蔣 芮, 劉 華,?, 謝 梅, 魏玉梅, 趙仕鳳

(1.西北民族大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,甘肅蘭州730030;2.西北民族大學(xué)實(shí)驗(yàn)中心,甘肅蘭州730030)

具有HollingⅡ型功能反應(yīng)和Allee效應(yīng)的捕食系統(tǒng)模型

蔣 芮1, 劉 華1,?, 謝 梅1, 魏玉梅2, 趙仕鳳1

(1.西北民族大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,甘肅蘭州730030;2.西北民族大學(xué)實(shí)驗(yàn)中心,甘肅蘭州730030)

利用計(jì)算機(jī)模擬方法研究一類離散種群相互作用模型的動(dòng)態(tài)復(fù)雜性.通過理論推導(dǎo)建立食餌具有Allee效應(yīng)和HollingⅡ型功能反應(yīng)的自治捕食系統(tǒng)模型,用Matlab軟件模擬離散種群的生長(zhǎng)狀態(tài),探索研究參數(shù)的變化對(duì)種群大小的影響,闡釋Allee效應(yīng)及HollingⅡ型功能反應(yīng)在種群間相互作用模型中的重要性.研究結(jié)果表明：1)當(dāng)處理時(shí)間處于有效區(qū)間內(nèi)時(shí),處理時(shí)間越大種群的穩(wěn)定共存參數(shù)域越大;2)Allee效應(yīng)的引入使種群的動(dòng)態(tài)行為更為復(fù)雜,從而增加了捕食者種群的滅絕風(fēng)險(xiǎn);3)系統(tǒng)受強(qiáng)Allee效應(yīng)的影響,種群會(huì)出現(xiàn)提前分叉現(xiàn)象,如果繼續(xù)增加Allee效應(yīng)就會(huì)導(dǎo)致種群滅絕;4)強(qiáng)Allee效應(yīng)更容易使種群趨向滅絕.所得結(jié)論在豐富生態(tài)學(xué)理論的同時(shí),提出了保護(hù)生態(tài)學(xué)的重要依據(jù).

Allee效應(yīng);HollingⅡ型;混沌;計(jì)算機(jī)模擬

§1 引 言

1931年Allee在研究過程中發(fā)現(xiàn)群聚的生活狀態(tài)有利于種群的增長(zhǎng),但是密度太大又會(huì)抑制種群的生長(zhǎng)甚至?xí)驗(yàn)橘Y源爭(zhēng)奪而走向滅絕.對(duì)于每一個(gè)種群來說,必定存在著它獨(dú)立的最適合自身生長(zhǎng)繁殖的最佳密度,這就是Allee效應(yīng)[1-2].Allee效應(yīng)一直是生態(tài)學(xué)者研究的重要現(xiàn)象,它描述的是種群的功能效應(yīng)因種群密度低于某一閾值而出現(xiàn)紊亂所導(dǎo)致的交配功率下降,社會(huì)性功能異?；蛘呓凰ネ说仁狗N群出現(xiàn)負(fù)增長(zhǎng)的狀態(tài)[3-7],嚴(yán)重情況可能導(dǎo)致種群滅絕.生態(tài)學(xué)家對(duì)該效應(yīng)進(jìn)行了廣泛研究,討論提出了種群密度與個(gè)體生殖和幸存者的正相關(guān)關(guān)系.2011年Wan-xiong Wang等人對(duì)離散的捕食-食餌系統(tǒng)就Allee效應(yīng)進(jìn)行了研究,結(jié)果表明Allee效應(yīng)會(huì)影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性[8].__________

G.W.Harriso在1979年研究一類具有HollingⅡ型功能反應(yīng)的捕食者系統(tǒng)模型,利用穩(wěn)定性的理論得到其奇點(diǎn)的存在性與穩(wěn)定性[9-10].張娟,馬知恩在1996年研究一類具有HollingⅡ型功能反應(yīng)和兩種群均有密度制約的捕食系統(tǒng)模型,得到一個(gè)存在唯一穩(wěn)定極限環(huán)的充分條件.1997年樸仲鉉和薛春艷在食餌種群具有收獲率的模型中,討論了HollingⅡ型功能反應(yīng)下的系統(tǒng)生長(zhǎng)狀態(tài).2003年生物學(xué)家Turchin P根據(jù)實(shí)際情況建立并研究該模型平衡點(diǎn)的存在性,穩(wěn)定性和極限環(huán)不存在性等,作為理論研究的補(bǔ)充.對(duì)于HollingⅡ型功能反應(yīng)的研究主要用于討論的模型形式[11]如下：

本文以此為基礎(chǔ),為了更進(jìn)一步的討論一類離散種群的相互作用系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)行為,建立具有Allee效應(yīng)和HollingⅡ型功能反應(yīng)的自治捕食系統(tǒng)模型[11-13]：

§2 穩(wěn)定性分析

分析具有Allee效應(yīng)和HollingⅡ型功能反應(yīng)的捕食系統(tǒng)的非負(fù)平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性.

