阮　平， 黃勇富

(1.電子科技大學(xué)中山學(xué)院 管理學(xué)院，廣東 中山 528400; 2.朝陽(yáng)科技大學(xué) 管理學(xué)院，臺(tái)灣 臺(tái)中 10617)

?

考慮學(xué)習(xí)效應(yīng)及次品率的制造商生產(chǎn)批量和信用期優(yōu)化

阮平1， 黃勇富2

(1.電子科技大學(xué)中山學(xué)院 管理學(xué)院，廣東 中山 528400; 2.朝陽(yáng)科技大學(xué) 管理學(xué)院，臺(tái)灣 臺(tái)中 10617)

摘要：現(xiàn)實(shí)中銷售商需要把信用期和批量一樣當(dāng)作決策變量。本文把賣方定位為生產(chǎn)過(guò)程中存在學(xué)習(xí)效應(yīng)的非完美生產(chǎn)制造商，一是考慮需求同時(shí)受信用期和銷售價(jià)格的影響；二是考慮商業(yè)信用給制造商帶來(lái)機(jī)會(huì)成本和違約風(fēng)險(xiǎn)，站在制造商的視角構(gòu)建了制造商的信用期和生產(chǎn)批量?jī)?yōu)化模型。通過(guò)定理證明了在一定條件下，模型存在唯一的最優(yōu)解并用算例驗(yàn)證了模型的可行性和合理性。最后通過(guò)對(duì)參數(shù)進(jìn)行靈敏度分析，得出制造商生產(chǎn)過(guò)程中的學(xué)習(xí)能力越強(qiáng)，給予下游購(gòu)買商的信用期越長(zhǎng)、生產(chǎn)批量越大、企業(yè)利潤(rùn)越高等結(jié)論。

關(guān)鍵詞：存貨； 商業(yè)信用； 學(xué)習(xí)效應(yīng)； 次品率； 優(yōu)化

商業(yè)信用交易越來(lái)越成為供應(yīng)鏈上下游企業(yè)間交易的主要方式，是一種靈活的供應(yīng)鏈內(nèi)部短期融資策略[1]。賣方向買方提供商業(yè)信用交易可以得到兩大好處：1)買方把它當(dāng)作一種現(xiàn)金折扣，從而促進(jìn)銷售[2]；2)作為直接現(xiàn)金折扣的代替，不容易引起競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手的降價(jià)競(jìng)爭(zhēng)[3]。但是另一方面，向買方提供商業(yè)信用期，也會(huì)給賣方帶來(lái)增加機(jī)會(huì)成本和面臨著違約風(fēng)險(xiǎn)的問(wèn)題。因此，如何確定一個(gè)最優(yōu)的信用期，使得信用期帶來(lái)的收入增加明顯蓋過(guò)由機(jī)會(huì)成本和違約風(fēng)險(xiǎn)帶來(lái)的成本增加，是一個(gè)需要賣方?jīng)Q策的重要問(wèn)題。大多數(shù)基于商業(yè)信用批量模型的研究都是把信用期當(dāng)作給定參數(shù)而不是決策變量，如文獻(xiàn)[4-7]，而把信用期當(dāng)做決策變量的研究又存在這樣或那樣的缺陷。文獻(xiàn)[8-10]利用差分方程把信用期作為決策變量引入目標(biāo)函數(shù)，但沒(méi)有考慮信用期帶來(lái)的機(jī)會(huì)成本和違約風(fēng)險(xiǎn)問(wèn)題；文獻(xiàn)[11-13]忽略了機(jī)會(huì)成本； 文獻(xiàn)[3，14]考慮了信用期帶來(lái)的機(jī)會(huì)成本和違約風(fēng)險(xiǎn)，但其假設(shè)需求僅與信用期有關(guān)而與價(jià)格無(wú)關(guān)；文獻(xiàn)[15-18]從供應(yīng)鏈的角度研究了信用期的優(yōu)化問(wèn)題，但是它們的共同問(wèn)題是假設(shè)不存在違約風(fēng)險(xiǎn)。

