劉文紅　李同錄②　李　萍

條形荷載下不排水土坡破壞模式判定及極限承載力估算*

劉文紅①李同錄①②李萍①

( ①長安大學(xué)地質(zhì)工程與測繪學(xué)院西安710054)

( ②中國地質(zhì)調(diào)查局西安地質(zhì)調(diào)查中心國土資源部黃土地質(zhì)災(zāi)害重點(diǎn)試驗(yàn)室西安710054)

摘要為了確定邊坡放置地基的極限承載力，采用彈-理想塑性有限元，分析了不排水土坡(φu=0)的坡肩上放置條形基礎(chǔ)的地基極限承載力。結(jié)果表明，不排水土坡地基極限承載力仍可沿用Terzaghi水平地基極限承載力計(jì)算公式qu=cuNc。不考慮重度條件下，土坡地基的破壞模式類似于水平地基破壞模式，承載力系數(shù)Nc與極限分析法計(jì)算的結(jié)果一致； 考慮重度條件下，可用土坡實(shí)際狀態(tài)的Taylor數(shù)與其極限狀態(tài)的Taylor數(shù)的差值ΔN作為判別指標(biāo)，當(dāng)該值較小時(shí)將發(fā)生邊坡破壞模式，較大時(shí)發(fā)生地基破壞模式，找出了兩種破壞模式的ΔN分界點(diǎn)，確定了Nc與ΔN的關(guān)系，建立起坡肩作用條形荷載下不排水土坡極限承載力計(jì)算公式。

關(guān)鍵詞邊坡地基極限承載力破壞模式有限元

0引言

圖1　地基與邊坡破壞模式Fig. 1　Foundation failure mode and slope failure modea.地基破壞模式(陳希哲， 1982)； b.邊坡破壞模式； c.地基邊坡多種破壞模式

隨著城市化腳步的加快，建筑越來越密集，有些基坑不得不緊鄰建筑開挖，另外在一些多山的城市，建筑物不得不修建在邊坡上，邊坡地基極限承載力的估計(jì)成為一個(gè)必須面對的課題。但到目前為止，該問題還沒有得到妥善解決。主要面臨的問題是當(dāng)邊坡上放置地基后，其破壞模式變得較為復(fù)雜。根據(jù)目前的研究結(jié)果，水平地基的破壞模式假定為圖1a的滑移線較為合適(陳希哲， 1982)，該破壞線由3部分組成，即圖1a中的直線段ab、對數(shù)螺旋線段bc和直線段ce； 而均勻土質(zhì)邊坡的破壞模式假定為圓弧滑動(dòng)面或?qū)?shù)螺旋線較為合適(Morgenstern et al.，1960)，如圖1b； 在邊坡上放置地基后，邊坡自身的穩(wěn)定性和建筑荷載導(dǎo)致的地基穩(wěn)定性將成為一個(gè)耦合體系，其整體破壞模式有可能表現(xiàn)為地基破壞模式，也有可能表現(xiàn)為邊坡破壞模式，如圖1c所示。Meyerhof(1957)研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)坡頂有荷載施加時(shí)，坡高較低則易發(fā)生地基破壞模式，坡高較高則易發(fā)生整體邊坡失效。趙杰(2007)、Georgiadis (2010a)通過數(shù)值計(jì)算也驗(yàn)證了臨坡地基在不同的條件下可能出現(xiàn)不同的失穩(wěn)模式。采用極限平衡法和極限分析法進(jìn)行極限承載力計(jì)算時(shí)，必須事先假定滑移面的形狀，才能進(jìn)行理論推導(dǎo)和最危險(xiǎn)滑面搜索。針對邊坡上加載地基問題，較多研究者沿用了水平地基的分析思路，將其假定為地基破壞模式(Kusakabe et al.，1981； Saran et al.， 1989； 酆慶增， 1999； 王紅雨等， 2005， 2006； 尉學(xué)勇等， 2010； 趙煉恒等， 2010)，即破壞線假定為直線、對數(shù)螺線和直線的三段組合，計(jì)算方法多采用極限分析法。另有研究者將其假定為邊坡破壞模式(Narita et al.，1990)，將破壞面假定為圓弧面。不論假定為哪一種模式，得出的結(jié)果總是不能代表全部的可能性。有限元法不需要提前假定滑面，也不需要最危險(xiǎn)滑面搜索，根據(jù)位移場，能反演出較真實(shí)的最危險(xiǎn)滑面位置和形態(tài)，因此嘗試采用有限元法進(jìn)行該問題的分析越來越受到重視(Griffiths，1999； 宋二祥等， 2001； 趙少飛等， 2004； 王紅雨等， 2007； 陳福全等， 2008； Georgiadis， 2010b)。但目前還較少有研究者給出兩種模式明確的判別條件。