系統(tǒng)(2)具有兩個(gè)非負(fù)的平衡點(diǎn)：平衡點(diǎn)E0=(0,0)對(duì)應(yīng)兩種群全部滅絕,正平衡點(diǎn)E?=(H?,P?)對(duì)應(yīng)兩種群共存.

定理 對(duì)于系統(tǒng)(2)的兩個(gè)非負(fù)平衡點(diǎn),其局部穩(wěn)定性具有以下結(jié)論：

(1)當(dāng)c＞0時(shí),平衡點(diǎn)E0=(0,0)是穩(wěn)定的;

(2)當(dāng)滿足條件-1-C＜B＜1+C且C＜1時(shí),平衡點(diǎn)

證 為討論平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性,將模型寫成如下形式：

也就是：Q(λ)=λ2-Bλ+C=0.其中：B=G11+G12,C=G11G22-G21G12.

Q(λ)是一條拋物線,當(dāng)滿足如下條件時(shí),方程的根|λ|＜ 1,則平衡點(diǎn)穩(wěn)定：Q(-1)＞0且Q(+1)＜0且C＜1.解得正平衡點(diǎn)E?=(H?,P?)穩(wěn)定的條件是

§3 參數(shù)對(duì)模型動(dòng)態(tài)行為的影響

3.1 處理時(shí)間對(duì)模型的影響

在食餌-捕食者系統(tǒng)中,捕食者處理食餌的處理時(shí)間Th的取值不同,將會(huì)直接影響到食餌種群的數(shù)量,繼而影響捕食者搜尋效率的變化.故在實(shí)際的生態(tài)環(huán)境中需要就捕食者對(duì)食餌的處理時(shí)間進(jìn)行討論分析,該參數(shù)取值要符合生態(tài)學(xué)背景具有一定的取值范圍.在對(duì)生態(tài)系統(tǒng)進(jìn)行計(jì)算機(jī)模擬時(shí)發(fā)現(xiàn)當(dāng)有效搜尋總時(shí)間T=1時(shí),處理時(shí)間Th取值在(0.3,0.8)區(qū)間內(nèi)時(shí)模擬的生態(tài)系統(tǒng)更符合實(shí)際情況.故在后面對(duì)捕食系統(tǒng)進(jìn)行模擬時(shí),將捕食者對(duì)食餌的捕食過程進(jìn)行分類討論,其分岔圖如圖1所示：圖1以搜尋效率a為分岔圖橫坐標(biāo),捕食者種群數(shù)量大小P為縱坐標(biāo),其余參數(shù)取值為：K=5,T=1,c=0.1,m=0.0002,系統(tǒng)初值為H0=5,P0=2.5.由于捕食者的處理時(shí)間給定有效區(qū)間,所以在計(jì)算機(jī)模擬的過程中主要選取了三種具有代表意義的處理時(shí)間Th的取值進(jìn)行分析.圖1的(a)中為Th=0.3時(shí),即處理時(shí)間占比較少的一段時(shí)間,動(dòng)態(tài)性非常復(fù)雜,在參數(shù)a取值為(0.502,1.352)內(nèi)種群出現(xiàn)穩(wěn)定共存的生存狀態(tài),接著出現(xiàn)混沌狀態(tài),在1.37到1.385出現(xiàn)一個(gè)比較窄的周期窗,短暫周期后種群再次進(jìn)入混沌狀態(tài),中間有周期窗出現(xiàn),直到a=1.9648時(shí)種群突然滅絕.圖1(b)當(dāng)Th即處理時(shí)間占搜尋總時(shí)間的二分之一時(shí),該點(diǎn)為討論處理時(shí)間的種群狀態(tài)的分界點(diǎn).通過分岔圖觀察可以發(fā)現(xiàn),與(a)比較當(dāng)Th增大了兩種群穩(wěn)定共存的參數(shù)域擴(kuò)大了,穩(wěn)定共存的區(qū)間變?yōu)榱?0.811,5.523),種群依然會(huì)出現(xiàn)混沌狀態(tài),不過種群滅絕的參數(shù)域也擴(kuò)大了,即在a=5.9492時(shí)種群突然滅絕.在圖1(c)Th=0.8即處理食餌的時(shí)間比較長(zhǎng)時(shí),種群出現(xiàn)混沌狀態(tài)后,該處的混沌狀態(tài)比較復(fù)雜,接著經(jīng)歷倒轉(zhuǎn)的倍周期32周期、12周期、8周期、4周期、2周期,最后經(jīng)歷了一段很長(zhǎng)的參數(shù)域區(qū)間的穩(wěn)定共存.上述不同的處理時(shí)間取值表明當(dāng)捕食者對(duì)食餌進(jìn)行處理的時(shí)間增加會(huì)擴(kuò)大兩種群穩(wěn)定共存的參數(shù)域.