本文在EPQ(economic production quantity，經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)批量)架構(gòu)下，探討賣方的信用期和批量?jī)?yōu)化問(wèn)題，與其他研究不同之處以及亮點(diǎn)在于： 1)把賣方定位為一個(gè)制造商，其生產(chǎn)系統(tǒng)是非完美生產(chǎn)系統(tǒng)，即存在一定的次品率，而且制造商生產(chǎn)過(guò)程中存在明顯的學(xué)習(xí)曲線效應(yīng)，即隨著產(chǎn)量的增加邊際生產(chǎn)成本下降；2)不僅考慮信用期給制造商帶來(lái)的擴(kuò)大需求的好處，而且綜合考慮信用期帶來(lái)的機(jī)會(huì)成本和違約風(fēng)險(xiǎn)；3)定義一種更符合實(shí)際情況的需求函數(shù)，即需求同時(shí)受信用期和銷售價(jià)格的影響。

1模型假設(shè)與參數(shù)說(shuō)明

1)制造商的生產(chǎn)系統(tǒng)非完美，即生產(chǎn)過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生一定比例的殘次品，次品率為λ，單位殘次品損失成本為g 。

2)制造商向下游采購(gòu)商提供商業(yè)信用交易，商業(yè)信用期為M。

3)制造商生產(chǎn)過(guò)程中存在典型的學(xué)習(xí)效應(yīng)。借用Arrow[19]提到的經(jīng)典生產(chǎn)學(xué)習(xí)曲線模型：假設(shè)v(t)為t時(shí)刻單位產(chǎn)品的生產(chǎn)成本，X(t)為t時(shí)刻累積產(chǎn)品產(chǎn)量，v0為生產(chǎn)首件產(chǎn)品的學(xué)習(xí)曲線生產(chǎn)成本，u為學(xué)習(xí)能力系數(shù)，u值越小學(xué)習(xí)能力越強(qiáng)，當(dāng)u=1，表示沒(méi)有學(xué)習(xí)能力，一般取值范圍為0.5≤u≤0.9，t時(shí)刻累計(jì)生產(chǎn)成本為v(t)X(t)=v0[X(t)]u。

4)需求速度D同時(shí)受銷售價(jià)格s和信用期M的影響。根據(jù)銷售價(jià)格越低需求越高，信用期越長(zhǎng)需求越高的市場(chǎng)邏輯，令

D=D(s,M)=as-becM。

其中，a、b、c均為正的常數(shù)，a為市場(chǎng)剛需系數(shù);b為需求的價(jià)格影響系數(shù);c為需求的信用期影響系數(shù)。

5)制造商的生產(chǎn)速度為P，P>D+λ，生產(chǎn)批量為Q，邊生產(chǎn)邊對(duì)產(chǎn)成品進(jìn)行殘次品檢測(cè)，生產(chǎn)完成時(shí)對(duì)檢測(cè)出的殘次品進(jìn)行一次性庫(kù)存移除。

6)考慮下游采購(gòu)商違約的風(fēng)險(xiǎn)，假設(shè)采購(gòu)商違約的概率F是信用期M的函數(shù)，且有

F=1-e-kM。

其中,k為違約風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)，是正的常數(shù)，k值越大，同等信用期下違約的概率越高。

7)基于信用期帶來(lái)的收入延遲存在貨幣時(shí)間價(jià)值損失，考慮凈收入的現(xiàn)值問(wèn)題。假設(shè)年綜合利率為r，則制造商單位時(shí)間的凈收入現(xiàn)值為

sD(1-F)e-rM=as1-be(c-k-r)M。

8)制造商一次生產(chǎn)準(zhǔn)備成本為A，單位產(chǎn)品單位時(shí)間的存貨持有成本為h。

9)不允許缺貨。

2模型構(gòu)建和優(yōu)化求解

2.1制造商利潤(rùn)函數(shù)