本文采用彈-理想塑性有限元法，模擬了不排水土坡(φu=0)的坡肩上放置條形基礎(chǔ)的極限承載力，采用邊坡實(shí)際狀態(tài)的Taylor穩(wěn)定數(shù)與其極限狀態(tài)的Taylor穩(wěn)定數(shù)的差值ΔN作為判別指標(biāo)，分析邊坡地基不同破壞模式的判別條件，并進(jìn)一步給出基于有限元分析的邊坡地基極限承載力的計(jì)算公式。

1模型建立

為了對邊坡與地基破壞模式有一個(gè)清晰的認(rèn)識(shí)，本文將條件簡化進(jìn)行分析。模型及參數(shù)如圖2 所示，坡頂水平，基礎(chǔ)置于坡頂?shù)钠录绮课?，不考慮基礎(chǔ)埋深，即圖1c中的參數(shù)λ=0，埋深D=0。坡體為均質(zhì)土坡，只考慮不排水工況，因此強(qiáng)度僅有黏聚力cu，內(nèi)摩擦角φu=0。采用彈-理想塑性模型，剪脹角ψ按0考慮。彈性模量E全部取1×106kPa，泊松比μ取0.3。坡角β選用了15°、30°、45°、60°、75°和90°進(jìn)行分析，基礎(chǔ)寬度B與坡高H的比值選用了0.2、0.4、0.6、0.8和1.0進(jìn)行分析。極限荷載qu的確定采用了趙杰等(2007)推薦的方法，即改變坡頂?shù)暮奢d，按強(qiáng)度折減法計(jì)算使邊坡的穩(wěn)定系數(shù)Fs=1.0，這時(shí)坡頂?shù)暮奢d為此邊坡地基體系的極限承載力qu。

圖2　模型及參數(shù)Fig. 2　Model and parameters

2不考慮重度條件

Terzaghi的水平地基極限承載力公式為：

其中，Nc=cotφ[tan2(45°+φ/2)eπtanφ- 1]

Nγ=2tanφ[tan2(45°+φ/2)eπtanφ+1]

Nq=tan2(45°+φ/2)eπtanφ

對于不排水地基，且基礎(chǔ)置于地面，僅有黏聚力cu，內(nèi)摩擦角φu=0°，Nγ=0，Terzaghi公式簡化為式(1)表示(Georgiadis， 2010a)。其中承載力系數(shù)Nc有理論的恒定值，為5.14。

qu=cuNc

(1)

當(dāng)建筑地基附近存在土坡時(shí)，陳惠發(fā)(1975)采用極限分析法證明對于無重度土，式(1)的承載力系數(shù)Nc可獲得精確解如式(2)。

(2)

式(2)中，β為坡角，采用弧度，后續(xù)所有公式涉及到角度的都采用弧度。

圖3為相同條件下彈塑性有限元獲得的Nc與式(2)進(jìn)行對比，發(fā)現(xiàn)有限元解與極限分析解對于坡度β>15°的邊坡，具有極好的一致性。這是因?yàn)闊o重度土坡不會(huì)發(fā)生邊坡破壞模式，坡頂施加荷載后，有限元模擬的破壞模式與陳惠發(fā)(1975)極限分析假定的地基破壞模式一致，必將獲得一致的結(jié)果。有限元在模擬接近水平的邊坡時(shí)，給定的邊界尺寸對分析結(jié)果有極大的影響，因此較理論解略偏大。

圖3　有限元結(jié)果與式(2)的比較Fig. 3　Comparison of FE’s results and equation(2)

3考慮重度條件

不僅坡頂荷載導(dǎo)致土坡地基失效，重力也促使土坡地基失效，這與水平地基有本質(zhì)上的不同，因此對于土坡上放置基礎(chǔ)，必須考慮重力的影響，才具有實(shí)際意義。

