楊朝云

[摘 要] 課改推進(jìn)的數(shù)學(xué)探究，需要教師根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行個(gè)性化內(nèi)化，而內(nèi)化的重要依據(jù)就是學(xué)生的學(xué)習(xí)需要. 正弦定理作為高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，對(duì)其探究可以強(qiáng)化問(wèn)題的提出與解決兩個(gè)環(huán)節(jié). 通過(guò)問(wèn)題的設(shè)計(jì)與探究反思，可以提升學(xué)生的探究品質(zhì).

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)探究；學(xué)生需要；學(xué)生視角

課程改革以來(lái)，探究式教學(xué)從概念理解到課堂實(shí)踐，經(jīng)歷了理論學(xué)習(xí)、案例模仿、自主更新等過(guò)程，這樣的過(guò)程使得數(shù)學(xué)課堂上的探究更趨合理. 對(duì)于高中數(shù)學(xué)教學(xué)而言，這樣的探究教學(xué)，也更大程度上激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高了數(shù)學(xué)教學(xué)的效果. 同時(shí)又應(yīng)當(dāng)看到，對(duì)于探究教學(xué)的適應(yīng)過(guò)程，更多的還是基于知識(shí)本位，即更多地考慮數(shù)學(xué)知識(shí)怎樣才能有效地為學(xué)生所有效構(gòu)建，而忽視了學(xué)生在構(gòu)建過(guò)程中可能的學(xué)習(xí)狀態(tài)，也就是說(shuō)當(dāng)前的探究式教學(xué)更多的關(guān)注“應(yīng)該怎么樣”，而相對(duì)少有關(guān)注學(xué)生思維中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程“實(shí)際是怎樣”. 這樣的定位顯然不利于真正發(fā)揮數(shù)學(xué)探究的作用，甚至還會(huì)造成探究無(wú)用的教學(xué)結(jié)論.基于這樣的認(rèn)識(shí)，筆者以為高中數(shù)學(xué)教學(xué)須探尋一套真正切合學(xué)生需要的探究式教學(xué)途徑. 本文試以蘇教版教材中的“正弦定理”教學(xué)為例，談?wù)劰P者的思考.

高中數(shù)學(xué)探究的基本原則

從課程標(biāo)準(zhǔn)及相關(guān)解讀來(lái)看，數(shù)學(xué)探究更多地注重技術(shù)性，譬如從數(shù)學(xué)問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)與提出，到對(duì)于數(shù)學(xué)問(wèn)題的猜想，到基于數(shù)學(xué)邏輯或數(shù)學(xué)建模的數(shù)學(xué)例證等，這樣的探究技術(shù)指導(dǎo)下的數(shù)學(xué)探究，其價(jià)值在于可以迅速地將一線教師導(dǎo)引上探究教學(xué)之路. 但需要注意的是，這也僅僅是一種技術(shù)性的指導(dǎo)，并沒(méi)有直接涉及數(shù)學(xué)探究的本質(zhì)與背影，因而不容易讓教師產(chǎn)生持久的教學(xué)驅(qū)動(dòng)力. 從這個(gè)角度講，高中數(shù)學(xué)探究需要建立更為基本的原則理解，這樣數(shù)學(xué)探究更容易有一個(gè)源頭活水.

對(duì)此，筆者翻閱了一定數(shù)量的教學(xué)資料，也從相關(guān)的數(shù)學(xué)史中試圖發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)探究需要遵循的基本原則. 研究之后筆者認(rèn)為，福建師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院的李祎老師提出的二十四字教學(xué)方針有較強(qiáng)的指導(dǎo)意義. 這二十四字是：精立內(nèi)容，大作功夫；少占多讓，少扶多放；絕對(duì)主動(dòng)，相對(duì)自主. 下面結(jié)合教學(xué)實(shí)踐談?wù)剬?duì)這二十四字的理解.

其一，精立內(nèi)容，大作功夫. 筆者的理解是，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，對(duì)于探究的內(nèi)容需要精心選擇確立，而不是鋪天蓋地地實(shí)施探究. 在教學(xué)實(shí)踐中的一大發(fā)現(xiàn)就是探究式教學(xué)相對(duì)耗時(shí)，有些知識(shí)也沒(méi)有探究的必要，因此內(nèi)容需精立，但一旦精立之后，就必須大作功夫，要讓學(xué)生的探究成為真的探究過(guò)程. “正弦定理”是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，在三角函數(shù)知識(shí)中也具有承上啟下的地位，因而適合探究式教學(xué). 至于如何大作功夫，下面第二點(diǎn)會(huì)有詳細(xì)闡述.

