洪菲菲

“平均數(shù)”是“統(tǒng)計與概率”領(lǐng)域的教學內(nèi)容之一。日常生活中，平均數(shù)經(jīng)常由計算得到，因此，以往的教學忽略了其統(tǒng)計學意義，甚至將之納入了解決問題的范疇。換言之，學生會“算”平均數(shù)，卻不能從“平均數(shù)”入手進行數(shù)據(jù)分析，作出決策。其實，計算也好，分析也罷，兩者不可偏廢。尤其在先前“重計算輕分析”的錯誤傾向影響下，教師更應(yīng)當重視對其統(tǒng)計學意義的挖掘，從對平均數(shù)的分析中，培養(yǎng)學生的數(shù)據(jù)分析觀念。對平均數(shù)的認識，應(yīng)該經(jīng)歷從“線—面—體”的不斷充實、逐漸豐滿的過程。

一、 線——溝通聯(lián)系，建立概念

在概念建立之初，教師應(yīng)當引導學生理解“平均數(shù)”的真正內(nèi)涵。如果片面地側(cè)重于計算，學生就會產(chǎn)生平均數(shù)是一個“計算結(jié)果”的先入為主的認知，這對于學生在學習過程中建立數(shù)據(jù)分析觀念是不利的。

學生在日常生活中已經(jīng)積累了一些關(guān)于“平均數(shù)”的經(jīng)驗，例如，教師經(jīng)常告知學生每單元考試的班級平均分等等。因此，學生大都認為平均數(shù)是計算得來的，對其中“移多補少”過程的認識基本屬于空白。平均數(shù)就是將幾個數(shù)據(jù)進行“移多補少”之后所得到的“一樣多的那個數(shù)”，計算背后的實質(zhì)也是“移多補少”。因此，教學中應(yīng)當重點突出“移多補少”求平均數(shù)的過程，幫助學生建立平均數(shù)的概念；同時，溝通“先合后分”（即計算）與“移多補少”的聯(lián)系，從而幫助學生完善對平均數(shù)概念的理解。

在這部分教學中，教師應(yīng)當設(shè)計好生活情境，使學生在“找一組數(shù)據(jù)的代表”的過程中，感受到平均數(shù)表示一組數(shù)據(jù)“一般水平”的本質(zhì)意義。同時，在數(shù)據(jù)的設(shè)計上要花心思，使學生產(chǎn)生“移多補少”或者“先合后分”的需要。課伊始，教師可以設(shè)置人數(shù)不等的兩支球隊（男生隊和女生隊）進行“一分鐘投籃比賽”的情境。由于兩隊的人數(shù)不等，學生以往“算總數(shù)”的方法在這里并不適用。找兩隊各自的“最大值”作為數(shù)據(jù)代表進行比較不合適，找“最小值”亦然。在這種矛盾沖突中，學生產(chǎn)生了新的疑惑——“到底找哪個數(shù)來代表整支隊伍的一般水平呢？”教師在數(shù)據(jù)大小的設(shè)置上要巧花心思，力求使“移多補少”的思路水到渠成。例如，男生隊的三名隊員投籃數(shù)量分別為6個、5個和4個（且用象形圖進行顯示）。學生在尋找代表男生隊投籃一般水平的數(shù)時，容易想到“移多補少”，從而找到“5”這個平均數(shù)?！耙贫嘌a少”的思維過程，是學生對平均數(shù)的第一次親密接觸，在移補的過程中，他們對平均數(shù)的產(chǎn)生及其意義有了初步的理解。接著，教師可以設(shè)置另一組數(shù)據(jù)——四個小組投籃的個數(shù)分別為39個、24個、31個、50個，讓學生算一算平均每組投籃多少個。由于數(shù)據(jù)變大，且數(shù)據(jù)顯示方式由象形圖改為了條形圖，學生進行“移多補少”時產(chǎn)生了困難，由此自然產(chǎn)生了“先合后分”的計算想法。這里，計算不是舊有經(jīng)驗的重現(xiàn)，也不是教師的教授給予，而是學生自然生發(fā)的需要。學生在計算之后，教師應(yīng)當利用多媒體課件再現(xiàn)“39、24、31、50”這四個數(shù)據(jù)之間“移多補少”的過程（如圖1），溝通“移多補少”與“先合后分”之間的聯(lián)系，使學生感受到計算背后的實質(zhì)仍是“移多補少”，從而建立對“平均數(shù)”概念的正確認識。

