宋丹丹，王晶囡，楊光旭，李佳思，楊嘉欣

（哈爾濱理工大學(xué) 應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150080）

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基于數(shù)值積分的傳染病SIRS模型參數(shù)估計(jì)

宋丹丹，王晶囡，楊光旭，李佳思，楊嘉欣

（哈爾濱理工大學(xué) 應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150080）

摘要：針對(duì)具有免疫的傳染病SIRS模型，利用三次Hermite插值函數(shù)及數(shù)值積分公式，基于患病的各個(gè)種群人數(shù)估計(jì)值的誤差最小原則，將參數(shù)估計(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為非約束優(yōu)化問(wèn)題.將數(shù)據(jù)帶入后可得關(guān)于模型參數(shù)的多項(xiàng)式，為求得該式最小值，將其分別對(duì)各個(gè)參數(shù)進(jìn)行微分，得到關(guān)于模型參數(shù)的非線性方程組.使用最速下降法獲得較為合理與精確的初值，在該初值的基礎(chǔ)上利用牛頓法對(duì)非線性方程組進(jìn)行求解，得到了該模型的高精度參數(shù)估計(jì)值.并對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行數(shù)值仿真，數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)表明，所給出的參數(shù)估計(jì)方法能夠較為精確地估計(jì)出相應(yīng)參數(shù)值.

關(guān)鍵詞：SIRS模型；數(shù)值積分；牛頓法；數(shù)值仿真；參數(shù)估計(jì)

對(duì)于各類(lèi)新型突發(fā)傳染病，人類(lèi)對(duì)它的防治還處于初級(jí)階段，如何有效地從宏觀上了解和掌握這些流行病的傳播規(guī)律，控制傳染病的蔓延就顯得尤為重要［1-8］.本文研究現(xiàn)實(shí)復(fù)雜情形下（包含非線性傳染率，有隔離措施，群外個(gè)體遷入，生育與死亡以及疾病可以水平或者垂直傳播等）SIRS傳染病模型的參數(shù)估計(jì)問(wèn)題.采用三次Hermite插值函數(shù)，得到具有五階精度的數(shù)值積分公式，利用該公式對(duì)SIRS傳染病模型進(jìn)行離散化，將參數(shù)估計(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)約束的優(yōu)化問(wèn)題，使用Matlab軟件進(jìn)行操作，最終得到估計(jì)誤差最小的參數(shù)估計(jì)值.

1　SIRS傳染病模型

在文獻(xiàn)［1］的基礎(chǔ)上，本文考慮了感染者具有免疫作用并對(duì)該文獻(xiàn)中傳染病模型進(jìn)行適當(dāng)刪減，建立傳染病模型其中：S= S（t），I= I（t），R= R（t）分別表示易感個(gè)體、染病個(gè)體（又分為未被隔離染病個(gè)體I1和隔離染病個(gè)體I2，即I= I1+ I2）和康復(fù)個(gè)體的數(shù)量；ε表示隔離率；β（N）表示傳染病通過(guò)有效接觸進(jìn)行傳播的傳播系數(shù)；a表示接種比例；As表示易感個(gè)體的輸入率；b表示自然生育率；d表示自然死亡率；d表示染病個(gè)體的死亡率；γ表示治愈率.初始條件為S（ t0）= S0，I1（ t0）= I10，I2（ t0）= I20，R（t0）= R0.As，a，b，c，d，β（N），ε，γ為待求參數(shù).

2　三次Hermite插值多項(xiàng)式與數(shù)值積分

一般地，求三次Hermite插值函數(shù)要求給定x0，x1和相應(yīng)的函數(shù)值F（x0），F(xiàn)（x1）以及微商值F'（x0），F(xiàn)'（x1） .

其中：ξ∈［x0，x1］.

3　SIRS傳染病模型的參數(shù)估計(jì)

方程（1）為非線性微分方程組，很難求出其解析解，本文采用數(shù)值方法進(jìn)行參數(shù)估算.對(duì)于S（t），I1（t），I2（t），R（t）的一組測(cè)量數(shù)據(jù)S=｛S（ti）｝，I1=｛ I1（ti）｝，I2=｛ I2（ti）｝，R=｛ R（ ti）｝（i =1，2，…，n），令則參數(shù)估計(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)約束非線性?xún)?yōu)化問(wèn)題，求得f的最小值minf即為目標(biāo)函數(shù).其中：S，I1，I2， R為觀測(cè)值；為相應(yīng)的估計(jì)值；表示泛函中的2-范數(shù)的平方.為得到函數(shù)（3）的具體表達(dá)式，利用數(shù)值積分公式可得

其中：A，B，C，D分別為式（4）～（7）所表示的估計(jì)值.

