印興耀, 鄧煒, 宗兆云

中國石油大學(華東)地球科學與技術學院, 山東青島　266580

基于逆算子估計的AVO反演方法研究

印興耀, 鄧煒, 宗兆云

中國石油大學(華東)地球科學與技術學院, 山東青島266580

摘要傳統(tǒng)反演算法以優(yōu)化算法為主，而基于逆算子估計的AVO反演算法則利用了直接求逆的思路.算法的關鍵在于尋找存在逆函數(shù)的子域，進而可以在子域內直接求逆，這種解決反問題的思路不同于一般的優(yōu)化類算法所采用的直接搜索解的方式，具有更高的效率.AVO反演利用了振幅隨著偏移距的變化特征，反演的精度受到地震資料質量的影響，通過加入L1范數(shù)約束以及合理的初始模型有助于提高反演的穩(wěn)定性以及準確度.模型測算和實際應用表明，基于逆算子估計的AVO反演方法具有較高的精確程度和可靠性.

關鍵詞AVO反演； 逆算子估計； L1范數(shù)； 初始模型

Aki&Richards approximation is utilized to establish the inversion objective function. L1 norm constraint is considered on the basis of reasonable initial model in order to improve effciency and stability during AVO inversion process. Inverse operator estimation algorithm utilizes numerical approximation of objective function in empirically constrained subspaces. The existence of inverse mapping inside these subspaces is supposed, and thus the existence of its numerical approximation is also supposed. This numerical approximation is used for the prediction of the solution. It can be divided into the following four steps: (1) initialization, (2) selection, (3)prediction,(4) solution space correction. Since this method is approximate, the algorithm is arranged into iterative cycles and the solution is gained successively.

Model test in which noise immunity and stability based on L1 norm constraint are considered lays the foundation for the actual data inversion. In the model test, the inversion results based on synthetic seismogram with different SNR noise remain good consistency with the model value. L1 constraint is necessary, a relatively stable result can be obtained in multiple inversion processes and it helps reduce the number of singular values. The seismic data is from China′s land, inversion quality can be evaluated by well data and seismic data.Inversion results of actual seismic data maintain good consistency with logging curves.

Reliability of the solution, noise immunity and convergence speed can be improved by increasing the constraint requirements and considering reasonable initial models. Poor lateral continuity when dealing with actual data can be reduced by optimizing the objective function and the initial model. In general, AVO inversion based on inverse operator estimation is effective and potential.KeywordsAVO inversion； Inverse operator estimation; L1 norm; Initial model

1引言

疊前彈性參數(shù)反演是利用疊前地震信息、測井資料數(shù)據(jù)以及地質信息反演地下的相關參數(shù)、預測儲層以及流體(楊培杰和印興耀，2008;印興耀等，2010,2014)的一種方法.相比于疊后反演方法，利用AVO反演方法可以更為精確地提取反映巖石含油氣性以及巖性的屬性參數(shù)(Goodway et al.,1997;Gray and Andersen,2001; Xingyao Yin and Shixin Zhang，2014；Zong et al.,2015;Yin et al.,2015)，從而提高流體識別和儲層預測的精度.

基于逆算子估計的AVO反演方法是根據(jù)Zoeppritz方程近似式(Bortfeld，1961；Aki and Richards,1980; Shuey,1985;鄭曉東,1991；Zong et al.,2012，2013a )直接求取三參數(shù)的方法，利用Aki&Richards近似方程建立反演方程，目標函數(shù)為正演數(shù)據(jù)與觀測數(shù)據(jù)殘差的L2范數(shù)，由于反演問題的不適定性，較小的噪聲即可對反演結果帶來較大影響，可以通過正則化改善反演結果(Tikhonov,1963)，因此本文在L2范數(shù)基礎上加入L1范數(shù)以及初始模型(宗兆云等，2012,2013b;Yin et al.,2013)進行約束.求解過程中逆算子估計算法的精確程度和穩(wěn)定性至關重要，通過試驗表明算法可以穩(wěn)定地提取三參數(shù)信息.逆算子估計算法在實現(xiàn)過程中最重要的是找到存在逆函數(shù)的區(qū)域，繼而在這些區(qū)域內直接求逆，并且在每一次求解中循環(huán)利用線性回歸、徑向基函數(shù)網絡和克里金3種不同方法，增強了對于反問題的適應性.