3.1極限承載力qu的公式表示

在內(nèi)摩擦角φu=0°的前提下，土坡坡度β一定，土體重度γ一定，Georgiadis(2010b)發(fā)現(xiàn)土坡地基極限承載力qu與黏聚力cu假定仍然具有線性關(guān)系，仍然可以沿用Terzaghi的式(1)進(jìn)行qu的估算。因此問題轉(zhuǎn)化為如何確定承載力系數(shù)Nc。Chen等(1991)給出該問題的經(jīng)驗(yàn)公式如式(3)所示。圖4 為有限元對式(3)的驗(yàn)證。發(fā)現(xiàn)兩者在趨勢上具有一致性，說明重力使承載力進(jìn)一步降低，坡度越陡，承載力折損得越大，在無重度邊坡地基承載力系數(shù)的基礎(chǔ)上，需要再降低一部分承載力。但具體數(shù)值上兩種方法計(jì)算所得結(jié)果相差較大。

(3)

圖4　有限元結(jié)果與式(3)的比較Fig. 4　Comparison of FE’s results and equation(3)

阮懷寧(1996)及李亮等(2001)研究發(fā)現(xiàn)，不排水土坡極限承載力qu與坡角β之間有近似線性關(guān)系的特征，本文依據(jù)式(3)的構(gòu)造方法及有限元模擬結(jié)果，給出式(4)的經(jīng)驗(yàn)公式。

(4)

與式(3)相比，式(4)除了將Nc～β的關(guān)系線性化，還引進(jìn)了一個(gè)無量綱參數(shù)M，如何確定M變成解決該問題的關(guān)鍵。

3.2參數(shù)M的確定

將式(4)代入式(1)并進(jìn)行整理，則M可用式(5)表示。

(5)

通過有限元計(jì)算極限承載力qu，再通過式(5)計(jì)算M的值。參數(shù)M與土坡不加荷載條件下自身的穩(wěn)定性有極大的關(guān)系，Azzouz et al.(1983)發(fā)現(xiàn)可用土坡實(shí)際狀態(tài)的Taylor穩(wěn)定數(shù)(1937)與其極限狀態(tài)的Taylor穩(wěn)定數(shù)的差值ΔN作為判別指標(biāo)，具體表達(dá)如式(6)所示。

(6)

式(6)中，NT是坡頂無荷載且土坡穩(wěn)定系數(shù)Fs=1.0時(shí)的穩(wěn)定數(shù)，其值由圖5 中的有限元計(jì)算結(jié)果確定；N由式(7)計(jì)算，ΔN越大，代表土坡自身越穩(wěn)定。圖5 中同時(shí)提供了Taylor(1937)采用摩擦圓法計(jì)算所得的穩(wěn)定數(shù)，對坡度β小于53°的土坡，Taylor的理論解滑面為無窮遠(yuǎn)，穩(wěn)定數(shù)恒定為0.181，而有限元模型的土坡底部不可能設(shè)置為無窮遠(yuǎn)，本文給出的約束深度為3倍坡高。有限元計(jì)算NT的方法是在坡頂不加荷載條件下，調(diào)整cu的值，采用強(qiáng)度折減法，使土坡的穩(wěn)定系數(shù)Fs=1.0，這時(shí)土坡體系的參數(shù)采用式(7)，計(jì)算的N值即為NT值。

(7)

圖5　不排水土坡Taylor穩(wěn)定數(shù)(Taylor法結(jié)果引自Taylor(1937))Fig. 5　Taylor’s stability number for undrained slopes(Taylor’s results from Taylor(1937))

圖6　ΔN-M關(guān)系Fig. 6　ΔN-M relation

對應(yīng)于不同的坡角β與無量綱比值B/H的組合，可以得到M和ΔN的關(guān)系散點(diǎn)圖，圖6a為β=45°，B/H=0.4的ΔN-M散點(diǎn)圖。觀察圖6a發(fā)現(xiàn)，散點(diǎn)大致由兩部分構(gòu)成：左半部分隨著ΔN的增大M值非線性降低，到達(dá)ΔN的關(guān)鍵點(diǎn)ΔNc后，隨著ΔN的繼續(xù)增大，M值可視為基本不變。ΔN值越低，意味著土坡自身越接近極限狀態(tài)，M值越大，極限承載力qu則越低。當(dāng)ΔN低至0時(shí)，土坡自身進(jìn)入極限狀態(tài)，極限承載力qu=0，M達(dá)到最大值Mmax。當(dāng)ΔN增大到關(guān)鍵點(diǎn)ΔNc，M值降低至最小值Mmin，土坡極限承載力qu達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，隨著ΔN的繼續(xù)增大，土坡上的地基極限承載力將不再降低，保持一個(gè)穩(wěn)定值。對圖6a中0-ΔNc段的ΔN-M有限元散點(diǎn)進(jìn)行回歸，采用式(8)的表達(dá)較為貼近； 對ΔN≥ΔNc段進(jìn)行回歸，采用式(9)較為合適。按式(8)和(9)計(jì)算的結(jié)果也繪制于圖6a中。