其二，少占多讓，少扶多放. 這是數(shù)學(xué)探究的核心原則，意思是說(shuō)在數(shù)學(xué)探究的過(guò)程中教師要充分放手，通過(guò)讓與放來(lái)實(shí)現(xiàn)學(xué)生的自主探究. 研究表明，這是一項(xiàng)對(duì)教學(xué)習(xí)慣極具挑戰(zhàn)性的工作，因?yàn)閭鹘y(tǒng)講授式教學(xué)強(qiáng)調(diào)的恰恰是占的基礎(chǔ)上的扶（講授甚至是灌輸），而要改變這一習(xí)慣，最迫切需要的其實(shí)不是教師內(nèi)心的自我強(qiáng)制，而是探究式教學(xué)理念的意識(shí)驅(qū)動(dòng).

其三，絕對(duì)主動(dòng)，相對(duì)自主. 數(shù)學(xué)探究與其說(shuō)是一種形式，不如說(shuō)是一種指向思維培養(yǎng)的實(shí)質(zhì). 在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生的主體地位必須堅(jiān)決得到保證，這也是“絕對(duì)主動(dòng)”的含義. 至于相對(duì)自主，強(qiáng)調(diào)的是學(xué)生探究自主性的適當(dāng)發(fā)揮. 這似乎是一種理念上的后退，但近年來(lái)的實(shí)踐卻表明，真正有效的數(shù)學(xué)探究，不是讓學(xué)生去進(jìn)行一些膚淺的熱鬧行為，而應(yīng)當(dāng)是緊扣數(shù)學(xué)知識(shí)構(gòu)建與問(wèn)題解決的思維參與. “正弦定理”中需要的是定理本身的證明與運(yùn)用，只要學(xué)生的思維能夠鎖定在這兩點(diǎn)之上，那數(shù)學(xué)探究才是有效的，其他的延伸基本上都是不必要的，因此探究中的自主必須是相對(duì)的.

筆者以為，真正理解了這二十四字的含義，就可以為數(shù)學(xué)探究提供一個(gè)有效的保障.

基于學(xué)生需要的數(shù)學(xué)探究

用“精立內(nèi)容，大作功夫；少占多讓，少扶多放；絕對(duì)主動(dòng)，相對(duì)自主”作為高中數(shù)學(xué)探究的指導(dǎo)性原則，實(shí)際上是將探究的重心真正放到了學(xué)生身上，也就是說(shuō)只有真正基于學(xué)生需要進(jìn)行的探究，才會(huì)是真實(shí)有效的探究. 下面就以“正弦定理”一課的探究式教學(xué)為例，來(lái)做一個(gè)說(shuō)明.

蘇教版教材中對(duì)于“正弦定理”的教學(xué)確定了這樣的教學(xué)目標(biāo)：從知識(shí)與技能的角度來(lái)看，要求學(xué)生能夠通過(guò)對(duì)任意三角形的邊與角的探究，掌握正弦定理的探究過(guò)程（證明方法）與定理本身的內(nèi)容，并能夠以之解決相關(guān)問(wèn)題；從過(guò)程與方法的角度來(lái)看，其要求學(xué)生在探究過(guò)程中經(jīng)由從特殊到一般的思路，逐步構(gòu)建出正弦定理；從情感態(tài)度與價(jià)值觀的角度來(lái)看，其要求學(xué)生在探究的過(guò)程中認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)探究的魅力，體會(huì)不同數(shù)學(xué)知識(shí)體系（三角函數(shù)、向量等）之間的聯(lián)系與辯證關(guān)系.

基于這樣的教學(xué)目標(biāo)，筆者對(duì)本課的教學(xué)進(jìn)行了探究式設(shè)計(jì)，下面分步說(shuō)明.

第一步：創(chuàng)設(shè)探究情境. 經(jīng)驗(yàn)表明，正弦定理的探究過(guò)程最好以學(xué)生熟悉的數(shù)學(xué)對(duì)象作為加工對(duì)象，這樣探究的大門可以迅速打開，且可以面向全體讓全部學(xué)生迅速準(zhǔn)確判斷需要進(jìn)行的探究任務(wù). 筆者的設(shè)計(jì)是這樣的：給出一個(gè)任意三角形ABC，并固定其中的一條邊如BC及任意一個(gè)鄰角∠B，使邊AC繞著頂點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)，提出問(wèn)題：邊AB與其對(duì)角∠C之間存在著什么樣的量的關(guān)系？

第二步：學(xué)生自主猜想. 根據(jù)探究教學(xué)中學(xué)生的表現(xiàn)可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生一般可以發(fā)現(xiàn)兩者之間的定性關(guān)系，而難以發(fā)現(xiàn)定量關(guān)系. 這個(gè)時(shí)候教師可以進(jìn)行一定的引導(dǎo)，即基于學(xué)生的已有知識(shí)，先讓學(xué)生假設(shè)給出的三角形是直角三角形（∠C為直角），則可得出==的關(guān)系. 這樣的基礎(chǔ)性理解是否可以推向任意三角形呢？實(shí)踐表明，學(xué)生此時(shí)的認(rèn)識(shí)一般來(lái)說(shuō)是對(duì)半的：即認(rèn)為可以與不確定（不可以）的學(xué)生一般來(lái)說(shuō)各占一半.