本文首先闡述了基于逆算子估計的AVO反演方法的理論基礎，包括反演目標函數(shù)構建以及目標參數(shù)求解過程，然后分別利用模型測算和實際資料應用驗證方法的可行性以及有效性.在模型測試部分除了進行抗噪性測試，還考慮L1范數(shù)約束以及初始模型對反演的影響.實際應用部分則利用實際資料直接反演得到三參數(shù)信息，并驗證其合理性.

2理論基礎

2.1反演方程

1980年Aki和Richard整理了Frasier和Richards的研究成果，提出了Zoeppritz方程的近似式，即用縱橫波反射系數(shù)以及密度反射系數(shù)表示的線性近似式：

(1)

其中，

(2)

其中，Rp,Rs,Rd分別代表縱波速度反射系數(shù)、橫波速度反射系數(shù)以及密度反射系數(shù).利用正演模型我們可以得到某一個采樣點不同角度的反射系數(shù)，原則上我們只需要3個角度的信息就可以達到目的.建立如下所示的目標函數(shù)：

(3)

(4)

(5)

(6)

參數(shù)向量代表待求參數(shù)，數(shù)據(jù)向量代表觀測數(shù)據(jù)，誤差代表精度，精度表示形式為

算法實現(xiàn)包括4個步驟，初始化、選擇、預測、校正.初始化階段需要定義求解范圍、模型向量和數(shù)據(jù)向量的維數(shù)；選擇最為關鍵，目的在于在一個較大的空間內尋找到存在逆函數(shù)諸多的小空間；預測則是在這些空間內求解，可以通過很多方法求解，本文中采用線性回歸、徑向基函數(shù)網絡(閻平凡和張長水,2005)、克里金3種方法.實驗證明3種方法在算法循環(huán)的過程中的循環(huán)利用可以有效地提高算法的精度和適應性；在校正階段則使求得的解更加合理，即使得目標函數(shù)最小.算法在上述步驟的不斷循環(huán)中實現(xiàn).

(1) 初始化

在這個階段，對各個必要的參數(shù)進行初始化，下一次的計算參數(shù)要被限制在已定義的空間內部.

初始模型的集合是按照統(tǒng)一的概率分布在既定的空間內.所有的模型按照誤差的大小排序，誤差最小的稱為Mb:

Mb={pb,db,errb},errb=min(erri),

i=1,2…q.

(7)

在每次的迭代中產生的每個模型集合都要按照特定的幾何規(guī)則分布：先選擇一個模型并且作為集合的中心，其他的q-1個模型隨機地分布在以其為圓心、R為半徑的球體或者超球體面上.

(2) 選擇

第一次循環(huán)前，隨機選擇集合中心pc,且R=1.假設{pc,R}已知，將按照下列步驟產生新的預測模型：

1) 集合的中心模型{pc,dc,errc}作為第一個模型；

2) 張量Cm以Choleski分解Cm=LLT；

3) 候選模型pg=pc+R Lg；

g為單位向量.根據(jù)合理的條件判斷該模型是否合理，為了提高算法的效率，在選擇預測模型的時候如果產生了與之前的模型非?？拷那闆r，那么就不應該被選擇，這樣就減少了需要正演評估的計算量.

(3) 預測

被選擇的預測模型在這個階段{pi,di,erri},i=1,2…q才是可以利用的：預測模型集合{pi,di,erri}→預測算法→候選解p0.

實驗表明，在復雜多樣的環(huán)境下只使用相同的預測算法不利于提高算法的適用性，最好的方式是：即使是在一個單一的求逆過程中都要利用多種預測算法.現(xiàn)在逆算子估計是利用3種預測算法：線性回歸；利用RBFN(徑向基函數(shù)網絡)預測和“克里金”.

通過選擇，可以保證在新的模型空間內逆函數(shù)存在，3種算法的循環(huán)使用對一個未知的反問題有更強的適應性.

(4) 校正

預測的質量原則上可以通過對下列事項的考慮來控制：1) 組成集合的個體的個數(shù)q；2) 集合的大小，即直徑R；3) 集合的位置，即集合的中心pc.

模型個數(shù)q會影響計算量，q值越大，需要選擇的模型越多，計算量就會增大，但是對結果的影響較小，q值是隨著迭代次數(shù)的增加不斷自動發(fā)生改變的，如果要求更高的精度選取較大的q值是有利的，一般選取范圍為模型參數(shù)個數(shù)的3～5倍.校正的關鍵在于集合的大小以及集合的位置，具體的校正方法如表1所示，其中nwait表示在循環(huán)過程中誤差沒有改善的循環(huán)次數(shù).可以看到目的就在于使得誤差err越來越小.

