曹向東/編譯

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完美數(shù)：極具挑戰(zhàn)的數(shù)學(xué)難題

曹向東/編譯

今年1月7日，美國(guó)數(shù)學(xué)家?guī)扃晖ㄟ^(guò)參與一個(gè)名為“互聯(lián)網(wǎng)梅森素?cái)?shù)大搜索”（GIMPS）的國(guó)際合作項(xiàng)目，找到了目前人類已知的最大完美數(shù)——2^74207280（2^74207281-1）。它是第49個(gè)完美數(shù)，長(zhǎng)達(dá)44 677 235位；如果用普通字號(hào)將它連續(xù)打印下來(lái)，其長(zhǎng)度可達(dá)200公里！這一數(shù)論研究新成果的問(wèn)世也使“完美數(shù)”這一數(shù)學(xué)概念走進(jìn)公眾視野。美國(guó)布朗大學(xué)曹向東博士特為本刊發(fā)來(lái)此稿，對(duì)人類探索完美數(shù)的歷程及其科學(xué)意義、實(shí)用價(jià)值等作了詳盡和深入淺出的介紹。

公元前三世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》第九章中首次給出了尋找完美數(shù)2^（P-1）（2^P-1）的方法，被譽(yù)為歐幾里得定理；由此開(kāi)創(chuàng)了研究2^P-1型素?cái)?shù)的先河

完美數(shù)又稱“完全數(shù)”、“完備數(shù)”或“完滿數(shù)”，是一種特殊的自然數(shù)：它所有的真因子（即除了自身以外的約數(shù)）的和（即因子函數(shù)），恰好等于它本身。

完美數(shù)的由來(lái)

古希臘學(xué)者對(duì)數(shù)字情有獨(dú)鐘。他們?cè)趯?duì)數(shù)的因數(shù)分解中，發(fā)現(xiàn)了一些奇妙的性質(zhì)，如有的數(shù)的真因數(shù)之和彼此相等，于是誕生了親和數(shù)（如最小的一對(duì)親和數(shù)220和284）；而有的真因數(shù)之和居然等于自身，于是發(fā)現(xiàn)了完美數(shù)（如最小的一個(gè)完美數(shù)6）。公元前4世紀(jì)，古希臘哲學(xué)家柏拉圖在其所著的《理想國(guó)》一書(shū)中首先提出了完美數(shù)的概念。但在公元前6世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯及其學(xué)派就已經(jīng)開(kāi)始探究完美數(shù)了。

畢達(dá)哥拉斯曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“6象征著完美的婚姻以及健康和美麗，因?yàn)樗牟糠质峭暾?，并且其和等于自身?！辈贿^(guò)，有人認(rèn)為古印度人和以前生活在西亞地區(qū)的希伯來(lái)人早就知道完美數(shù)特征了，而古希臘人則將人們對(duì)完美數(shù)的認(rèn)識(shí)提升到了一個(gè)更高的層次。

在中國(guó)文化里，有六常（仁、義、禮、智、信、孝）、六畜（牛、羊、馬、豬、狗、雞）、六谷（稻、黍、稷、粱、麥、苽）、六書(shū)（象形、指事、會(huì)意、形聲、轉(zhuǎn)注、假借）、六味（苦、酸、甘、辛、咸、淡）等說(shuō)法，還有六出紛飛、六根清靜、六合之內(nèi)、六神無(wú)主、身懷六甲、六六大順等成語(yǔ)。在中國(guó)歷史長(zhǎng)河中，六之所以熠熠生輝，是因?yàn)樗且粋€(gè)完美數(shù)，也是人們最先認(rèn)識(shí)的完美數(shù)。難怪有學(xué)者說(shuō)，中國(guó)發(fā)現(xiàn)完美數(shù)比其他國(guó)家還早。

