邵炫, 孫超

(西北工業(yè)大學 航海學院, 陜西 西安　710072)

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針對相關性衰減的子陣子空間降秩檢測及最優(yōu)子陣劃分

邵炫, 孫超

(西北工業(yè)大學 航海學院, 陜西 西安710072)

摘要：針對海洋波導環(huán)境下空間相關性衰減導致檢測性能下降的問題進行研究。結合子空間降秩和子陣處理，提出了子陣子空間降秩檢測方法并對其檢測性能進行分析。結果表明，在相關性衰減的情況下，該檢測方法能夠獲得比全陣列處理更好的檢測性能。同時研究了子陣劃分對子陣檢測性能的影響，并給出了空間相關性衰減下的最優(yōu)子陣劃分方法。研究發(fā)現(xiàn)：最優(yōu)子陣長度和信號相關長度之間存在一定的比例關系；當子陣長度與相關長度比值的取值范圍為1～2.5時，可以獲得最佳的檢測效果。最后針對特定海洋波導環(huán)境，利用蒙特卡羅方法進行仿真驗證。

關鍵詞：空間相關性；指數(shù)冪律相關性模型；卡方分布；子陣目標檢測；最優(yōu)子陣劃分；水下聲學；特征值；特征向量；最大似然；蒙特卡羅方法；信號處理；信噪比

隨著目標減震降噪技術的發(fā)展，聲吶設備逐漸呈現(xiàn)低頻化，大孔徑基陣得到廣泛的應用，相應的陣列處理方法和性能受到關注?，F(xiàn)有的大多數(shù)陣列處理模型都假設基陣接收的聲源輻射信號完全相關，由此獲得了理想的處理效果。然而在實際海洋環(huán)境中，隨著基陣尺度不斷增大，不同陣元接收信號之間會出現(xiàn)空間相關性衰減的現(xiàn)象[1-4]，其衰減程度常用空間相關系數(shù)來描述。當不同陣元的空間相關系數(shù)下降到一定值(通常為1/e)時，可認為接收信號彼此不相關，從而導致基于理想假設模型的陣列處理性能下降[5-8]。此時兩陣元之間的距離被定義為空間相關長度。建立非完全相關信號的陣列處理模型及相應的處理方法與實際更加吻合，也十分必要。本文將主要針對如何提高相關性衰減情況下大孔徑拖曳陣檢測性能的問題進行研究。

子陣處理[9-12]是根據(jù)實際需求，利用不同的子陣劃分方法[13-14]把陣列劃分成若干小的子陣列并對子陣輸出進行聯(lián)合處理的信號處理方法。它常用于改善分布聲源條件下目標檢測和方位估計的性能，但利用子陣處理方法來改善相關性衰減下的檢測性能卻鮮有提及。由于信號空間相關性衰減與空間間隔成正比，選取合適的子陣長度可以減小相關性衰減對陣列處理性能的影響。根據(jù)文獻[12]，對于子陣匹配場波束形成，當子陣長度大約為空間相關長度的2倍時，其信噪比增益與最優(yōu)信噪比增益的差值最小，僅為1 dB。因此，我們認為采用子陣處理對大孔徑拖曳陣在相關性衰減條件下的檢測性能有改善作用。

子空間降秩是一種常用的降維方法[15-19]，它通過特征分解(奇異值分解)或聯(lián)合迭代優(yōu)化等方法構造一個降維子空間，并把數(shù)據(jù)投影到該子空間中達到降維的目的。該方法舍棄了無關的噪聲成分并很大程度地保留了主要的信號成分，因此對模型失配和噪聲干擾有較高的穩(wěn)定性同時減小了計算的復雜度。文獻[15,18]中，利用子空間降秩方法有效地改善了由于角擴展引起的檢測性能下降問題。

本文針對海洋波導環(huán)境中空間相關性衰減的現(xiàn)象，結合子空間降秩和子陣處理，提出了子陣子空間降秩檢測方法并對其性能進行研究。同時，著重分析了子陣劃分對子陣檢測性能的影響，給出了空間相關性衰減下的最優(yōu)子陣劃分方法。文章最后針對特定波導環(huán)境，利用蒙特卡羅方法對子陣檢測方法的性能進行仿真驗證。

1問題描述

1.1陣列信號模型

假設接收陣為一個M元水平均勻線列陣,基陣接收信號x可以表示為

(1)