二、 面——多維思考，深化理解

學生建立了平均數(shù)的概念，學會了求平均數(shù)的方法，這還只是對平均數(shù)的初步感知。要實現(xiàn)在教學中培養(yǎng)學生的數(shù)據(jù)分析觀念，還得引導學生從多角度對平均數(shù)進行探索，理解平均數(shù)的諸多特點。

平均數(shù)具有敏感性，容易受到一組數(shù)據(jù)中每個數(shù)據(jù)變化的影響；平均數(shù)總是介于一組數(shù)據(jù)的最大值和最小值之間；一組數(shù)據(jù)中每個數(shù)與平均數(shù)之間的離均差之和等于0……平均數(shù)的這些特點，不能通過說教的方式讓學生接受，而應(yīng)該引導學生在數(shù)據(jù)分析的過程中自然而然地體會和感悟。為此，本節(jié)課教學中，教師可以巧妙地設(shè)計“問題串”，引導學生在思考的過程中對平均數(shù)“抽絲剝繭”，深化對平均數(shù)的理解和認識。

男生隊和女生隊之前因為人數(shù)不等，所以以平均數(shù)為數(shù)據(jù)代表“一決勝負”。由于男生隊比女生隊少1人，教師可以設(shè)置男生隊要求“加1人”再比賽的要求。而多出的這一個人，正是引發(fā)學生進行深入思考的契機點。男生隊之前三個人的投籃個數(shù)分別是6個、4個和5個，四號隊員投籃的數(shù)量會對平均數(shù)產(chǎn)生影響嗎？這個問題具有比較大的拓展空間。教師可以引導學生思考如下幾個問題：

（1）如果四號隊員投籃個數(shù)是5個，男生隊的平均數(shù)會變嗎？為什么？

（2）如果四號隊員投籃個數(shù)是6個，男生隊的平均數(shù)會變嗎？變化大嗎？

（3）如果四號隊員投籃個數(shù)是9個或者13個，男生隊的平均數(shù)會變嗎？變化大嗎？

在這一系列問題的思考與討論中，學生會感受到：如果新增的數(shù)據(jù)與平均數(shù)相同，那么平均數(shù)不會發(fā)生變化；新增的數(shù)據(jù)與原平均數(shù)差距越大，平均數(shù)的變化也就越大（即平均數(shù)容易受到極端數(shù)據(jù)的干擾和影響）。

在討論“全班平均每個小組投籃多少個”（即求39、24、31、50的平均數(shù)）這一問題時，教師先不要急著讓學生找平均數(shù)，可以讓學生先估一估平均數(shù)大概是多少。教師可以繼續(xù)提問：“它們的平均數(shù)可能是24嗎？可能是50嗎？為什么？”在說理的過程中，學生對平均數(shù)介于最大值與最小值之間會有切身的體會。在找到平均數(shù)之后，教師可以引導學生觀察條形圖，找一找各個數(shù)據(jù)超過平均數(shù)的部分與不到平均數(shù)的部分之間有什么關(guān)系，從而發(fā)現(xiàn)各個數(shù)據(jù)與平均數(shù)的離均差之和等于0。

總之，教師要讓學生在觀察、思考、討論的過程中，對平均數(shù)的特點進行較為深入的剖析和認識。只有體會到平均數(shù)的這些本質(zhì)特點，才能感受到其統(tǒng)計學意義，理解其在數(shù)據(jù)分析及判斷決策等方面的作用。

三、 體——深入淺出，適度拓展

學生在學習了平均數(shù)的概念和求法之后，難免會產(chǎn)生一個疑問：“學習平均數(shù)有什么用？”如果學生的意識中，對平均數(shù)的價值只停留在作為判斷勝負的一個依據(jù)上，那么，學生數(shù)據(jù)分析觀念的建立會顯得蒼白無力。教師應(yīng)該設(shè)置富有生活氣息的情境，引導學生在實際生活情境中分析平均數(shù)，運用平均數(shù)進行判斷和決策，從而達到培養(yǎng)學生數(shù)據(jù)分析觀念的最終目的。

