曹　勇，李　偉，雍志華，李　娟，于白茹，梁小沖

(四川大學(xué) a.電氣信息學(xué)院; b.物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,四川 成都 610065)

利用多普勒效應(yīng)實(shí)驗(yàn)儀器研究垂直簡諧振動(dòng)測量方法的改進(jìn)

曹勇a，李偉b，雍志華b，李娟b，于白茹b，梁小沖b

(四川大學(xué) a.電氣信息學(xué)院; b.物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,四川 成都 610065)

摘要：利用多普勒效應(yīng)實(shí)驗(yàn)儀器測量垂直簡諧振動(dòng)的周期和頻率實(shí)驗(yàn)中，對(duì)傳統(tǒng)測量方法進(jìn)行了改進(jìn)，測量接收器懸掛彈簧后再加掛砝碼時(shí)的彈簧的伸長量. 采用2種方法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，測量結(jié)果表明改進(jìn)后的方法誤差更小、更精確.

關(guān)鍵詞：簡諧振動(dòng)；多普勒效應(yīng)；周期

物理實(shí)驗(yàn)是最基本的實(shí)驗(yàn)訓(xùn)練，物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)理應(yīng)成為培養(yǎng)學(xué)生們創(chuàng)新能力的重要環(huán)節(jié)，注重培養(yǎng)學(xué)生科研能力，有利于學(xué)生的開拓精神和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)[1-2]，在全國多所高校中，多普勒效應(yīng)綜合實(shí)驗(yàn)作為基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)面向全校開放，在實(shí)驗(yàn)儀器上可完成的實(shí)驗(yàn)有多普勒效應(yīng)的驗(yàn)證、超聲波聲速的測量、研究變速直線運(yùn)動(dòng)以及研究簡諧振動(dòng). 傳統(tǒng)的測量簡諧振動(dòng)的方法一被大多數(shù)高校的實(shí)驗(yàn)教材采用，如北京大學(xué)、國防工業(yè)大學(xué)、四川大學(xué)[3-6]. 該方法理論上是正確的，但按實(shí)驗(yàn)所得數(shù)據(jù)計(jì)算，誤差較大. 通過查閱資料、實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，對(duì)原有的測量方法進(jìn)行改進(jìn)可有效減小實(shí)驗(yàn)誤差，并分析誤差產(chǎn)生的原因.

1垂直簡諧振動(dòng)的測量原理

當(dāng)質(zhì)量為m的物體受到大小與位移成正比、而方向指向平衡位置的力的作用時(shí)，若以物體的運(yùn)動(dòng)方向?yàn)閥軸，則其運(yùn)動(dòng)方程為

(1)

由上式描述的運(yùn)動(dòng)稱為簡諧振動(dòng)[7].

將質(zhì)量為m物體系于彈簧下端，使彈簧伸長. 設(shè)彈簧伸長了Δy， 由胡克定律可知，固體材料受力后將發(fā)生彈性形變，在固體的彈性限度內(nèi)，材料中的應(yīng)力與應(yīng)變(單位變形量)之間成線性關(guān)系[8]. 本實(shí)驗(yàn)中，彈簧彈力的大小和彈簧伸長(或縮短)的長度可簡單表示為如下的線性關(guān)系

mg=kΔy,

(2)

式中k是彈簧的彈性系數(shù). 如果給彈簧一向下的瞬時(shí)沖擊力，它將作垂直簡諧振動(dòng). 以物體的運(yùn)動(dòng)方向?yàn)閥軸，其運(yùn)動(dòng)方程為

(3)

由(2)和(3)式得

(4)

取y′=y-Δy，則(4)式變?yōu)?/p>

(5)

由(5)式可知，振動(dòng)的角頻率仍滿足

(6)

利用多普勒效應(yīng)實(shí)驗(yàn)儀研究簡諧振動(dòng)的測量裝置如圖1所示. 將超聲波接收器掛于彈簧上，令其上下振動(dòng)，當(dāng)系統(tǒng)在平衡位置附近振動(dòng)時(shí)，記錄其振動(dòng)速度. 實(shí)驗(yàn)時(shí)，取采樣間距T′=100 ms，采樣點(diǎn)總數(shù)150. 利用多普勒效應(yīng)實(shí)驗(yàn)儀記錄第1次到第150次的速度. 則簡諧振動(dòng)的周期T可表示為

(7)

式中，N1max和N11max分別為第1次速度達(dá)到最大值(或最小值)時(shí)的采樣次數(shù)和第11次速度達(dá)到最大值(或最小值)時(shí)的采樣次數(shù). 將數(shù)據(jù)代入

(8)

由此計(jì)算出簡諧振動(dòng)的角頻率.

圖1　多普勒效應(yīng)研究簡諧振動(dòng)測量裝置圖

2研究簡諧振動(dòng)2種方法比較

2.1傳統(tǒng)測量方法

2.2改進(jìn)后的測量方法

測量接收器質(zhì)量m1和砝碼質(zhì)量m2，測量接收器懸掛彈簧后彈簧的長度x，加掛砝碼，測量加掛砝碼后彈簧的伸長量x′，計(jì)算Δx=x′-x(如圖2). 將砝碼質(zhì)量m2和Δx代入改進(jìn)后式(2)求得k，再將k和接收器質(zhì)量m1代入式(6)可得ω0. 取下砝碼，讓接收器多普勒效應(yīng)綜合實(shí)驗(yàn)裝置上做垂直簡諧振動(dòng)，記錄N1max和N11max，利用式(7)和(8)可算出角頻率ω.