《圣經(jīng)》注釋家通常認(rèn)為，6是上帝創(chuàng)造世界時(shí)所用的基本數(shù)字，上帝花了6天時(shí)間創(chuàng)造萬(wàn)物。而古羅馬天主教思想家圣·奧古斯丁卻認(rèn)為，6這個(gè)數(shù)本身就是完美的，并不因?yàn)樯系墼煳镉昧?天；事實(shí)上，因?yàn)檫@個(gè)數(shù)是一個(gè)完美數(shù)，所以上帝在6天之內(nèi)把一切事物都造好了。這使得完美數(shù)充滿了神秘的色彩，所以有些書(shū)籍稱之為“上帝之?dāng)?shù)”。

公元前三世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在其名著《幾何原本》中證明了素?cái)?shù)有無(wú)窮多個(gè)，如2、3、5、7、11等等。該書(shū)第九章最后一個(gè)命題首次給出了尋找完美數(shù)的方法，被譽(yù)為歐幾里得定理：“如果2^P-1是素?cái)?shù)（其中指數(shù)P也是素?cái)?shù)），則2^（P-1）（2^P-1）是完美數(shù)?！辈⒔o出了證明。

1644年，法國(guó)數(shù)學(xué)家梅森在未經(jīng)證明的情況下斷言：當(dāng)P≤257時(shí)，只有這11個(gè)完美數(shù)。這就是著名的“梅森猜測(cè)”

公元一世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派成員、古希臘數(shù)學(xué)家尼可馬修斯在其數(shù)論專著《算術(shù)入門》中，正確地給出了 6、28、496和8 128這四個(gè)完美數(shù)，并通俗地復(fù)述了歐幾里得尋找完美數(shù)的定理及其證明。他還將自然數(shù)劃分為三類：富裕數(shù)、不足數(shù)和完美數(shù)，其意義分別是小于、大于和等于所有真因數(shù)之和。

完美數(shù)在古希臘誕生后，吸引著人們像淘金般去尋找?？墒?，一代又一代人付出了無(wú)數(shù)的心血和汗水，第5個(gè)完全數(shù)沒(méi)人找到。后來(lái)，由于歐洲不斷進(jìn)行戰(zhàn)爭(zhēng)，希臘科學(xué)逐漸衰退，一些優(yōu)秀的科學(xué)家?guī)е麄兊某晒椭腔奂娂娞油⒗?、印度、意大利等?guó)，從此，希臘文明一蹶不振。

極艱辛的探究

到了13世紀(jì)，完美數(shù)的研究才出現(xiàn)一線曙光。意大利數(shù)學(xué)家斐波那契經(jīng)過(guò)推算宣布找到了一個(gè)尋找完美數(shù)的有效法則，可惜沒(méi)有人共鳴，成為過(guò)眼煙云。光陰似箭，1456年，還當(dāng)人們迷惘之際，有人偶然發(fā)現(xiàn)在一位無(wú)名氏的手稿中，竟神秘地給出了第5個(gè)完美數(shù)33 550 336。這比起第4個(gè)完美數(shù)8 128大了4 000多倍?？缍热绱酥?，在計(jì)算落后的年代可想發(fā)現(xiàn)者之艱辛了，但是手稿里沒(méi)有說(shuō)明他是用什么方法得到的，又沒(méi)有公布自己的姓名，這更使人迷惑不解了。

在無(wú)名氏的成果鼓勵(lì)下，15至19世紀(jì)是研究完美數(shù)不平凡的日子，其中17世紀(jì)出現(xiàn)了小高潮。16世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家塔塔利亞小時(shí)曾被法國(guó)入侵者用刀砍傷舌頭，落下了口吃的疾患，后來(lái)靠自學(xué)成才。他研究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)N=2和N=3至39的奇數(shù)時(shí)，2^（N-1）（2^N-1）是完美數(shù)。

17世紀(jì)有“神算大師”之稱的龐格斯在一本洋洋700頁(yè)的巨著《數(shù)的玄學(xué)》中，一口氣列出了28個(gè)所謂“完美數(shù)”，他是在塔塔利亞給出的20個(gè)的基礎(chǔ)上補(bǔ)充了8個(gè)?？上扇硕紱](méi)有給出證明和運(yùn)算過(guò)程，后人發(fā)現(xiàn)其中有許多是錯(cuò)誤的。