(8)

(9)

對比有限元變形圖發(fā)現(xiàn)，當(dāng)ΔN<ΔNc，破壞模式多為土坡破壞模式，即滑動(dòng)為坡體整體滑移； 當(dāng)ΔN>ΔNc，破壞模式為地基破壞模式，即滑動(dòng)為坡體上部滑移； 在ΔN接近ΔNc的附近，破壞模式為土坡和地基的混合模式，滑面較為混亂，坡腳有剪出跡象，又有上部地基滑移跡象，似有兩個(gè)滑面共同出現(xiàn)的可能。將有限元變形圖與各模式相對應(yīng)，繪于圖6b，更能直觀地顯示出ΔN對土坡上地基承載力的影響。因此式(8)和式(9)中將ΔN作為變量估計(jì)M。下面分別討論兩個(gè)公式中ΔNc、Mmax、Mmin和參數(shù)A的確定方法。

3.3破壞模式判別指標(biāo)ΔNc的確定

圖6中ΔNc是兩段曲線的轉(zhuǎn)折點(diǎn)橫坐標(biāo)，為土坡破壞模式與地基破壞模式的轉(zhuǎn)變點(diǎn)。為了研究坡度β、基礎(chǔ)寬度B、坡高H、土體重度γ、黏聚力cu等指標(biāo)對ΔNc的影響，建立了510個(gè)有限元模型進(jìn)行模擬。具體方案是坡度β選用了15°、30°、45°、60°、75°和90°； 基礎(chǔ)寬度B與坡高H的比值選用了0.2、0.4、0.6、0.8和1.0，獲得30種組合。在每個(gè)β和B/H組合下，重度選用14.0kN·m-3、17.0kN·m-3和20.0kN·m-3，坡高H選用3.0m、5.0m和7.0m，賦予不同的cu值進(jìn)行cu/(γH)組合，保證ΔN從小到大有一個(gè)完整的序列。分別繪制每一個(gè)β和B/H組合下的M-ΔN關(guān)系散點(diǎn)圖，如圖6a所示。采用式(8)擬合有限元模擬數(shù)據(jù)點(diǎn)，求得30組β和B/H組合下相應(yīng)的30個(gè)ΔNc值。繪制β-ΔNc關(guān)系于圖7。結(jié)果發(fā)現(xiàn)一定的B/H下，ΔNc與β值可用線性關(guān)系表達(dá)。土坡坡度變陡，ΔNc增大；B/H增大，ΔNc增大。ΔNc增大的意義是土坡自身更為穩(wěn)定的條件下，才能發(fā)展為地基破壞模式。

圖7可確定不排水坡，基礎(chǔ)置于坡肩條件下破壞模式判別指標(biāo)ΔNc，即φ=0，圖1c中所示的λ=0條件，對于φ≠0或λ≠0條件，還需要進(jìn)一步的研究工作。

圖7　破壞模式判別指標(biāo)ΔNcFig. 7　The parameter ΔNc for the criteria of failure mode change

3.4系數(shù)A的確定

采用式(8)擬合有限元模擬數(shù)據(jù)點(diǎn)，求得30組β和B/H組合下相應(yīng)的30個(gè)ΔNc值的同時(shí)，也求得30個(gè)系數(shù)A。繪制ln(β)～ln(A)關(guān)系于圖8。發(fā)現(xiàn)兩者在相同的B/H下，同樣可用線性關(guān)系表達(dá)。將最小二乘回歸的線性方程一并標(biāo)于圖8?？梢婋S著坡度變陡，A值減??；B/H增大，A值也會(huì)減小。圖8 可作為系數(shù)A的確定依據(jù)。

圖8　系數(shù)A的確定Fig. 8　The definition of coefficient A

3.5Mmax與Mmin的確定

在圖6 中，Mmax是理論解，即當(dāng)ΔN=0時(shí)，M=Mmax，這時(shí)土坡本身就處于臨界狀態(tài)，坡頂稍有荷載作用就會(huì)發(fā)生破壞，因而極限承載力qu=0，則Nc=0。土坡穩(wěn)定數(shù)就等于圖5 中提供的穩(wěn)定數(shù)，由式(4)可得：

(10)

N=NT

(11)

由式(10)和式(11)整理，在已知β值與比值B/H時(shí)，可以通過式(12)求得Mmax。

(12)