圖2　2種測量方法中用到的物理量

3實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

按照傳統(tǒng)測量方法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，所得角頻率的實(shí)驗(yàn)測量結(jié)果如表1所示，其中T′=100 ms,g=9.792 2 m/s2，其測量結(jié)果與計(jì)算值的相對(duì)偏差較大，約為10%. 采用改進(jìn)后的方法所得測量結(jié)果如表2所示，測量結(jié)果與計(jì)算值的相對(duì)偏差較小，小于1%.

2種測量方法在利用多普勒效應(yīng)實(shí)驗(yàn)儀器測量簡諧振動(dòng)周期過程完全相同，實(shí)驗(yàn)所得周期也大致相同. 2種測量方法共同的實(shí)驗(yàn)誤差來源有：1)實(shí)驗(yàn)時(shí)的空氣對(duì)流，空氣對(duì)流會(huì)導(dǎo)致物體在做垂直簡諧振動(dòng)的過程中受到非垂直方向上力的作用，導(dǎo)致物體做圓錐擺運(yùn)動(dòng)，從而改變物體的運(yùn)動(dòng)周期；2)測量過程中的室溫變化，會(huì)導(dǎo)致超聲波發(fā)生器與接收器之間的介質(zhì)發(fā)生改變，影響聲波的傳播速度，從而產(chǎn)生實(shí)驗(yàn)誤差；3)信號(hào)接收裝置是否良好.

表1　傳統(tǒng)方法研究簡諧振動(dòng)的相關(guān)物理量

表2　改進(jìn)后的方法研究簡諧振動(dòng)的相關(guān)物理量

2種測量方法的主要差異在于計(jì)算角頻率時(shí)彈簧伸長量的選取不同. 傳統(tǒng)方法是直接測量接收器懸掛上彈簧后測量彈簧的伸長量，默認(rèn)為彈簧伸長量從0開始滿足胡克定律. 而改進(jìn)后的方法是測量接收器懸掛上彈簧后再加掛質(zhì)量為m的砝碼時(shí)的伸長量，得出其彈性系數(shù).

因此，為探究實(shí)驗(yàn)中所用彈簧對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響，作如下實(shí)驗(yàn).

將實(shí)驗(yàn)所用彈簧懸掛在多普勒實(shí)驗(yàn)儀上，分別加掛不同質(zhì)量的砝碼并測量彈簧的伸長量，得出彈簧伸長量隨砝碼質(zhì)量增加的變化規(guī)律. 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表3所示. 由表3中數(shù)據(jù)作兩者的變化圖線如圖3所示. 由于實(shí)驗(yàn)條件限制，未測出加掛砝碼大于250 g時(shí)彈簧的伸長量.

表3　增加不同質(zhì)量砝碼后彈簧伸長量

在計(jì)算彈簧的彈性系數(shù)時(shí)，利用式(3)計(jì)算的結(jié)果是彈簧單位伸長量所對(duì)應(yīng)的砝碼質(zhì)量的改變量. 而圖3表明，彈簧伸長量從零開始的一段區(qū)間內(nèi)彈簧上加掛砝碼的質(zhì)量與彈簧的伸長量不滿足線性關(guān)系；當(dāng)彈簧的拉力達(dá)到一定值之后，彈簧加掛砝碼的質(zhì)量與彈簧的伸長量才呈線性關(guān)系，即符合胡克定律. 本實(shí)驗(yàn)中，傳統(tǒng)方法直接測量彈簧從零開始的伸長量，包括了彈簧伸長量非線性增長區(qū)間，因此角頻率的計(jì)算結(jié)果誤差較大；改進(jìn)后的方法，由于接收器質(zhì)量與所加砝碼質(zhì)量之和均在彈簧伸長量的線性增長區(qū)間內(nèi)，彈簧單位伸長量與所加砝碼質(zhì)量成正比，計(jì)算出的彈性系數(shù)更準(zhǔn)確，因此改進(jìn)后方法的偏差較小.

圖3　彈簧伸長量隨砝碼質(zhì)量增加的變化曲線

因此，采用改進(jìn)后的測量方法可明顯減小實(shí)驗(yàn)誤差，得出較為準(zhǔn)確的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和結(jié)論.

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[責(zé)任編輯：郭偉]

Comparison of two methods of researching vertical harmonic vibration by instrument of Doppler effects

CAO Yong1, LI Wei2， YONG Zhi-hua2， LI Juan2， YU Bai-ru2， LIANG Xiao-chong2

(1.School of Electrical Engineering and Information； 2.College of Physical Science and Technology,Sichuan University, Chengdu 610065, China)

Abstract:Vertical harmonic vibration was researched, its period and frequency were measured by the Doppler effect experiment instrument. The traditional method was improved by measuring the change in the length of the spring hung on the receiver with the increasement of weight. By analyzing two sets of data, it concluded that adopting the second method could come to a more accurate conclusion. The sources of error of the first method was also analyzed.

Key words:vertical harmonic vibration; Doppler effect; period

收稿日期：2015-09-01；修改日期：2015-10-19

作者簡介：曹勇(1996-)，男，四川內(nèi)江人，四川大學(xué)電氣信息學(xué)院2014級(jí)本科生.

通訊作者：李偉(1986-)，女，四川內(nèi)江人，四川大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院實(shí)驗(yàn)師，碩士，從事基礎(chǔ)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)教輔工作.

中圖分類號(hào)：O321

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1005-4642(2016)06-0036-04