1.2空間相關矩陣

(2)

式中,Es為信號功率,Rs為歸一化的信號空間相關矩陣,E{·}表示數(shù)學期望,C為信號相關系數(shù)矩陣,G為表征信道傳遞函數(shù)的矩陣。

信號相關系數(shù)矩陣C的元素cij為均勻水平線列陣第i個陣元和第j個陣元接收信號之間的相關系數(shù)。在陣列信號處理研究中通常假設基陣中各個陣元接收信號完全相關,此時矩陣C為全1矩陣。但在實際海洋環(huán)境中,受信道特性等多種因素的影響,不同陣元接收信號之間的相關性隨距離的增大而下降,導致矩陣C中遠離主對角線的元素逐漸減小。信號空間相關性通常用相關長度(定義為相關系數(shù)下降到一定值時對應的2個陣元之間的距離,本文取1/e)來表述。本文采用一種常見的描述海洋環(huán)境中信號空間相關系數(shù)的模型——指數(shù)冪律模型對空間相關矩陣進行建模[7-8,12]。在該模型中,均勻水平線列陣第i個陣元和第j個陣元接收信號之間的相關系數(shù)cij可以表示為

(3)

式中,L為相關長度,a為陣元間距,模型參數(shù)q控制信號相關性衰減的快慢程度,值越大衰減越快。一般來說,q≤2是比較常見的取值范圍,文中假設q=1。

(2)式中的矩陣G是一個由各接收陣元對應的聲信道頻率響應組成的對角陣,其表達式為

(4)

式中,gm為第m個陣元對應的聲信道頻率響應函數(shù)。為了簡化計算使得各個陣元接收信號的功率相同,對各陣元對應的聲信道頻率響應函數(shù)進行歸一化,得

(5)

1.3二元假設檢驗

二元假設檢驗是水下目標檢測中常用的檢測手段,它定義只存在噪聲的情況為零假設H0,信號和噪聲同時存在的情況為備選假設H1。當檢驗統(tǒng)計量大于給定的門限時,判定備選假設H1成立,否則判定零假設成立。

對于全陣列接收數(shù)據(jù)x,其二元假設可以表示為

(6)

根據(jù)文獻[20-21],假設H0和H1下的概率密度函數(shù)分別為

(7)

(8)

式中,矩陣Rn=E{xxH}=σ2IM和Rsn=E{xxH}=EsRs+Rn分別為隨機變量x在零假設和備選假設下的空間相關矩陣,矩陣Qn和Qsn分別為零假設和備選假設下的采樣協(xié)方差矩陣,函數(shù)tr(·)表示矩陣的跡。根據(jù)(7)式和(8)式推導出x的對數(shù)似然比函數(shù),略去常數(shù)項得到相應的檢驗統(tǒng)計量的表達式為

(9)

式中,w為對應的似然比檢測權值。

若檢驗統(tǒng)計量L(x)大于給定的門限γ,則判定備選假設H1成立,即同時存在信號和噪聲;反之,則判定備選假設H0成立,認為只有噪聲存在。

2子陣子空間降秩檢測

2.1檢測算法

子陣子空間降秩檢測是把整個接收陣列分成若干小的子陣列,對各子陣接收數(shù)據(jù)應用子空間降秩波束形成[22],并對各子陣輸出進行聯(lián)合處理的檢測方法。各子陣輸出間的聯(lián)合處理分為相干處理和非相干處理2種方式。相干處理是對各子陣輸出信號進行相干疊加處理,而非相干處理則是對各子陣輸出能量進行疊加處理。本文僅考慮非相干處理的情況。

將整個陣列劃分為非重疊的P個等長度子陣,每個子陣的陣元個數(shù)為M/P。根據(jù)(9)式,第p個子陣對應的似然比檢測權值wp可以表示為

(10)

式中,矩陣Rsp為矩陣Rs中與第p個子陣對應的塊矩陣,Rnp是矩陣Rn中與第p個子陣對應的塊矩陣。

(11)

式中,矩陣Urp=[u1p,u2p,…urp]的列向量為矩陣Rsp前r個較大特征值(特征值按降序排列λ1p≥λ2p≥…≥λrp≥0)對應的特征向量;矩陣Σrp為一對角陣,可以表示為