意大利數(shù)學(xué)家克特迪歷盡艱辛，終于在1588年正確地發(fā)現(xiàn)了第6個(gè)和第7個(gè)完美數(shù)2^16（2^17-1）和2^18（2^19-1），但他又錯(cuò)誤地認(rèn)為2^22（2^23-1）、2^28（2^29-1）和2^36（2^37-1）也是完美數(shù)。這三個(gè)數(shù)后來(lái)被法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬和瑞士數(shù)學(xué)家歐拉否定了。

1644年法國(guó)數(shù)學(xué)家梅森在其所著的《物理數(shù)學(xué)隨感》一書(shū)中指出，龐格斯給出的28個(gè)“完美數(shù)”中，只有8個(gè)是正確的，即當(dāng)P=2、3、5、7、13、17、19 和31時(shí)，2^（P-1）（2^P-1）是完美數(shù)，同時(shí)又增加了P= 67、P=127和P=257。在未證明的情況下他武斷地說(shuō)：當(dāng)P≤257時(shí)，只有這11個(gè)完美數(shù)。這就是著名的“梅森猜測(cè)”。

“梅森猜測(cè)”吸引了許多人的研究，德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲和哥德巴赫都認(rèn)為是對(duì)的；他們低估了完美數(shù)的難度。1730年9月，被稱為世界四大數(shù)學(xué)家雄獅之一的歐拉，時(shí)年23歲，正值風(fēng)華茂盛。他出手不凡，給出了一個(gè)出色的定理：“每一個(gè)偶完美數(shù)都是形如2^（P-1）（2^P-1）的自然數(shù)，其中P是素?cái)?shù)，2^P-1也是素?cái)?shù)”，并給出了證明。這是歐幾里得定理的逆定理。有了歐幾里得和歐拉兩個(gè)互逆定理，公式2^（P-1）（2^P-1）就成為判斷一個(gè)偶數(shù)是不是完美數(shù)的充要條件了。

歐拉研究“梅森猜測(cè)”后指出：“我冒險(xiǎn)斷言：每一個(gè)小于50的素?cái)?shù)，甚至小于100的素?cái)?shù)使2^（P-1）（2^P-1）是完美數(shù)的僅有P取2、3、5、7、13、17、19、31、41和47，我從一個(gè)優(yōu)美的定理出發(fā)得到了這些結(jié)果，我自信它們具有真實(shí)性?！?/p>

1772年歐拉因過(guò)度拼命工作雙目已經(jīng)失明了，但他仍未停止探究；他在致瑞士數(shù)學(xué)家丹尼爾的一封信中說(shuō)：“我已經(jīng)心算證明 P=31時(shí)，2^30 （2^31-1）是第8個(gè)完美數(shù)?！彼念B強(qiáng)毅力和解題技巧令人贊嘆不已。同時(shí)，他發(fā)現(xiàn)自己過(guò)去認(rèn)為P=41和P=47時(shí)是完美數(shù)是錯(cuò)誤的。歐拉定理和他發(fā)現(xiàn)的第8個(gè)完美數(shù)的方法，使完美數(shù)的探究發(fā)生了深刻變化，可是人們?nèi)圆荒軓氐捉鉀Q“梅森猜測(cè)”。

1876年法國(guó)數(shù)學(xué)家魯卡斯創(chuàng)立了一種檢驗(yàn)素?cái)?shù)的新方法，證明P=127時(shí)確實(shí)是一個(gè)完美數(shù)，這使“梅森猜測(cè)”之一變成事實(shí)；他的新方法給人們探究完美數(shù)帶來(lái)了生機(jī)，同時(shí)也動(dòng)搖了“梅森猜測(cè)”，因?yàn)閿?shù)學(xué)家借助他的新方法發(fā)現(xiàn)猜測(cè)中P=67和P=257時(shí)不是完美數(shù)。在以后1883至1931年的48年間，數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)“梅森猜測(cè)”中P≤257范圍內(nèi)漏掉了P=61、P=89和P=107時(shí)的3個(gè)完美數(shù)。