表1　校正方法表

3模型反演

下面是一個實際的井資料模型，包括橫波速度、縱波速度以及密度反射系數(shù).三參數(shù)模型值如圖1所示.

圖1　井模型參數(shù)圖(a) 縱波速度反射系數(shù)； (b) 橫波速度反射系數(shù)； (c) 密度反射系數(shù).Fig.1　Well model parameters(a) P-wave velocity reflection coefficient; (b) Shear wave velocity reflection coefficient; (c) Density reflection coefficient.

利用模型數(shù)據(jù)以及主頻為40 Hz的雷克子波合成地震記錄，反演得到如圖2所示的結果，其中藍色為反演值，紅色為模型值，青綠色為初始值，可以看到反演值與模型值保持很好的一致性，初始值為模型值的100次平滑，初始值與模型值的相關性不高，但是反演結果仍然理想.

給合成記錄加信噪比為3的噪聲，合成記錄加噪聲前后對比如圖3所示((a)為未加噪聲合成記錄，(b)為加噪聲記錄)，對密度項的反演結果較其他兩項較差，初始值較不加噪聲反演的時候與模型值的相關性提高一點，但反演結果與模型值也保持了很好的一致性.圖4為加信噪比時反演結果與模型值對比.

給合成記錄加上信噪比為1的噪聲，合成記錄加噪聲前后對比如圖5所示((a)未加噪聲，(b)為加噪聲)，圖6為反演結果.從圖4和圖6可以觀察到，隨著噪聲增加，反演對初始模型的依賴性相應增加.

初始模型是對模型的不同程度的多次平滑，約束解的范圍是在初始模型基礎上加減一個該參數(shù)的最大值或者最小值.從模型測試的結果可以看出，無噪聲時，反演結果與模型值有很高的吻合度，對初始模型的依賴較低，加入不同程度信噪比噪聲后反演結果與模型值也保持了較好的吻合度，但是對初始模型的要求也相應有所增加，更好的初始模型有助于得到更好的反演結果.從3個測試的結果可以看到，對于密度的反演結果相對較差，這也是目前線性反演研究工作的一個難點，并非單純只是本文所使用的算法的原因.從圖2可以看出在資料信噪比較高的情況下對初始模型的依賴性不強.如果資料的信噪比較低，除了尋找更加合適的初始模型之外，還可以通過提高精度要求和循環(huán)次數(shù)來改善反演結果.總體來說，算法有較高的準確度和穩(wěn)定性，但是對于密度項的反演結果較其他兩項差一點.

由于本文采用的是一種新的非優(yōu)化算法，所以對于加入L1范數(shù)以及初始模型是否對于反演有幫助是值得商榷的，因此筆者比較了不加范數(shù)和模型與加范數(shù)和模型兩種情況的反演結果.

考慮到的影響主要分為兩個方面：穩(wěn)定性和反演中奇異值數(shù)量.

為了驗證加約束項對于結果穩(wěn)定性的影響，在信噪比為2的情況下，對上述的反演過程獨立進行10次，將3參數(shù)信息利用道積分方法轉換成密度、縱橫波速度信息，得到10個反演結果.對于每一個采樣點，計算這10次反演結果與模型值的方差以及所有采樣點方差的總和的平均，得到表2，然后分別作歸一化處理得到圖7，從左至右分別是縱波速度方差、橫波速度方差和密度方差，為了得到一個趨勢筆者做了一定的平滑處理.值得注意的是，由于做了歸一化，圖7上的大小只是相對的，不能說明兩者的絕對大小，絕對大小如表2所示.

圖2　反演結果與模型值對比圖紅色曲線代表模型值，藍色曲線為反演值，青綠色曲線為初始值. (a) 縱波速度反射系數(shù)反演結果比對； (b) 橫波速度反射系數(shù)反演結果比對； (c) 密度反射系數(shù)反演結果比對.Fig.2　The comparison between inversion results and the model valueThe model value is colored with red.The inversion value is colored with blue and the initial value is colored with green.(a) Inversion result of P-wave velocity reflection coefficient; (b) Inversion result of shear wave velocity reflection coefficient; (c) Inversion result of density reflection coefficient.