1.感受平均數(shù)的“虛擬性”

平均數(shù)并不是一組數(shù)據(jù)中的任何一個，它代表的是一組數(shù)據(jù)的整體水平。平均數(shù)的“虛擬性”對學生來說略顯抽象，教師應(yīng)當引導學生回歸生活，從實際生活中去體會和感悟。例如，學校籃球隊員的平均身高是160cm，籃球隊員明明是不是就一定比亮亮（158cm）高呢？通過類似問題的辨析，學生對平均數(shù)的“虛擬性”會有更深刻的體會，也更能體會到平均數(shù)的本質(zhì)意義。

2.感受樣本平均數(shù)的價值

生活中，我們經(jīng)常會從一組數(shù)據(jù)中取一些樣本來計算平均數(shù)，并用這個平均數(shù)來代表全體數(shù)據(jù)的整體水平，這是樣本平均數(shù)在生活中的廣泛應(yīng)用。在本節(jié)課教學中，可以設(shè)計一些相關(guān)的生活情境，使學生體會到抽樣計算平均數(shù)的實際價值。例如，通過計算四顆大小不一的橙子的平均重量，就可以大致推算出一箱橙子（30個）的總重量。通過這樣的練習，使學生體會到平均數(shù)在日常生活中的應(yīng)用價值。

3.感受加權(quán)平均數(shù)的意義

本節(jié)課，學生主要是要認識“算術(shù)平均數(shù)”，然而當一組數(shù)據(jù)中每個數(shù)據(jù)的權(quán)重發(fā)生變化時，平均數(shù)也會隨之發(fā)生微妙的變化。如何讓學生體會到其中權(quán)重的微妙變化，使之對平均數(shù)的認識更加豐滿而全面呢？我們對教材的處理既要深入，更要淺出。教學中，可以設(shè)置學生熟悉的購買糖果的情境。水果糖每千克9元，牛奶糖每千克15元，將1千克水果糖和1千克牛奶糖混合成什錦糖，這種什錦糖每千克多少元呢？解決這道題目，是對本節(jié)課知識的應(yīng)用。在此基礎(chǔ)上，教師可以引導學生進一步思考，如果想用10元錢購買1千克什錦糖，這1千克什錦糖里，哪種糖多、哪種糖少呢？如果用14元購買1千克什錦糖，里面的糖又是怎樣搭配的呢？在漸次深入思考的過程中，學生能感覺到數(shù)據(jù)的權(quán)重發(fā)生變化所導致的平均數(shù)的變化。這里，只輕輕地幫學生打破數(shù)據(jù)權(quán)重的平衡，而不去探究各個數(shù)據(jù)的權(quán)重到底是多少。其教學旨歸僅在于豐富對平均數(shù)的認識，而不對此做更深入的探索。

4.感受平均數(shù)的“離散性”

平均數(shù)作為一組數(shù)據(jù)的代表，能幫助我們對事件做出判斷和決策。相同的平均數(shù)，其背后各組數(shù)據(jù)的離散程度可能有所不同，因此在做決策判斷時，還得結(jié)合實際情況具體分析。這樣的數(shù)據(jù)分析過程，正是培養(yǎng)學生數(shù)據(jù)分析觀念的良好抓手。教學中，可以設(shè)置這樣的練習情境，兩名學生平均每分鐘跳繩110次，該選誰參加年段跳繩比賽呢？雖然兩名學生每分鐘跳繩的平均數(shù)相同，但他們5次的跳繩成績情況大不相同。一名學生成績穩(wěn)定在“110次”左右，離散程度較??；一名學生成績忽高忽低，離散程度較大。這時，教師引導學生思考兩個問題：如果全年段學生平均每分鐘跳繩106次，該選誰參賽？如果我們班的對手平均每分鐘跳繩120次，該選誰參賽？學生在思考問題的過程中，必須要根據(jù)實際情況對數(shù)據(jù)進行分析，從而做出決策。這樣的思考過程，既能讓學生感受到平均數(shù)背后數(shù)據(jù)的離散程度所帶來的影響，也有利于培養(yǎng)學生的數(shù)據(jù)分析觀念。