雖然“梅森猜測(cè)”中有錯(cuò)漏，但是梅森在17世紀(jì)的歐洲起了一個(gè)極不平常的思想通道作用，在學(xué)人心目中有著崇高的地位。為了紀(jì)念他對(duì)科學(xué)的貢獻(xiàn)，1897年在首屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上（2^P-1）型的素?cái)?shù)被命名為“梅森素?cái)?shù)”?？梢哉f(shuō)，只要找到梅森素?cái)?shù)，就可以找到與其對(duì)應(yīng)的完美數(shù)。

在完美數(shù)的探究歷程中，出現(xiàn)過(guò)很多有趣的事件。例如，1936年3月27日，美聯(lián)社（AP）播出了一條令外人都瞠目結(jié)舌的新聞：紐約《先驅(qū)論壇報(bào)》報(bào)道說(shuō)，芝加哥的數(shù)學(xué)家克利格宣稱自己發(fā)現(xiàn)了一個(gè)155位的完美數(shù)2^256（2^257-1）；他認(rèn)為自己已證明2^257-1是個(gè)素?cái)?shù)?？死裾f(shuō)他花了17個(gè)小時(shí)把它算了出來(lái)，但證明它卻用了5年之久。其實(shí)早在1922年，比利時(shí)數(shù)學(xué)家克萊契克運(yùn)用抽屜原理驗(yàn)證了2^257-1不是素?cái)?shù)?？死裣逻@樣的結(jié)論，實(shí)在令人驚嘆他孤陋寡聞。

在“手算筆錄年代”，人們前赴后繼，不斷另辟新路徑，創(chuàng)造新方法，耗時(shí)兩千多年，僅找到12個(gè)完美數(shù)，即P=2、3、5、7、13、17、19、31、61、89、107和127時(shí)，2^（P-1）（2^P-1）是完美數(shù)。17世紀(jì)，法國(guó)數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家、物理學(xué)家笛卡爾曾經(jīng)公開(kāi)預(yù)言：“能找出完美數(shù)是不會(huì)多的，好比人類一樣，要找一個(gè)完美人亦非易事。”歷史也證實(shí)了他的預(yù)言。完美數(shù)稀少而優(yōu)美，所以被人們稱為 “數(shù)論寶庫(kù)中的 ‘鉆石’”。

計(jì)算機(jī)來(lái)助力

電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，大大加快了探究完美數(shù)的步伐。1952年美國(guó)數(shù)學(xué)家魯濱遜將“盧卡斯-萊默檢驗(yàn)法”編譯成計(jì)算機(jī)程序，使用SWAC型計(jì)算機(jī)在幾個(gè)月內(nèi)，就找到了5個(gè)梅森素?cái)?shù)：2^521-1、2^607-1、2^1279-1、2^2203-1和2^2281-1。也就是說(shuō)，他發(fā)現(xiàn)了5個(gè)完美數(shù)。

2016年，美國(guó)數(shù)學(xué)家?guī)扃暾业搅四壳叭祟愐阎淖畲笸昝罃?shù)2^74207280（2^74207281-1），它是第49個(gè)完美數(shù)，長(zhǎng)達(dá)44 677 235位

探究完美數(shù)不僅極富挑戰(zhàn)性，而且對(duì)探究者來(lái)說(shuō)有一種巨大的自豪感。例如，1963年6月2日晚上8點(diǎn)，當(dāng)?shù)?3個(gè)梅森素?cái)?shù)2^11213-1通過(guò)大型計(jì)算機(jī)被找到時(shí)，美國(guó)廣播公司（ABC）中斷了正常的節(jié)目播放，在第一時(shí)間發(fā)布了這一重要消息。而發(fā)現(xiàn)這個(gè)素?cái)?shù)的美國(guó)伊利諾伊大學(xué)數(shù)學(xué)系全體師生感到無(wú)比驕傲，為了讓全世界都分享這一重大成果，以至把所有從系里發(fā)出的信封都蓋上了“2^11213-1是個(gè)素?cái)?shù)”的郵戳。由此可知，第23個(gè)完美數(shù)是2^11212（2^11213-1）。