(12)

式中,λip,i=1,2,…,r為矩陣Rsp前r個較大特征值中的第i個特征值。

非相干子陣子空間降秩的加權矩陣weig-s可以表示為由各子陣加權向量wp-eig,p=1,2,…,P組成的塊對角陣[10]

(13)

由(10)式結合加權向量可以得到

(14)

在本文后續(xù)處理中,以(14)式作為非相干子陣子空間降秩檢測的檢驗統(tǒng)計量。

2.2理論檢測性能推導

文獻[13]對全陣列子空間降秩檢測的性能進行了詳細分析,本文在此基礎上利用其采用的近似方法對非相干子陣子空間降秩檢測的理論性能進行推導。

由于輸入信號x為服從正態(tài)分布的零均值復高斯隨機變量,其空間相關矩陣與假設條件(零假設或備選假設)有關,因此檢驗統(tǒng)計量為假設條件的函數(shù)。又因為輸入信號x是服從正態(tài)分布的零均值復高斯隨機變量,式(14)中的檢驗統(tǒng)計量可以改寫為

(15)

(16)

式中,λp,1≥λp,2≥…≥λp,r≥0為矩陣Rsp前r個較大特征值。

根據(jù)(15)式,非相干子陣子空間降秩檢測的檢驗統(tǒng)計量可以看作K×P×r個隨機變量的加權和,這些隨機變量都服從自由度為2的中心化卡方分布。實際應用中,直接計算其檢測概率存在很大的困難[23],因此這里對檢驗統(tǒng)計量d(x,Hl)的分布采用近似處理,將其近似看作是服從自由度為Nl的加權卡方分布的隨機變量[13],即

(17)

式中,非零加權κl和自由度Nl分別滿足

(18)

根據(jù)卡方分布的理論檢測概率,并結合(17)式,可以得到非相干子陣降秩檢測的理論檢測概率為

(19)

由(19)式可以看出,非相干子陣子空間降秩檢測的理論檢測概率由非零加權和自由度決定,它們都是子陣個數(shù)的復雜函數(shù)。

2.3相關性衰減下的最優(yōu)子陣劃分

本節(jié)主要研究信號空間相關長度對子陣劃分后陣列處理增益和檢測性能的影響,并由此給出一種最優(yōu)子陣劃分方式,因此假設各子陣相互之間沒有重疊且陣元個數(shù)相同,此時各子陣空間相關矩陣具有相同的特征值。

由(18)式可知,當r=1時非零加權κl和自由度Nl可以改寫為

(20)

(21)

式中,Γ(·)為伽馬函數(shù),γ(·)為不完全伽馬函數(shù)。根據(jù)(20)式和(21)式,檢測概率PD可以改寫為

(22)

由(20)式和(22)式可知,自由度Nl與參數(shù)b是子陣長度Ls的單調減函數(shù),而矩陣Rsp的最大特征值λp,1是子陣長度Ls的單調增函數(shù)函數(shù),則對于固定的相關長度,子陣長度Ls增大會同時引起自由度Nl和能量因子σd的減小。但是根據(jù)(22)式,檢測概率PD分別是自由度Nl(Nl為大于等于2的整數(shù))的單調增函數(shù)和能量因子σd的單調減函數(shù)。因此當子陣長度Ls增大時,檢測概率PD的大小取決于自由度Nl和能量因子σd的變化程度,且總會存在一個或幾個子陣長度Ls使得檢測概率PD達到最大。另一方面,因為特征值λp,1的大小與相關長度有關,所以對于不同的相關長度L,使檢測概率PD達到最大的子陣長度Ls不同。

據(jù)此,本文提出一種相關性衰減下的最優(yōu)子陣劃分方法,對于大孔徑線列陣,可以使檢測器的檢測性能達到最優(yōu)。該方法首先利用理論檢測概率公式((22)式),計算出不同子陣劃分情況對應的理論檢測概率,然后選出理論檢測概率最大值對應的子陣個數(shù)作為最優(yōu)子陣個數(shù),最后根據(jù)子陣長度與子陣個數(shù)的關系計算出最優(yōu)子陣長度。

由文中假設條件可知,各子陣陣元個數(shù)相同且相互之間沒有重疊。對于非連續(xù)孔徑的線列陣,不同子陣個數(shù)對應的子陣長度Ls是有限且離散的。因此,將子陣長度Ls可能取到的值一一代入(22)式進行計算,最大檢測概率對應的子陣長度即為最優(yōu)子陣長度Ls-opt。