3.2 Allee效應(yīng)常數(shù)對(duì)模型的影響

通過在捕食者搜尋過程中對(duì)食餌的處理時(shí)間的分析,我們選擇一個(gè)相對(duì)合適的處理時(shí)間參數(shù)進(jìn)行模擬,討論Allee效應(yīng)常數(shù)在具有Allee效應(yīng)及HollingⅡ型功能反應(yīng)模型的動(dòng)態(tài)行為的影響.

圖2為具有Allee效應(yīng)和HollingⅡ型功能反應(yīng)模型系統(tǒng)的分岔圖.以捕食者的搜尋效率a為分岔圖參數(shù),即分岔圖的橫坐標(biāo),其余參數(shù)取值為：K=5,r=3,T=1,Th=0.4,系統(tǒng)初值為H0=5,P0=2.5.圖2(a)為捕食者對(duì)食餌不存在Allee效應(yīng)時(shí)的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)：當(dāng)搜尋效率a∈(0.619,2.172)時(shí),兩種群出現(xiàn)穩(wěn)定共存,緊接著顯示混沌狀態(tài),混沌狀態(tài)呈現(xiàn)比較復(fù)雜的動(dòng)態(tài)行為,比如草叉分支、切叉分支、吸引子危機(jī),有穩(wěn)定的6周期變化并有明顯的周期窗,直到參數(shù)變?yōu)?.005時(shí)種群滅絕.圖2(b)為捕食者對(duì)食餌具有Allee效應(yīng)時(shí)的動(dòng)態(tài)系統(tǒng),即參數(shù)c=0.1,m=0.5時(shí),從分岔圖中可以發(fā)現(xiàn),參數(shù)a∈(0.342,0.506)時(shí)種群就開始出現(xiàn)混沌狀態(tài),在較短的參數(shù)變化內(nèi)出現(xiàn)倒轉(zhuǎn)倍周期分岔,而穩(wěn)定共存的參數(shù)域變?yōu)榱薬∈(0.506,1.705),經(jīng)歷穩(wěn)定共存后再次出現(xiàn)混沌狀態(tài)并伴隨著周期變化,直到1.985時(shí)種群突然滅絕.

圖 1 系統(tǒng)(2)分岔圖 搜尋效率a為橫坐標(biāo),捕食者種群數(shù)量大小P為縱坐標(biāo) 參數(shù)取值為K=5,T=1,c=0.1,r=3,m=0.0002,系統(tǒng)初值為H0=5,P0=2.5.(a)Th=0.3(b)Th=0.5(c)Th=0.8.

圖 2 系統(tǒng)(2)分岔圖 搜尋效率a為橫坐標(biāo),捕食者種群數(shù)量大小P為縱坐標(biāo) 參數(shù)取值為K=5,T=1,Th=0.4,系統(tǒng)初值為H0=5,P0=2.5. (a)c=0,m=0(b)c=0.1,m=0.5.