隨著指數(shù)P值的增大，每一個(gè)完美數(shù)的產(chǎn)生都艱辛無(wú)比；而數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)愛(ài)好者仍樂(lè)此不疲，激烈競(jìng)爭(zhēng)。例如，在1979年2月23日，當(dāng)美國(guó)克雷研究公司的計(jì)算機(jī)專家史洛溫斯基和納爾遜宣布他們找到第26個(gè)梅森素?cái)?shù)2^23209-1時(shí)，有人告訴他們：在兩星期前美國(guó)加州的高中生諾爾就已經(jīng)給出了同樣結(jié)果。為此他們潛心發(fā)奮，又花了一個(gè)半月的時(shí)間，使用Cray-1型計(jì)算機(jī)找到了新的梅森素?cái)?shù)2^44497-1。這件事成了當(dāng)時(shí)不少主流報(bào)紙的頭版新聞。后來(lái)史洛溫斯基還獨(dú)自發(fā)現(xiàn)了6個(gè)梅森素?cái)?shù)，因而被人們譽(yù)為“素?cái)?shù)大王”。也可以說(shuō)，他是“完美數(shù)大王”。

分布式計(jì)算技術(shù)的出現(xiàn)使完美數(shù)的探究如虎添翼。1996年初，美國(guó)計(jì)算機(jī)專家沃特曼編制了一個(gè)梅森素?cái)?shù)計(jì)算程序，并把它放在網(wǎng)頁(yè)上供數(shù)學(xué)家和業(yè)余數(shù)學(xué)愛(ài)好者免費(fèi)使用。這就是舉世聞名的“互聯(lián)網(wǎng)梅森素?cái)?shù)大搜索”（GIMPS）項(xiàng)目，也是全世界第一個(gè)基于互聯(lián)網(wǎng)的分布式計(jì)算項(xiàng)目；該項(xiàng)目主要利用大量普通計(jì)算機(jī)的閑置處理能力來(lái)獲得相當(dāng)于超級(jí)計(jì)算機(jī)的運(yùn)算能力。美國(guó)計(jì)算機(jī)專家?guī)鞝栁炙够?997年建立了 “素?cái)?shù)網(wǎng)”（PrimeNet），使分配搜索區(qū)間和向GIMPS發(fā)送報(bào)告自動(dòng)化。人們只要從該項(xiàng)目下載開(kāi)放源代碼的Prime95或MPrime軟件，就可以馬上尋找梅森素?cái)?shù)了。

為了激勵(lì)人們尋找梅森素?cái)?shù)和促進(jìn)網(wǎng)格技術(shù)的發(fā)展，總部設(shè)在美國(guó)的電子新領(lǐng)域基金會(huì)（EFF）于1999年3月向全世界宣布了為通過(guò)GIMPS項(xiàng)目來(lái)尋找梅森素?cái)?shù)而設(shè)立的 “協(xié)同計(jì)算獎(jiǎng)”。它規(guī)定向第一個(gè)找到超過(guò)100萬(wàn)位數(shù)的個(gè)人或機(jī)構(gòu)頒發(fā)5萬(wàn)美元。后面的獎(jiǎng)金依次為：超過(guò)1千萬(wàn)位數(shù)，10萬(wàn)美元；超過(guò)1億位數(shù)，15萬(wàn)美元；超過(guò)10億位數(shù)，25萬(wàn)美元。但是絕大多數(shù)研究者參與該項(xiàng)目并不是為了金錢，而是出于好奇心、求知欲和榮譽(yù)感。