圖6中，Mmin是由式(8)在ΔN=ΔNc時(shí)的M值。

4算例

一不排水土坡，已知坡角β=45°，坡高H=5m，黏聚力cu=30kPa，重度γ=18.5kN·m-2，內(nèi)摩擦角φ=0，坡肩放置一條形基礎(chǔ)，基礎(chǔ)寬度B=2m。求該土坡地基的極限承載力qu。

本文提供的方法具體求法如下：

NT=0.189，由圖5 確定；

ΔN=N-NT=0.324-0.189=0.135；

ΔNc=0.231，由圖7 確定；

ΔN<ΔNc，可判斷為邊坡破壞模式；

A=3.754，由圖8 確定；

Mmax=2.149，由式(12)確定；

M=0.768，由式(8)確定；

Nc=2.827，由式(4)確定；

qu=84.8kPa，由式(1)確定；

有限元直接計(jì)算結(jié)果為qu=89.3kPa。誤差僅有5.0%，這在巖土工程問題上是可以接受的。采用經(jīng)驗(yàn)公式替換復(fù)雜有限元計(jì)算，在工程中具有更實(shí)用的廣泛推廣價(jià)值。

5結(jié)論

采用彈塑性有限元對內(nèi)摩擦角為0的不排水土坡坡肩上放置條形基礎(chǔ)的土坡地基極限承載力進(jìn)行了系統(tǒng)分析，結(jié)果表明：

(1)有限元模擬結(jié)果和變形圖可直觀地顯示出兩種土坡地基破壞模式，即土坡破壞模式和地基破壞模式?？捎猛疗聦?shí)際狀態(tài)的Taylor穩(wěn)定數(shù)與其極限狀態(tài)的Taylor穩(wěn)定數(shù)的差值ΔN對土坡地基的破壞模式進(jìn)行判別。當(dāng)ΔN較小(土坡自身穩(wěn)定性低)時(shí)，將出現(xiàn)土坡破壞模式，當(dāng)ΔN較大(土坡自身穩(wěn)定性高)時(shí)，將出現(xiàn)地基破壞模式，找出了兩種模式轉(zhuǎn)換時(shí)對應(yīng)的ΔN值，該值可通過土坡坡度β和基礎(chǔ)寬度B與土坡高度H的比值(B/H)進(jìn)行確定。

(3)對于基礎(chǔ)不在坡肩的不排水坡和排水坡等復(fù)雜條件下的土坡地基破壞模式和極限承載力的確定，還需要進(jìn)一步的研究工作。

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NUMERICAL ANALYSIS FOR FAILURE MODE AND ULTIMATE BEARING CAPACITY OF STRIPING FOOTINGS ON CREST OF UNDRAINED SLOPES

LIU Wenhong①LI Tonglu①②LI Ping①

( ①School of Geological Engineering and Surveying，Chang'an University，Xi'an 710054)

( ②Key Laboratory for Geo-hazards in Loess Area of Ministry of Land and Resources，Xi'an Center of Geological Survey，China Geological Survey，Xi'an 710054)

AbstractThis paper estimates the ultimate bearing capacity of foundations on the slope crests. It uses the elasto-plastic finite element method(FEM).It simulates the striping footings on the crest of undrained slopes (φu=0). The results show that the ultimate bearing capacity can be expressed as qu=cuNc. When the unit weight of soil is ignored, Nc estimated by FEM is highly agreeable with that calculated by limit analysis. The failure mode is similar to the foundation on the horizontal terrain. When the unit weight of soil is taken into account, the coefficient Nc can be reduced more. The parameter ΔN is defined as the difference of the slope’s stability number defined by Taylor from the slope’s real state to the limit state. It can be used as determinant. The striping footing’s failure can develop into whole slope failure when the ΔN is smaller, as well as foundation failure when the ΔN is bigger. The critical value of ΔN for failure mode change is estimated. Then the Nc-ΔN relationship is constructed. The equation for the ultimate bearing capacity of striping footings on the crest of undrained slopes is built．

Key wordsSlope， Foundation， Ultimate bearing capacity, Failure mode， Finite element method

DOI:10.13544/j.cnki.jeg.2016.02.004

* 收稿日期：2015-06-11; 收到修改稿日期： 2015-08-28.

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金(No.41372329， 41272283)， 國家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃(973計(jì)劃)項(xiàng)目(No.2014CB744701)資助.

第一作者簡介：劉文紅(1979-)，女，博士生，主要從事地質(zhì)工程方面的研究工作. Email: 794288735@qq.com

中圖分類號：P642

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A