圖3為同樣為具有Allee效應(yīng)和HollingⅡ型功能反應(yīng)模型的分岔圖.以捕食者的內(nèi)稟增長(zhǎng)率r為分岔圖參數(shù),即內(nèi)稟增長(zhǎng)率作為分岔圖橫坐標(biāo),其余參數(shù)取值為：K=5,a=2,T=1,Th=0.4,系統(tǒng)初值為：H0=5,P0=2.5.圖3(a)為c=0,m=0時(shí),捕食者種群的生長(zhǎng)狀態(tài),從圖中我們可以知道,在內(nèi)稟增長(zhǎng)率r取值為0.263時(shí)出現(xiàn)混沌狀態(tài),直到參數(shù)增長(zhǎng)到2.251時(shí)種群出現(xiàn)穩(wěn)定共存狀態(tài),并在(1.6,1.8)及(2.0,2.1)之間出現(xiàn)周期窗,周期變化形態(tài)頗為復(fù)雜.接著出現(xiàn)穩(wěn)定共存的生長(zhǎng)狀態(tài).圖3(b)表現(xiàn)的是c=0.1,m=0.5時(shí)的捕食者種群的生長(zhǎng)狀態(tài),相對(duì)于沒有Allee效應(yīng)的情況下來說生長(zhǎng)狀態(tài)較為復(fù)雜,在3.029之后出現(xiàn)混沌狀態(tài),參數(shù)在3.592之后一段參數(shù)區(qū)間內(nèi)保持穩(wěn)定共存,短暫共存狀態(tài)后再次出現(xiàn)混沌狀態(tài),后種群突然滅絕.

3.3 Allee效應(yīng)輔助參數(shù)對(duì)模型的影響

同樣根據(jù)前面的探索選擇一個(gè)相對(duì)合適的處理時(shí)間參數(shù)進(jìn)行模擬討論Allee輔助參數(shù)在具有Allee效應(yīng)及HollingⅡ型功能反應(yīng)模型的動(dòng)態(tài)行為的影響.

圖4為具有Allee效應(yīng)和HollingⅡ型功能反應(yīng)模型系統(tǒng)的分岔圖.以捕食者的搜尋效率a為分岔圖參數(shù),其余參數(shù)取值為：K=5,r=3,m=0.5,T=1,Th=0.4,系統(tǒng)初值為：H0=5,P0=2.5.圖4(a)為系統(tǒng)中參數(shù)取值c=0.1,即具有Allee效應(yīng)的動(dòng)態(tài)系統(tǒng),該處的分岔圖同圖2中(b)部分.圖4(b)為系統(tǒng)參數(shù)c=-0.02時(shí)的動(dòng)態(tài)系統(tǒng),穩(wěn)定參數(shù)域擴(kuò)大為(0.532,1.819),接著呈現(xiàn)混沌狀態(tài),混沌比較復(fù)雜,具有草叉分支、切叉分支、吸引子危機(jī)、擬周期變化,參數(shù)增大到3.321種群突然滅絕.

3.4 最大Lyapunov指數(shù)判斷混沌動(dòng)態(tài)

圖3 系統(tǒng)(2)分岔圖 內(nèi)稟增長(zhǎng)率r為橫坐標(biāo),捕食者種群數(shù)量大小P為縱坐標(biāo) 參數(shù)取值為K=5,a=2,T=1,Th=0.4,系統(tǒng)初值為H0=5,P0=2.5. (a)c=0,m=0(b)c=0.1,m=0.5.

圖4 系統(tǒng)(2)分岔圖 搜尋效率a為橫坐標(biāo),捕食者種群數(shù)量大小P為縱坐標(biāo) 參數(shù)取值為K=5,r=3,m=0.5,T=1,Th=0.4,系統(tǒng)初值為H0=5,P0=2.5. (a)c=0.1(b)c=-0.02.

對(duì)于混沌狀態(tài)[14]的判斷只有直接的分岔圖結(jié)論遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠,本節(jié)采用求解最大Lyapunov指數(shù)的方法來從理論上支撐混沌狀態(tài)的判斷[15].最大Lyapunov指數(shù)計(jì)算即在相平面空間計(jì)算附近的軌道發(fā)散或者收斂的平均指數(shù).下面完整敘述其計(jì)算過程：第一步,找到一個(gè)吸引子上的一個(gè)已知點(diǎn)x0,這個(gè)點(diǎn)對(duì)于任意的初始條件都可以迭代幾百次,并有鄰點(diǎn)y0使得d0=||x0-y0||,且d0=10-12.第二步,每?jī)蓚€(gè)軌道通過一次迭代可得xk,yk,由公式dk=||xk-yk||可計(jì)算出dk,其中k=1,2,···,n,dk6=d0.將上述兩步進(jìn)行n次迭代計(jì)算平均對(duì)數(shù)率.最后得到最大Lyapunov指數(shù)的計(jì)算式為對(duì)系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行判斷,若指數(shù)為正則為混沌狀態(tài),若為負(fù)則系統(tǒng)是穩(wěn)定狀態(tài)或者出現(xiàn)周期吸引子現(xiàn)象.圖5為系統(tǒng)(2)的Lyapunov指數(shù)的計(jì)算結(jié)果,該圖所對(duì)應(yīng)的為圖3,圖4的局部參數(shù)域上的指數(shù)圖像.對(duì)其余系統(tǒng)動(dòng)態(tài)演化的分岔圖均通過類似的方式對(duì)混沌狀態(tài)進(jìn)行理論驗(yàn)證,對(duì)每個(gè)參數(shù)作為討論對(duì)象分別進(jìn)行了混沌狀態(tài)的Lyapunov指數(shù)的計(jì)算.