美國(guó)加州大學(xué)洛杉磯分校的計(jì)算機(jī)專家史密斯于2008年首先找到超過(guò)1千萬(wàn)位的梅森素?cái)?shù)——2^43112609-1，該數(shù)有12 978 189位。這一重大成就被著名的《時(shí)代》雜志評(píng)為“2008年度50項(xiàng)最佳發(fā)明”之一。不過(guò)，史密斯是私自利用學(xué)校的75臺(tái)計(jì)算機(jī)參加GIMPS項(xiàng)目的；本來(lái)這種行為應(yīng)該被處罰，但鑒于他為學(xué)校爭(zhēng)了光，反而受到了校方的表彰。前不久，他獲得了EFF頒發(fā)的10萬(wàn)美元大獎(jiǎng)及金牌一枚。

今年1月7日，美國(guó)數(shù)學(xué)家?guī)扃晖ㄟ^(guò)參與GIMPS項(xiàng)目找到了目前人類已知的最大完美數(shù)——2^74207280（2^74207281-1）。它是第49個(gè)完美數(shù)，長(zhǎng)達(dá)44 677 235位；如果用普通字號(hào)將它連續(xù)打印下來(lái)，其長(zhǎng)度可達(dá)200公里！澳大利亞數(shù)學(xué)家帕克指出，這是一個(gè)巨大的科學(xué)成就。

目前世界上有 192個(gè)國(guó)家和地區(qū) 60多萬(wàn)人使用超過(guò)100萬(wàn)臺(tái)計(jì)算機(jī)參與GIMPS項(xiàng)目。迄今為止，人們通過(guò)該項(xiàng)目已經(jīng)找到15個(gè)梅森素?cái)?shù)，其發(fā)現(xiàn)者來(lái)自美國(guó)（9個(gè)）、德國(guó)（2個(gè)）、英國(guó)（1個(gè)）、法國(guó)（1個(gè)）、挪威（1個(gè)）和加拿大（1個(gè)）。也就是說(shuō)，有15個(gè)完美數(shù)是通過(guò) GIMPS項(xiàng)目被發(fā)現(xiàn)的。全球間接尋找新完美數(shù)的“數(shù)字游戲”仍在進(jìn)行中。

有何實(shí)用價(jià)值

由于完美數(shù)具有奇特的性質(zhì)、無(wú)窮的魅力和極大的挑戰(zhàn)性，千百年來(lái)一直吸引著眾多數(shù)學(xué)家和無(wú)數(shù)數(shù)學(xué)愛(ài)好者對(duì)它進(jìn)行探究。也許有人會(huì)問(wèn)：完美數(shù)有什么用？盡管我們現(xiàn)在還看不到完美數(shù)的實(shí)際用處，但它反映了自然數(shù)的某些基本規(guī)律，并推動(dòng)了“數(shù)學(xué)皇后”——數(shù)論的研究。而構(gòu)成完美數(shù)的關(guān)鍵部分——梅森素?cái)?shù)在當(dāng)代卻具有重要的實(shí)用價(jià)值。

在計(jì)算機(jī)檢測(cè)技術(shù)方面，梅森素?cái)?shù)的尋找可以發(fā)現(xiàn)計(jì)算機(jī)芯片存在的問(wèn)題。例如，去年第四季度上市的Intel Skylake是美國(guó)英特爾公司的第六代核心處理器，這個(gè)全新一代的處理器與第五代Broadwell處理器一樣使用14納米工藝，號(hào)稱不僅提升了CPU性能尤其3D游戲性能，還特別注重節(jié)能性。但是今年初德國(guó)一名GIMPS項(xiàng)目參與者發(fā)現(xiàn)：當(dāng)Intel Skylake處理器在執(zhí)行Prime95應(yīng)用來(lái)尋找梅森素?cái)?shù)時(shí)，運(yùn)算到指數(shù)P=14942209就出現(xiàn)了觸發(fā)系統(tǒng)死機(jī)的漏洞。