第三步：實(shí)施數(shù)學(xué)探究. 數(shù)學(xué)探究的過(guò)程一般可以分為兩步，即將直角三角形轉(zhuǎn)換為銳角三角形和鈍角三角形，并分別加以證明. 證明方法一般是：作高證明，同行們相對(duì)熟悉，此不贅述. 需要在探究中重視的是，對(duì)于最終正弦定理的得出，除了作高證明的方法之外，是否存在其他的證明方法. 這種發(fā)散性思維，是正弦定理探究的重要關(guān)注點(diǎn)，也就是說(shuō)正弦定理的證明不只是為了得到最終的結(jié)論，而是為了豐富探究的過(guò)程，充實(shí)學(xué)生的思維過(guò)程. 在這樣的要求之下，本課的探究會(huì)更加深入，而在此過(guò)程中教師可以做進(jìn)一步的引導(dǎo)，比如說(shuō)可以利用三角形的面積計(jì)算來(lái)證明，即S△ABC=absinC的應(yīng)用；也可以讓學(xué)生利用向量法來(lái)證明（拓展）.

第四步：反思探究過(guò)程. 這是數(shù)學(xué)探究中非常重要也很容易被忽視的一個(gè)環(huán)節(jié)，在筆者看來(lái)，反思探究過(guò)程最能提高學(xué)生的探究質(zhì)量，最能將學(xué)生內(nèi)隱的探究認(rèn)識(shí)顯性化. 在正弦定理的探究反思過(guò)程中，教師應(yīng)當(dāng)著力這樣的幾個(gè)問(wèn)題的回答：正弦定理的理解有沒(méi)有困難？正弦定理是怎樣被發(fā)現(xiàn)的？如果不是老師提出的問(wèn)題，自己有沒(méi)有可能發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律？正弦定理的不同證明方法怎樣才有可能自主發(fā)現(xiàn)？這幾個(gè)問(wèn)題分別指向正弦定理探究難易程度本身，以及正弦定理被發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，筆者以為，既然是一個(gè)探究式的教學(xué)過(guò)程，那就需要關(guān)注探究問(wèn)題的由來(lái)以及證明方法這兩個(gè)核心，前者著重于培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的意識(shí)，后者指向探究思路的確定，這些都有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)探究品質(zhì)，也與學(xué)生內(nèi)在的數(shù)學(xué)探究需要密切相關(guān).

“生需”視角下高中數(shù)學(xué)教學(xué)

將數(shù)學(xué)探究從純粹技術(shù)的需要，轉(zhuǎn)向?qū)W生需要的視角，是一種以生為本的切實(shí)體現(xiàn).“生需”作為一種教學(xué)視角，在高中數(shù)學(xué)探究的過(guò)程中究竟能起多大的作用，事實(shí)上可以從正弦定理的探究中窺得一斑.

在實(shí)際教學(xué)中，當(dāng)在情境中提出問(wèn)題之后，學(xué)生會(huì)有什么樣的直覺反應(yīng)？這是筆者研究的第一點(diǎn)，事實(shí)證明當(dāng)教師以特殊的直角三角形作為引導(dǎo)時(shí)，學(xué)生還是有些意外的，因?yàn)榇藭r(shí)他們意識(shí)不到面臨的問(wèn)題與直角三角形之間存在什么直接的聯(lián)系，而在探究反思過(guò)程中明確了這個(gè)問(wèn)題時(shí)，學(xué)生就已經(jīng)能夠發(fā)現(xiàn)基于直角三角形去研究并發(fā)展思考，其實(shí)就是一種從特殊到一般的探究思路；又如在探究中深究有多少種證明方法時(shí)，學(xué)生的思維也就沒(méi)有集中在作高證明這一種思路上，而是從已經(jīng)得出的正弦定理本身去研究，進(jìn)而就有學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)其與三角形面積公式存在一定的聯(lián)系；而事實(shí)上也有學(xué)生提出問(wèn)題：怎樣才能在沒(méi)有教師提醒的情況下自己想到證明方法呢？這樣的問(wèn)題，實(shí)際上就可以在探究反思中給予回答.

總之，高中數(shù)學(xué)探究只有基于學(xué)生視角，才能從學(xué)生的已有認(rèn)知出發(fā)，從而構(gòu)建出適合學(xué)生思維需要的探究途徑，而教師的引導(dǎo)作用發(fā)揮，則在于通過(guò)恰當(dāng)?shù)膯?wèn)題與教學(xué)環(huán)節(jié)，提升學(xué)生的探究品質(zhì).