圖5 系統(tǒng)(2)的最大Lyapunov指數(shù) 參數(shù)取值為K=5,T=1,Th=0.4,系統(tǒng)初值為H0=5,P0=2.5. (a)內(nèi)稟增長(zhǎng)率r為橫坐標(biāo),最大Lyapunov指數(shù)L為縱坐標(biāo),a=2,c=0,m=0;(b)搜尋效率a為橫坐標(biāo),最大Lyapunov指數(shù)L為縱坐標(biāo)r=3,c=-0.02,m=0.5.

§4 結(jié)果分析

考慮捕食者對(duì)食餌攻擊的攻擊過程,通過計(jì)算機(jī)模擬參數(shù)內(nèi)稟增長(zhǎng)率r,搜尋效率a,Allee效應(yīng)宿主閾值c,Allee效應(yīng)常數(shù)m變化時(shí)種群的動(dòng)態(tài)變化趨勢(shì).該動(dòng)態(tài)變化過程以分岔圖進(jìn)行呈現(xiàn),在分岔圖中種群動(dòng)態(tài)系統(tǒng)隨參數(shù)變化會(huì)出現(xiàn)Hopf分支,混沌狀態(tài)[16-20].對(duì)分岔圖進(jìn)行詳細(xì)分析得到如下結(jié)論：

結(jié)論一,當(dāng)處理時(shí)間在有效區(qū)間內(nèi)變化時(shí),處理時(shí)間越大種群的穩(wěn)定共存參數(shù)域越大.如圖1所示,當(dāng)捕食者對(duì)獵物的處理時(shí)間在有效情況下：處理時(shí)間小于捕食過程的總時(shí)間的二分之一時(shí),系統(tǒng)的種群大小的變化會(huì)隨著參數(shù)的增加而處于特殊的變化,種群動(dòng)態(tài)的整體變化趨勢(shì)是類似的;而當(dāng)處理時(shí)間增大至超過捕食總時(shí)間的二分之一時(shí),種群的整體動(dòng)態(tài)變化趨勢(shì)發(fā)生變化,該部分種群生長(zhǎng)狀態(tài)中會(huì)出現(xiàn)倒轉(zhuǎn)的倍周期增長(zhǎng).由圖中我們可以得到結(jié)論,處理時(shí)間的增加在增大了種群存活參數(shù)域的同時(shí)也增大了兩種群穩(wěn)定共存的參數(shù)域.

結(jié)論二,在具有HollingⅡ功能反應(yīng)的離散的食餌-捕食者系統(tǒng)中由于Allee效應(yīng)的引入,增加了捕食者種群的滅絕風(fēng)險(xiǎn).模擬結(jié)果顯示去掉Allee效應(yīng)能增加捕食者種群的續(xù)存.在圖2和圖3的軟件模擬的結(jié)果中,可以很清楚的看到以a和r為參數(shù),增加Allee效應(yīng)參數(shù)m,模擬有Allee效應(yīng)和沒有Allee效應(yīng)的情況下種群的生長(zhǎng)動(dòng)態(tài).從圖中我們可以通過對(duì)比分析當(dāng)Allee效應(yīng)參數(shù)c=0，m=0時(shí)和c=0.1，m=0.5時(shí),種群生長(zhǎng)狀態(tài)的情況：當(dāng)m=0.5時(shí),種群穩(wěn)定共存的參數(shù)域均發(fā)生了變化,搜尋參數(shù)的參數(shù)取值范圍由a∈(0.619,2.172)變?yōu)榱薬∈(0.506,1.705),內(nèi)稟增長(zhǎng)率r穩(wěn)定共存的參數(shù)域也由(2.251,4.249)縮小了.通過對(duì)分岔圖進(jìn)行具體分析,可知Allee效應(yīng)增加了種群的動(dòng)態(tài)復(fù)雜性加速了種群的滅絕.