Prime95是一款運(yùn)行于微軟視窗中的開(kāi)源軟件，由創(chuàng)立GIMPS項(xiàng)目的沃特曼編寫；這款軟件可以用來(lái)測(cè)試系統(tǒng)的穩(wěn)定性。在所有的拷機(jī)軟件中，Prime95是公認(rèn)的最殘酷的一款。它把負(fù)荷高得有點(diǎn)離譜的工作量加載在CPU身上，以此來(lái)考驗(yàn)CPU的承受能力。這種測(cè)試因其可以發(fā)現(xiàn)其他測(cè)試程序無(wú)法發(fā)現(xiàn)的穩(wěn)定性問(wèn)題而備受關(guān)注，被計(jì)算機(jī)制造商用來(lái)確定計(jì)算機(jī)的穩(wěn)定性。美國(guó)克雷公司、蘋果公司等從20世紀(jì)90年代開(kāi)始就利用梅森素?cái)?shù)來(lái)測(cè)試計(jì)算機(jī)的功能。有趣的是，1996年克雷公司在測(cè)試超級(jí)計(jì)算機(jī) Cray T94的運(yùn)算速度時(shí)，意外發(fā)現(xiàn)了第34個(gè)梅森素?cái)?shù)2^1257787-1，該數(shù)長(zhǎng)達(dá)378 632位。難怪美國(guó)數(shù)學(xué)家埃倫伯格認(rèn)為，梅森素?cái)?shù)在計(jì)算機(jī)工程領(lǐng)域的價(jià)值要遠(yuǎn)大于數(shù)學(xué)領(lǐng)域的價(jià)值。

此外，梅森素?cái)?shù)在密碼學(xué)方面有潛在的應(yīng)用?，F(xiàn)在人們已將大素?cái)?shù)用于現(xiàn)代密碼設(shè)計(jì)領(lǐng)域（如公鑰加密和數(shù)字簽名），其原理是：將一個(gè)很大的數(shù)分解成若干素?cái)?shù)的乘積非常困難，但將幾個(gè)素?cái)?shù)相乘卻相對(duì)容易得多。在這種密碼設(shè)計(jì)中，需要使用較大的素?cái)?shù)，素?cái)?shù)越大，密碼被破譯的可能性就越小。

等待破解之謎

2500多年來(lái)，被發(fā)現(xiàn)的49個(gè)完美數(shù)，統(tǒng)統(tǒng)都是偶數(shù)，其中個(gè)位數(shù)不是6就是8，于是數(shù)學(xué)家提出疑問(wèn)：存不存在奇數(shù)的完美數(shù)？1496年法國(guó)人文主義學(xué)者戴塔普勒說(shuō)，歐幾里得定理已給出所有的完美數(shù)，因此暗示無(wú)奇完美數(shù)存在。1633年11月，笛卡爾給梅森的一封信中，首次開(kāi)創(chuàng)奇完美數(shù)的研究，他認(rèn)為每一奇完美數(shù)必具有 PQ^2的形式，其中P是素?cái)?shù)，并聲稱不久他會(huì)找到，可不僅直到他去世時(shí)未能找到，而且至今沒(méi)有任何一個(gè)數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)一個(gè)奇完美數(shù)。這已成為數(shù)論領(lǐng)域的一大難題。

雖然目前誰(shuí)也不知道奇完美數(shù)是否存在，但經(jīng)過(guò)一代又一代數(shù)學(xué)家研究計(jì)算，有一點(diǎn)是明確的，那就是如果存在一個(gè)奇完美數(shù)的話，那么它一定是非常大的。有多大呢？遠(yuǎn)的不說(shuō)，上世紀(jì)中期挪威數(shù)學(xué)家?jiàn)W爾檢查過(guò)10^18以下自然數(shù)，沒(méi)有一個(gè)奇完美數(shù)；1967年美國(guó)數(shù)學(xué)家塔克曼宣布，如果奇完美數(shù)存在，它必須大于10^36，這是一個(gè)37位數(shù)；1972年，有人證明它必大于10^50；1982年，又有人證明它必須大于10^120；……這種難于捉摸的奇完美數(shù)也許可能有，但它實(shí)在太大，以至超出了人們能夠用計(jì)算機(jī)計(jì)算的范圍了。對(duì)奇完美數(shù)是否存在，產(chǎn)生如此多的估計(jì)，也是數(shù)學(xué)界的一大奇聞！