圖3　加噪聲(信噪比為3)前(a)后(b)合成記錄對比圖Fig.3　The comparison of synthetic seismogram (S/N=3)

圖4　合成記錄加信噪比為3時噪聲反演結果與模型值對比圖紅色曲線代表模型值，藍色曲線為反演值，青綠色曲線為初始值. (a) 縱波速度反射系數(shù)反演結果比對； (b) 橫波速度反射系數(shù)反演結果比對； (c) 密度反射系數(shù)反演結果比對.Fig.4　The comparison between inversion results and the model value with S/N=3The model value is colored with red.The inversion value is colored with blue and the initial value is colored with green. (a) Inversion result of P-wave velocity reflection coefficient; (b) Inversion result of shear wave velocity reflection coefficient; (c) Inversion result of density reflection coefficient.

圖5　加噪聲(信噪比為1)前(a)后(b)合成記錄對比圖Fig.5　The comparison of synthetic seismogram (S/N=1)

圖6　合成記錄加信噪比為1噪聲反演結果與模型值對比圖紅色曲線代表模型值，藍色曲線為反演值，青綠色曲線為初始值. (a) 縱波速度反射系數(shù)反演結果比對； (b) 橫波速度反射系數(shù)反演結果比對； (c) 密度反射系數(shù)反演結果比對.Fig.6　The comparison between inversion results and the model value with S/N=1 The model value is colored with red. The inversion value is colored with blue and the initial value is colored with green. (a) Inversion result of P-wave velocity reflection coefficient; (b) Inversion result of shear wave velocity reflection coefficient; (c) Inversion result of density reflection coefficient.

圖7　加約束項與初始模型前后穩(wěn)定性對比紅色曲線為不加約束和初始模型，藍色代表加入約束項以及初始模型. (a) 縱波速度誤差； (b) 橫波速度誤差； (c) 密度誤差.Fig.7　Stability with constraint term and the initial model compared to the condition without it The error with constraint and initial model is colored with blue. The error without them is colored with red. (a) Error of P-velocity; (b) Error of shear wave velocity; (c) Error of density.

圖8　合成10°、20°、30°地震記錄以及反演剖面Fig.8　Synthetic seismograms and P-wave velocity, shear velocity, density inversion results

由表2可以得到，加了約束項和模型后方差總和整體上明顯小于不加約束項，說明整體上穩(wěn)定性有所提高.平均誤差為方差，反應了與模型值的差值絕對值，可以看到加L1約束以及模型后誤差明顯減小.再觀察圖7，紅色曲線代表未加約束項與模型，藍色代表加約束項與模型，對于每一個采樣點來說，未加約束項和模型的縱波速度的方差變化幅度為0.3～1，而加了約束項和模型的則基本維持在0.5附近，結合表2不難看出，加了約束項和模型后對于每一個采樣點而言誤差是相對較小的，并且從整體上來講誤差維持在一個更加穩(wěn)定的水平.同樣對于密度有類似的現(xiàn)象.綜上所述，加入合適的約束項和模型后有利于提高結果的穩(wěn)定性.

表2　方差總和數(shù)值表

其次是所耗時間，對10次反演過程經過統(tǒng)計，300個采樣點平均在反演過程中由于奇異值存在而使得算法無法在既定的有限循環(huán)次數(shù)內達到求解精度的平均次數(shù)為12，而加入約束和初始模型后平均次數(shù)為3，所以時間有大幅度減少.

綜上所述，算法可以通過加入L1范數(shù)與初始模型來提高穩(wěn)定性以及計算效率.

對于二維剖面模型，在不加噪聲的情況下，合成10°、20°、30°的地震記錄(圖8a).選取的初始模型是對每一道數(shù)據(jù)進行100次平滑，反演得到如下縱波速度、橫波速度以及密度剖面如圖8b所示(從左自右).

二維模型反演的目的在于驗證橫向連續(xù)性.從二維模型的反演結果看，算法具有較高的分辨率，橫向連續(xù)性較好，說明在得到高準確度的反射系數(shù)或者子波后逆算子估計算法具有很高的準確性，這也為處理實際資料打下理論基礎.

