]解析函數(shù)空間；加權(quán)復(fù)合算子；有限秩

1預(yù)備知識

設(shè)Ω是復(fù)空間CN中的域，h(Ω)表示Ω上解析函數(shù)全體構(gòu)成的集合.記x為由Ω上解析函數(shù)構(gòu)成的具有再生核的巴拿赫空間，且包含所有解析多項式.x具有再生核是指對任意w∈Ω，在點w的取值泛函有界，即存在x上的連續(xù)線性泛函δw使得δw(f)=f(w)，f∈x.熟知的單圓盤上的哈代空間，復(fù)平面上的Fock空間等都是再生核解析函數(shù)巴拿赫空間.關(guān)于再生核函數(shù)空間的基本知識參見文獻[1-2].

設(shè)ψ∈h(Ω)，φ是Ω上的解析自映射，定義算子Cψ，φ:x→x如下：

(Cψ，φf)(z)=ψ(z)f(φ(z))，z∈Ω，f∈x.

則稱Cψ，φ為x上的加權(quán)復(fù)合算子.加權(quán)復(fù)合算子是一類非常重要的具體算子，可看作是乘法算子和復(fù)合算子的結(jié)合，其基本問題是通過定義符號ψ和φ的函數(shù)性質(zhì)來反映加權(quán)復(fù)合算子Cψ，φ的算子性質(zhì)，如算子的有界性、緊性、可逆性等.各類函數(shù)空間上的加權(quán)復(fù)合算子已經(jīng)得到廣泛且深入的研究.[3-7]在函數(shù)空間上，加權(quán)復(fù)合算子與Toeplitz算子[8]、積分算子[9]一樣重要.

2主要結(jié)論

定理1設(shè)ψ∈h(Ω)，ψ≠0，φ是Ω上的解析自映射.則Cψ，φ是x上的有限秩算子，當(dāng)且僅當(dāng)ψ∈x且存在b∈Ω使得φ(z)=b.換句話說，Cψ，φ是x上的非零有限秩算子，當(dāng)且僅當(dāng)Cψ，φ是x上的一秩算子.

充分性的證明是顯然的.

[參考文獻]

[1]ARONSZAJN N.Theory of reproducing kernels[J].Trans Amer Math Soc，1950，68： 337-404.

[2]RICHTER S.Invariant subspaces in Banach spaces of analytic functions[J].Trans Amer Math Soc，1987，304： 585-616.

[4]MONTES-RODRIGUEZ A.Weighed composition operators on weighted Banach spaces of analytic functions[J].J London Math Soc，2000，61：872-884.

[6]OHNO S，STROETHOFF K，ZHAO R.Weighted composition operators between Bloch-type spaces[J].Rocky Mountain J Math，2003，33:191-215.

[7]WOLF E.Weighted composition operators between weighted Bloch type spaces[J].Bull Soc Roy Sci Liège，2011，80：806-816.

[8]馮麗霞.Dirichlet空間上Toeplitz算子的乘積[J].東北師大學(xué)報(自然科學(xué)版)，2015，47(4)：42-45.

[9]洪勇.含零階齊次核的Hilbert型奇異重積分算子的有界性及范數(shù)[J].東北師大學(xué)報(自然科學(xué)版)，2014，46(1)：48-54.

(責(zé)任編輯：李亞軍)

Finite rank weighted composition operators on analytic function space

ZHAO Lian-kuo

(School of Mathematics and Computer Science，Shanxi Normal University，Linfen 041004，China)

Abstract:A unified characterization of finite rank weighted composition operators on reproducing kernel Banach space of analytic functions is given.The main result shows that a weighted composition operator on reproducing kernel Banach space of analytic functions is finite rank if and only if it is a zero operator or a rank-one operator.

Keywords:analytic function space；weighted composition operator；finite rank

[文章編號]1000-1832(2016)02-0155-02

[收稿日期]2015-10-29

[基金項目]國家自然科學(xué)基金資助項目(11201274，11471189).

[作者簡介]趙連闊(1979—)，博士，副教授，主要從事函數(shù)空間上的算子理論研究.

[中圖分類號]O 177.1[學(xué)科代碼]110·57

[文獻標(biāo)志碼]A

[DOI]10.16163/j.cnki.22-1123/n.2016.02.031