關(guān)于完美數(shù)還有許多等待破解之謎，如完美數(shù)之間有什么關(guān)系？完美數(shù)是否無(wú)窮多個(gè)？人們還發(fā)現(xiàn)完美數(shù)的一個(gè)奇妙現(xiàn)象：把一個(gè)完美數(shù)的各位數(shù)字加起來(lái)得到一個(gè)數(shù)，再把這個(gè)數(shù)的各位數(shù)字加起來(lái)，又得到另一個(gè)數(shù)，一直這樣做下去，結(jié)果一定是1。例如，對(duì)于28，2+8=10，1+0=1；對(duì)于496有，4+ 9+6=19，1+9=10，1+0=1等等。這一現(xiàn)象，對(duì)除第1個(gè)完美數(shù)6外的所有完美數(shù)是否成立？完美數(shù)另一個(gè)現(xiàn)象更為奇妙：完美數(shù)可表示為連續(xù)奇數(shù)的3次方之和。例如，28=1^3+3^3，496=1^3+3^3+5^3+ 7^3，8128=1^3+3^3+5^3+…+15^3；而第 5個(gè)完美數(shù)33550336的被加者多達(dá)64項(xiàng)，難怪古人找它就花了1 000年。這一現(xiàn)象，對(duì)除6外的所有完美數(shù)是否也成立？完美數(shù)的難題與其他數(shù)學(xué)難題一樣，有待人們?nèi)スタ耍欢平膺@些未知之謎，正是科學(xué)追求的目標(biāo)。

1992年，中國(guó)數(shù)學(xué)家、語(yǔ)言學(xué)家周海中給出了梅森素?cái)?shù)分布的精確表達(dá)式。后來(lái)這一重大成果被命名為“周氏猜測(cè)”

值得一提的是，人們?cè)趯ふ彝昝罃?shù)的同時(shí)，對(duì)梅森素?cái)?shù)的重要性質(zhì)——分布規(guī)律的研究也一直在進(jìn)行著。從已發(fā)現(xiàn)的梅森素?cái)?shù)來(lái)看，它在正整數(shù)中的分布時(shí)疏時(shí)密、極不規(guī)則，因此研究梅森素?cái)?shù)的分布規(guī)律似乎比尋找新的完美數(shù)更為困難。英、法、德、美等國(guó)的數(shù)學(xué)家都曾經(jīng)給出過(guò)有關(guān)梅森素?cái)?shù)分布的猜測(cè)，但他們的猜測(cè)都以近似表達(dá)式給出，而且與實(shí)際情況的接近程度均難如人意。中國(guó)數(shù)學(xué)家、語(yǔ)言學(xué)家周海中經(jīng)過(guò)多年的努力，于1992年 2月首先給出了梅森素?cái)?shù)分布的精確表達(dá)式；后來(lái)這一重大成果被國(guó)際上命名為“周氏猜測(cè)”。美籍挪威數(shù)論大師、菲爾茨獎(jiǎng)和沃爾夫獎(jiǎng)得主塞爾伯格認(rèn)為，周氏猜測(cè)具有創(chuàng)新性，開(kāi)創(chuàng)了富于啟發(fā)性的新方法；其創(chuàng)新性還表現(xiàn)在揭示新的規(guī)律上。就目前研究文獻(xiàn)來(lái)看，一些數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)愛(ài)好者嘗試破解周氏猜測(cè)，卻至今未能證明或反證。

俗話說(shuō)，“一葉知秋”、“滴水映海”。當(dāng)我們追溯完美數(shù)探究歷程之時(shí)，可以窺見(jiàn)其探究蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)家及數(shù)學(xué)愛(ài)好者的辛勤努力，正是由于他們的不懈奮斗，才取得了可喜的進(jìn)展，并創(chuàng)造了今天的輝煌。

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