制造商周期內(nèi)庫(kù)存變化情況如圖1所示。制造商的成本項(xiàng)目包括生產(chǎn)成本、殘次品損失成本、生產(chǎn)準(zhǔn)備成本和存貨持有成本。根據(jù)假設(shè)3)，基于學(xué)習(xí)曲線的單位時(shí)間生產(chǎn)成本為

v0(D)u=v0(as-becM)u。

單位時(shí)間殘次品損失成本為

單位時(shí)間生產(chǎn)準(zhǔn)備成本為

單位時(shí)間存貨持有成本為

設(shè)制造商的利潤(rùn)函數(shù)為Π(Q,M)，則有

(1)

2.2優(yōu)化求解

在制造商的利潤(rùn)函數(shù)(1)中，后兩項(xiàng)與生產(chǎn)批量Q相關(guān)，令

(2)

這里利用算術(shù)平均值-幾何平均值不等式來(lái)求Q的最優(yōu)解。根據(jù)算術(shù)平均值-幾何平均值不等法

(3)

求得制造商最佳生產(chǎn)批量為

Q*=

(4)

此時(shí)，對(duì)應(yīng)的最小成本為

(5)

把式(5)代入式(1)，式(1)簡(jiǎn)化為單決策變量M的函數(shù)，如下所示：

Π(M)=Π(Q*,M)=as1-be(c-k-r)M-

(6)

對(duì)式(6)針對(duì)M求一階導(dǎo)數(shù)并令其導(dǎo)數(shù)為零，有

(7)

從式(7)可以推導(dǎo)出以下結(jié)論。

定理1符合以下簡(jiǎn)單的經(jīng)濟(jì)學(xué)解釋。

1)當(dāng)c≤k+r時(shí)，制造商給予下游購(gòu)買商的信用期越長(zhǎng)(即M值越大)，其凈收入現(xiàn)值(即[(c-k-r)as1-be(c-k-r)M])越小，因此制造商不會(huì)向下游購(gòu)買商提供商業(yè)信用。

(8)

Δ2=(c-k-r)2as1-be(c-k-r)M-

(9)

(10)

定理2：1)如果Δ1>0，Δ2≤0且Δ3>0，則存在唯一的最優(yōu)信用期M*>0，使得制造商的利潤(rùn)最高；

2)如果Δ1≤0，Δ2≤0且Δ3>0，則制造商取消商業(yè)信用(M*=0)時(shí)利潤(rùn)最高。

證明：對(duì)式(6)針對(duì)M求二階導(dǎo)數(shù)，

(11)

因?yàn)?/p>

所以有

(12)

把M=0代入式(7)，得到

(13)

3算例與靈敏度分析

下面通過(guò)算例和靈敏度分析來(lái)進(jìn)一步驗(yàn)證模型的可行性和合理性，同時(shí)通過(guò)靈敏度分析將得到一些有益的結(jié)論。算例和靈敏度分析將依賴于以下的參數(shù)設(shè)置：

市場(chǎng)剛需系數(shù)a=1 000,需求的信用期影響系數(shù)c=0.2，需求的價(jià)格影響系數(shù)b=0.1，違約風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)k=0.1，綜合年利率r=0.05，學(xué)習(xí)能力系數(shù)u=0.9，次品率λ=0.05，單位殘次品的損失成本g=5，首件產(chǎn)品生產(chǎn)成本v0=8，銷售單價(jià)s=18，一次生產(chǎn)準(zhǔn)備成本A=50， 單位貨物單位時(shí)間的存貨持有成本h=2,生產(chǎn)速度P=10 000。