結(jié)論三,當(dāng)系統(tǒng)受強(qiáng)Allee效應(yīng)影響時(shí),將推遲出現(xiàn)混沌現(xiàn)象,也就是說強(qiáng)Allee更容易使種群產(chǎn)生分叉,即強(qiáng)Allee會(huì)使種群提前出現(xiàn)分叉現(xiàn)象,繼續(xù)增強(qiáng)Allee效應(yīng),導(dǎo)致種群滅絕[21-22].而系統(tǒng)Allee參數(shù)取c＜0,系統(tǒng)還是會(huì)出現(xiàn)混沌現(xiàn)象.對(duì)于參數(shù)域中系統(tǒng)出現(xiàn)的混沌現(xiàn)象通過計(jì)算Lyapunov指數(shù)來對(duì)分岔圖的混沌現(xiàn)象進(jìn)行了理論支撐,就每個(gè)參數(shù)進(jìn)行了對(duì)應(yīng)的指數(shù)計(jì)算,文中第三部分的第四小節(jié)只就部分參數(shù)域進(jìn)行了詮釋.當(dāng)Lyapunov指數(shù)大于0時(shí)出現(xiàn)混沌狀態(tài),小于0時(shí)則是穩(wěn)定狀態(tài)或者是一個(gè)周期吸引子.當(dāng)Allee參數(shù)c＞0時(shí)為強(qiáng)Allee效應(yīng),如圖4所示可以清楚的觀察到當(dāng)c=0.1時(shí)種群的混沌狀態(tài)后出現(xiàn)分叉比c=-0.02時(shí)容易.從圖中我們還可以看到當(dāng)c=0.1時(shí),考慮Allee效應(yīng)的作用力度,繼續(xù)增強(qiáng)Allee效應(yīng)參數(shù)c將會(huì)導(dǎo)致種群存活的參數(shù)域縮短.相對(duì)于強(qiáng)Allee效應(yīng)來說,參數(shù)c＜0時(shí)加強(qiáng)了種群的穩(wěn)定性,兩種群的穩(wěn)定共存的參數(shù)域也因穩(wěn)定性的加強(qiáng)而增大.

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A predator-prey system model with Holling II functional response and Allee e ff ect

JIANG Rui1,LIU Hua1,XIE Mei1,WEI Yu-mei2,ZHAO Shifeng1
(1.School of mathematics and computer science Institute,Northwest university for nationalities,Lanzhou 730030,China;2.The experiment center,Northwest university for nationalities,Lanzhou 730030,China)

This paper studied the dynamic complexity of a class of discrete population model by computer simulation.The autonomous predator-prey system model is established through theoretical derivation,which has Allee e ff ect and Holling II functional e ff ect.The growth states of discrete-time populations are simulated to explore the in fl uence of the parameters’changes to its population size by MATLAB.It also illustrated the importance of Allee e ff ect and Holling II functional in the model of interaction among populations.The research results show that the larger the processing time,the bigger parameter region for stable coexistence population when the processing time is within the e ff ective range.The introduction of Allee e ff ect makes dynamic behavior of the population more complicated,thus increase the extinction risk of predator population.The population appears bifurcation in advance when predator-prey system strongly a ff ected by Allee e ff ect.It will lead to population extinction,if Allee e ff ect increasingly raises.The strong Allee e ff ect is more prone to population extinction.The conclusion of this paper not only enriches the theory of ecology,but also puts forward important basis of conservation ecology.

Allee e ff ect;Holling II;chaos;computer simulation

34B

O175

A

：1000-4424(2016)04-0441-10

2015-11-13

2016-03-23

國(guó)家自然科學(xué)基金(31260098;11361049;31560127);甘肅省自然科學(xué)基金(145RJZA158;1506RJZA274);西北民族大學(xué)研究生科研創(chuàng)新資助項(xiàng)目(YXM2015178);國(guó)家民委中青年英才計(jì)劃([2014]121號(hào));2013年西北民族大學(xué)創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)資助項(xiàng)目