將數(shù)據(jù)代入式（8）中即可得到關(guān)于8個(gè)參數(shù)的多項(xiàng)式，記為f（a，b，d，d，As，ε，β（N），γ），為求得f（ a，b，d，d， As，ε，β（N），γ）的最小值，將它分別對(duì)8個(gè)參數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，可得8個(gè)非線性方程所組成的非線性方程組，記為

采用牛頓法求解非線性方程組（9）.牛頓法求解非線性方程組就是將非線性問(wèn)題線性化，為減少計(jì)算次數(shù)和得到較為精確的結(jié)果，選取合理初值就顯得尤為重要，這里采用最速下降法選取合理初值，記為

4　數(shù)值實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

以2004—2013年江蘇省相關(guān)麻風(fēng)病數(shù)據(jù)（數(shù)據(jù)來(lái)源于公共衛(wèi)生科學(xué)數(shù)據(jù)中心，相關(guān)網(wǎng)站為http：//www.phsciencedata.cn/）為例，對(duì)本文所建模型的未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，時(shí)間區(qū)間為［0，9］，采樣步長(zhǎng)為Δt = 1 .利用軟件得到的參數(shù)計(jì)算結(jié)果為a=0.31，b =0.87，d =0.08，ε=0.23，γ=0.93，β（N）=0.65，As=0.26，d =0.05.為驗(yàn)證本文方法的有效性與精確性，將參數(shù)估計(jì)值代入模型（1）中，采用Runge-Kutta法求得其數(shù)值并進(jìn)行數(shù)據(jù)仿真，得到I1（t），I2（t），R（t）的擬合曲線（見(jiàn)圖1）.由圖1可以看出，該方法所得計(jì)算結(jié)果與實(shí)際觀測(cè)數(shù)據(jù)吻合程度相對(duì)較高.

圖1 I1（t），I2（t），R（t）仿真結(jié)果

由于查找的數(shù)據(jù)十分有限且時(shí)間跨度較大，部分缺失值的填充參入過(guò)多主觀因素，使得數(shù)據(jù)擬合效果與預(yù)想有一定的偏差，對(duì)本文計(jì)算方法的精確性的驗(yàn)證產(chǎn)生了影響，但并不能否認(rèn)該方法的正確性與實(shí)用性.若有相對(duì)較為精確的數(shù)據(jù)，本文計(jì)算方法將會(huì)得到較好的驗(yàn)證.

5　結(jié)論

對(duì)于SIRS傳染病模型的參數(shù)估計(jì)問(wèn)題，本文運(yùn)用了基于數(shù)值算法的參數(shù)估計(jì)，首先結(jié)合三次Hermite插值多項(xiàng)式得到一個(gè)高精度的數(shù)值積分公式，利用該公式對(duì)傳染病模型進(jìn)行離散化，進(jìn)而將參數(shù)估計(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題，將數(shù)據(jù)代入后得到關(guān)于各個(gè)參數(shù)的多項(xiàng)式.為求得該式的最小值，將其分別對(duì)各個(gè)參數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，進(jìn)而得到關(guān)于各個(gè)參數(shù)的非線性方程組，利用最速下降法取得參數(shù)的合理初始值，最后利用牛頓法求得各個(gè)參數(shù)值.并針對(duì)江蘇省患麻風(fēng)病情況進(jìn)行了仿真對(duì)比，仿真結(jié)果表明，該算法所得結(jié)果與實(shí)際數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果具有較好的擬合度.因此，本文的參數(shù)估計(jì)算法在估計(jì)類(lèi)似傳染病模型參數(shù)上是可行和可信的.

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Parameter estimation of the SIRS infectious disease model based on numerical integration

SONG Dan-dan，WANG Jing-nan，YANG Guang-xu，LI Jia-si，YANG Jia-xin
（School of Applied Science，Harbin University of Science and Technology，Harbin 150080，China）

Abstract：The third-order Hermite interpolation function and numerical integral formula are applied to an SIRS infectious disease model.Based on the principle of minimum error， the parameter estimation problem in the model is transformed to the unconstrained optimization problem and a polynomial can be obtained after the data is substituted into the formula.In order to get the minimum value of the polynomial， the partial derivatives of the polynomial with respect to each parameter are obtained after which a system of nonlinear equations related to the model is obtained. The steepest descent method is used to get a set of accurate and reasonable initial values，based on which Newton method is used to solve the nonlinear equations and then the specific parameter values are obtained.Finally，the equilibriums of SIRS model and the effectiveness of general parameter estimation are validated by numerical simulations.

Key words：SIRS model；numerical integration；Newton method；numerical simulations；parameter estimation

中圖分類(lèi)號(hào)：O29

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

doi：10.3969/j.issn.1007-9831.2016.05.004

文章編號(hào)：1007-9831（2016）05-0010-05

收稿日期：2016-04-15

基金項(xiàng)目：哈爾濱理工大學(xué)大學(xué)生創(chuàng)新項(xiàng)目（201512）；哈爾濱理工大學(xué)教學(xué)改革項(xiàng)目（320150023）

作者簡(jiǎn)介：宋丹丹（1991-），女，黑龍江齊齊哈爾人，在讀本科生.

通信作者；王晶囡（1978-），女，山東平度人，副教授，博士，從事微分方程研究.E-mail：wangjingnan@hrbust.edu.cn