3.1算例分析

先把以上參數(shù)代入式(8)，算得Δ1=45.75>0；接著把以上參數(shù)代入式(7)，得到一個(gè)只包含單變量M的方程，利用Matlab軟件求得M*=0.56。把M*=0.56代入式(9)和(10)進(jìn)行驗(yàn)證，得到Δ2=-84.91、Δ3=0.43。根據(jù)定理2，M*=0.56是最優(yōu)解。把M*=0.56代入式(4)，算得Q*=225.01；最后把M*=0.56和Q*=225.01代入式(1)，得Π(Q*,M*)=10 111.71。

3.2靈敏度分析

在其他參數(shù)值固定不變時(shí)，變化某一參數(shù)進(jìn)行該參數(shù)的靈敏度分析，計(jì)算結(jié)果如表1所示。

由表1可知，在其他條件不變的情況下有如下結(jié)果。

1)隨著制造商生產(chǎn)過(guò)程中學(xué)習(xí)能力的增強(qiáng)，即u值變小，給予下游購(gòu)買商的信用期增長(zhǎng)，生產(chǎn)批量增大，企業(yè)利潤(rùn)增加。

2)隨著制造商生產(chǎn)過(guò)程中次品率的增加，即λ值變大，給予下游購(gòu)買商的信用期變短(甚至為0)，生產(chǎn)批量先變小后變大，企業(yè)利潤(rùn)減少。

3)隨著制造商銷售價(jià)格的降低，即s值變小，給予下游購(gòu)買商的信用期變短(甚至為0)，生產(chǎn)批量變小，企業(yè)利潤(rùn)減少。

表1　參數(shù)的靈敏度分析

r0.0353.00295.7010541.580.0402.18269.3110330.290.0451.37246.0110189.710.0500.56225.0110111.710.0550211.7710091.62v053.82325.6111845.0862.57281.4711153.1671.50249.4810586.9780.56225.0110111.7190211.769705.23A100.77102.9910177.52500.56225.0110111.711000.40312.6510063.062000.16431.139995.063000518.729943.95h10.67322.1710146.4520.56225.0110111.7130.47181.9810085.2540.40156.3310063.0650.33138.8310043.59

4)需求對(duì)信用期越不敏感，即c值變小，給予下游購(gòu)買商的信用期越短(甚至為0)，生產(chǎn)批量越小，企業(yè)利潤(rùn)越低。

5)需求對(duì)價(jià)格越不敏感，即b值越大(因?yàn)樾枨蠛瘮?shù)中參數(shù)b前面帶有負(fù)號(hào))，給予下游購(gòu)買商的信用期越短(甚至為0)，生產(chǎn)批量越小，企業(yè)利潤(rùn)越低；

6)下游購(gòu)買商違約風(fēng)險(xiǎn)越高，即k值越大，給予下游購(gòu)買商的信用期越短(甚至為0)，生產(chǎn)批量越小，企業(yè)利潤(rùn)越低。

7)制造商生產(chǎn)速度越快，即P值越大，給予下游購(gòu)買商的信用期越短，生產(chǎn)批量越小，企業(yè)利潤(rùn)越高。

8)隨著單位殘次品損失成本的增加，即g值變大，給予下游購(gòu)買商的信用期變短(甚至為0)，生產(chǎn)批量變小，企業(yè)利潤(rùn)減少。

9)隨著市場(chǎng)剛需的減少，即a值變小，給予下游購(gòu)買商的信用期變短(甚至為0)，生產(chǎn)批量變小，企業(yè)利潤(rùn)減少。

10)隨著年復(fù)合利率的增加，即r值變大，給予下游購(gòu)買商的信用期變短(甚至為0)，生產(chǎn)批量變小，企業(yè)利潤(rùn)減少。

11)隨著制造商首件產(chǎn)品生產(chǎn)成本的增加，即v0值變大，給予下游購(gòu)買商的信用期變短(甚至為0)，生產(chǎn)批量變小，企業(yè)利潤(rùn)減少。