4實際應用

實際地震數(shù)據(jù)來自中國大陸陸地某勘探工區(qū).圖9為3個部分角度疊加剖面，圖9依次分別是小角度(中心角度10°)、中角度(中心角度20°)、大角度(中心角度30°)的剖面，一共70道，采樣間隔為2 ms.在該工區(qū)提取3個角度的地震子波，加入L1范數(shù)約束以及適當?shù)某跏寄Ｐ陀兄谔岣呓Y果的準確性，反演得到如圖10所示的結果，在圖10中，左半圖是初始模型，從上到下分別為縱波速度反射系數(shù)、橫波速度反射系數(shù)以及密度反射系數(shù).初始模型與地質先驗信息以及井數(shù)據(jù)有關，是對工區(qū)的一個粗略的估計，所選擇解的范圍是在初始模型的基礎上加減一個工區(qū)該參數(shù)的最大值，這樣的一個范圍被認為是比較合適的，因為所選取的范圍至少要能包含合理的解，但是范圍太大又會增加反演的多解性.另外一方面，如果得到了較好的初始模型，可以縮小解的約束范圍，從而提高反演的效率和質量，但本文并非重點尋找更好的初始模型，而關心的是算法本身.圖10的右半圖是反演結果，從上而下分別是縱波速度反射系數(shù)、橫波速度反射系數(shù)以及密度反射系數(shù)剖面，由初始模型和反演結果對比，初始模型可以確定解的范圍以及初次迭代值，兩者的相關性并不高，但是反演結果仍然比較理想.

圖10　縱波速度反射系數(shù)(上)橫波速度反射系數(shù)(中)密度反射系數(shù)(下)剖面Fig.10　P-wave velocity reflection coefficient (top) wave velocity reflection coefficient (mid) density reflection coefficient (below) profiles

圖11　反演值(第70道)(紅色)與軟件反演值(藍色)對比Fig.11　Inversion value (70th trace) (red) and software inversion value (blue) contrast

反演結果整體效果體現(xiàn)出了地震有限頻帶內的信息，地震剖面上反射能量的強弱與反演結果是一致的，圖10中紅色代表高值，縱波速度整體上變化較大，而密度的變化較小，整體的橫向連續(xù)性有待提高.為了驗證結果的正確性，用某反演軟件得到較為理想的反演剖面，隨機抽出第70道與結果對比如圖11所示，圖中從左至右分別是縱波速度反射系數(shù)、橫波速度反射系數(shù)以及密度反射系數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)用逆算子估計算法反演得到的結果與用軟件反演結果保持較好的一致性，兩者在局部極值位置的反演結果有較好的統(tǒng)一.

5結論

本文采用Aki&Richards線性方程建立AVO反演方程，目標函數(shù)加入初始模型以及L1范數(shù)約束，采用非優(yōu)化的逆算子估計算法進行求解，得到縱橫波速度反射系數(shù)以及密度反射系數(shù).模型試算證明算法可以增加對解的約束條件以及加入合理初始模型，加快收斂速度且提高解的可靠性，并且提高抗噪性.在處理實際資料時橫向連續(xù)性和穩(wěn)定性較差，可以通過優(yōu)化目標函數(shù)以及優(yōu)化初始模型的方法減小這個問題帶來的影響.試驗證明基于逆算子估計的AVO反演方法是有效并且具有較大潛力的.

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(本文編輯胡素芳)

AVO inversion based on inverse operator estimation

YIN Xing-Yao, DENG Wei, ZONG Zhao-Yun

Geo-ScienceandTechnologyFaculty,ChinaUniversityofPetroleum,QingdaoShandong266580,China

AbstractAmplitude variation with amplitude or angle (AVO/AVA) inversion has been widely utilized in exploration geophysics to estimate the formation of elastic parameters underground. The traditional inversion algorithms are mainly optimization, while the AVO inversion based on inverse operator estimation is to inverse directly. The key is to find the subspaces which exist inverse mapping instead of searching for the solution directly as optimization algorithms do.

基金項目國家重點基礎研究發(fā)展計劃(2013CB228604)，國家油氣重大專項(2011ZX05030-004-002)，中國博士后科學基金(2014M550379),山東省博士后基金(201401018)和山東省優(yōu)秀中青年科學科研獎勵基金(2014BSE28009)聯(lián)合資助.

作者簡介印興耀，男，中國石油大學(華東)教授.主要從事地球物理理論與方法方面的研究. E-mail： xyyin@upc.edu.cn

doi:10.6038/cjg20160426 中圖分類號P631

收稿日期2015-03-20，2015-10-08收修定稿

印興耀, 鄧煒, 宗兆云. 2016. 基于逆算子估計的AVO反演方法研究.地球物理學報，59(4):1457-1468,doi:10.6038/cjg20160426.

Yin X Y, Deng W, Zong Z Y. 2016. AVO inversion based on inverse operator estimation.ChineseJ.Geophys. (in Chinese),59(4):1457-1468,doi:10.6038/cjg20160426.