12)隨著制造商生產(chǎn)準(zhǔn)備成本的增加，即A值變大，給予下游購(gòu)買商的信用期變短(甚至為0)，生產(chǎn)批量變大，企業(yè)利潤(rùn)減少。

13)隨著制造商單位產(chǎn)品單位時(shí)間持有成本的增加，即h值變大，給予下游購(gòu)買商的信用期變短，生產(chǎn)批量變小，企業(yè)利潤(rùn)減少。

4結(jié)論

單純從賣方視角研究信用期優(yōu)化的研究很少，本文把賣方定位為生產(chǎn)過(guò)程中存在學(xué)習(xí)效應(yīng)的非完美生產(chǎn)制造商，假設(shè)需求同時(shí)受信用期和銷售價(jià)格的影響，信用期給制造商帶來(lái)機(jī)會(huì)成本和違約風(fēng)險(xiǎn)成本，較好地反映了現(xiàn)實(shí)情況。站在制造商的視角構(gòu)建了制造商的信用期和生產(chǎn)批量?jī)?yōu)化模型，并通過(guò)定理證明了在一定條件下，模型存在唯一的最優(yōu)解。在構(gòu)建模型的基礎(chǔ)上，用算例驗(yàn)證了模型的可行性和合理性，并通過(guò)對(duì)13個(gè)參數(shù)進(jìn)行靈敏度分析，得出了一系列在參數(shù)變化情況下的決策性結(jié)論。

進(jìn)一步深化研究，本文可以從以下多方面進(jìn)行擴(kuò)展：比如可以把產(chǎn)品假設(shè)為易腐品，加入變質(zhì)率參數(shù)；考慮雙重學(xué)習(xí)效應(yīng)，即生產(chǎn)過(guò)程中不僅邊際生產(chǎn)成本隨著產(chǎn)量的增加而降低，而且次品率也隨著產(chǎn)量的增加而降低；考慮次品的再制造等。

參考文獻(xiàn)：

[1]STOKES J R. Dynamic cash discounts when sales volume is stochastic[J]. The Quarterly Review of Economics and Finance, 2005, 45(1): 144-160.

[2]ARCELUS F J, SHAH N H, SRINIVASAN G. Retailer′s response to special sales: price discount vs. trade credit[J]. Omega, 2001, 29(5): 417-428.

[3]LOU K R, WANG W C. Optimal trade credit and order quantity when trade credit impacts on both demand rate and default risk[J]. Journal of the Operational Research Society, 2012, 64(10): 1551-1556.

[4]MIN J, ZHOU Y W, ZHAO J. An inventory model for deteriorating items under stock-dependent demand and two-level trade credit[J]. Applied Mathematical Modelling, 2010, 34(11): 3273-3285.

[5]MAHATA G C. An EPQ-based inventory model for exponentially deteriorating items under retailer partial trade credit policy in supply chain[J]. Expert systems with Applications, 2012, 39(3): 3537-3550.

[6]CHEN S C, TENG J T, SKOURI K. Economic production quantity models for deteriorating items with up-stream full trade credit and down-stream partial trade credit[J]. International Journal of Production Economics, 2014(155): 302-309.

[7]SONI H N, PATEL K A. Optimal strategy for an integrated inventory system involving variable production and defective items under retailer partial trade credit policy[J]. Decision Support Systems, 2012, 54(1): 235-247.

[8]THANGAM A, UTHAYAKUAMR R. Two-echelon trade credit financing for perishable items in a supply chain when demand depends on both selling price and credit period[J]. Computers & Industrial Engineering, 2009, 57(3): 773-786.

[9]CHEN L H, KANG F S. Integrated inventory models considering the two-level trade credit policy and a price-negotiation scheme[J]. European Journal of Operational Research, 2010, 205(1): 47-58.

[10]GUCHHAIT P, MAITI M K, MAITI M. An EOQ model of deteriorating item in imprecise environment with dynamic deterioration and credit linked demand[J]. Applied Mathematical Modelling, 2015,39(11): 6553-6567.

[11]ZHOU Y W, ZHONG Y, LI J. An uncooperative order model for items with trade credit, inventory-dependent demand and limited displayed-shelf space[J]. European Journal of Operational Research, 2012, 223(1): 76-85.

[12]WANG W C, TENG J T, LOU K R. Seller’s optimal credit period and cycle time in a supply chain for deteriorating items with maximum lifetime[J]. European Journal of Operational Research, 2014, 232(2): 315-321.

[13]ZHONG Y G, ZHOU Y W. The model and algorithm for determining optimal ordering/trade-credit policy of supply chains[J]. Applied Mathematics and Computation, 2012, 219(8): 3809-3825.

[14]CHERN M S, PAN Q, TENG J T, et al. Stackelberg solution in a vendor-buyer supply chain model with permissible delay in payments[J]. International Journal of Production Economics, 2013, 144(1): 397-404.

[15]TENG J T, LOU K R. Seller’s optimal credit period and replenishment time in a supply chain with up-stream and down-stream trade credits[J]. Journal of Global Optimization, 2012, 53(3): 417-430.

[16]LUO J, ZHANG Q. Trade credit: a new mechanism to coordinate supply chain[J]. Operations Research Letters, 2012, 40(5): 378-384.

[17]湯勤深,周永務(wù),鄭倩倩. 變化信用期下易變質(zhì)品分散獨(dú)立決策供應(yīng)鏈系統(tǒng)[J]. 工業(yè)工程,2013,16(3):38-44.

TANG Qinshen, ZHOU Yongwu, ZHENG Qianqian. A decentralized supply chain system for deteriorating items with credit-linked demand and varying credit period[J]. Industrial Engineering Journal, 2013,16(3): 38-44.

[18]ZHANG Q H, DONG M, LUO J, et al. Supply chain coordination with trade credit and quantity discount incorporating default risk[J]. International Journal of Production Economics, 2014, 153: 352-360.

[19]ARROW K J. The economic implications of learning by doing[J]. The Review of Economic Studies, 1962,29(3): 155-173.

Optimal Trade Period and Production Batch of Manufacturer with Learning Effects and Defect Rate

RUAN Ping1， HUANG Yongfu2

(1. Management School, Zhongshan Institute, University of Electronic Science and Technology of China, Zhongshan 528402, China;2. College of Management, Chaoyang University of Technology, Taichung 10617, China)

Abstract：Trade credit, while bringing the benefits of increasing sales to the sellers, also increases the disadvantages of opportunity cost and the default risk．The sellers should set the trade credit period as a decision variable as the production batch. The seller is, in this research, taken as an imperfect manufacturer who produces items with learning curve production costs and defect rate. An economic production quantity (EPQ) model is proposed, in which there are two decision variables as the trade credit period and the production batch. The model follows two assumptions, the first being that the annual demand rate in units is determined by both the trade credit period and the production batch and the second being the trade credit brings opportunity cost and default risk to the manufacturer. Then the properties of the objective function are derived, and it is shown that there exists at most one minimum point under certain conditions, and this has been proved by a numerical example. Finally, a sensitivity analysis is conducted to understand managerial insights such as that the stronger the ability to learn, the shorter the credit period, the smaller the production lot size, and the lower the profit and that the higher the defective rate, the shorter the credit period, the smaller the production lot size, and the lower the profit.

Key words：inventory; trade credit; learning effects; defect rate; optimization

收稿日期：2015- 12- 21

基金項(xiàng)目：廣東省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(S2013010013437)

作者簡(jiǎn)介：阮平(1978-)，男，湖北省人，講師，碩士，主要研究方向?yàn)槲锪髋c供應(yīng)鏈管理.

doi:10.3969/j.issn.1007- 7375.2016.03.010

中圖分類號(hào)：F270

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1007-7375(2016)03- 0059- 06