3仿真結果及分析

仿真分為理論性能仿真和蒙特卡羅仿真兩部分,分別檢驗了非相干子陣子空間降秩檢測方法的理論和實際檢測性能。

3.1理論性能仿真

本節(jié)主要對上文給出的理論分析進行仿真,并通過計算結果對子陣子空間檢測方法的檢測性能及相關性衰減下的最優(yōu)子陣劃分進行說明。理論性能仿真中,接收陣為一均勻線列陣,陣長為500m,共有200個陣元,陣元間距為2.5m。聲源輻射信號的中心頻率為300Hz。

將陣列劃分為等長度125m的4個子陣,圖1給出了信號相關性存在衰減的情況下,全陣列檢測和子陣子空間降秩檢測方法的檢測概率隨輸入信噪比的變化曲線和接收機工作特性(receiveroperatingcharacteristic,ROC)曲線,其結果由(19)式計算得到。其中信號相關長度為62.5m,圖1a)中假設虛警概率為0.1,圖1b)中固定輸入信噪比為-19dB。由圖1可知,對于不同的信噪比和虛警概率,子陣子空間降秩檢測方法的檢測概率總是高于全陣列處理;對于固定的虛警概率,隨著信噪比的增加,子陣子空間降秩檢測方法的優(yōu)勢越明顯。

圖1　　　　全陣列檢測與子陣檢測的理論檢測性能　　　曲線和理論ROC曲線

圖2描述了不同相關長度下與第p個子陣對應的信號相關矩陣最大特征值λp,1的下降程度。圖

中,縱坐標代表特征值的下降程度,它定義為特征值的變化量與不考慮相關性衰減時矩陣特征值的比值。圖中3個子陣長度25 m、62.5 m、250 m對應的子陣個數(shù)分別為20、8、2?？梢钥闯?信號相關性衰減會導致歸一化相關矩陣Rsp最大特征值λp,1的減小,且對于固定的相關長度,子陣長度Ls越大λp,1的下降程度越明顯。

圖2　特征值下降程度隨子陣長度的變化曲線

圖3給出了相關長度為25m和75m時,不同子陣劃分長度對應的理論檢測概率及檢測概率隨信噪比下降程度。圖中,檢測概率下降程度定義為檢測概率的變化量與不考慮相關性衰減時檢測概率的比值?？梢钥闯?信號相關性衰減會降低子陣檢測性能,且子陣長度越大檢測概率下降程度越明顯,這與特征值下降規(guī)律相同。

圖3　不同信號相關長度下,檢測概率和檢測概率下降程度隨信噪比的變化曲線

由2.3節(jié)分析可知,當相關長度固定時存在最優(yōu)子陣長度Ls-opt使得檢測概率PD達到最大,且對于不同的相關長度L,最優(yōu)子陣長度Ls-opt不同。圖4給出了當信噪比為-15 dB時,不同相關長度下理論檢性能概率隨子陣長度的變化趨勢。由圖4可以看出,最大檢測概率對應的最優(yōu)子陣長度Ls-opt隨著相關長度的減小而減小,其長度大約是相關長度的2倍。

圖4　檢測概率隨信號相關長度的變化曲線

為了進一步說明最優(yōu)子陣長度與相關長度的關系,表1和表2給出了在不同采樣快拍數(shù)和信噪比情況下,獲得最大檢測概率時最優(yōu)子陣長度與相關長度的比值Ls-opt/L。根據(jù)表1,兩者比值的取值范圍大致在1～2.5之間,同時該比值隨著信噪比的增大而減小。由表2可知,采樣快拍數(shù)變化對比值Ls-opt/L影響不大。

由以上分析可知,信號相關性衰減會導致相關矩陣Rsp特征值的下降并降低子陣檢測性能;不同子陣劃分長度對應的下降程度不同,縮小子陣長度可以減小信號相關性衰減對檢測性能的影響;對于固定信號相關長度,選取合適的子陣長度(最優(yōu)子陣長度與相關長度比值Ls-opt/L的取值范圍為1～2.5)可以獲得最佳的檢測效果;比值Ls-opt/L的大小是信噪比的減函數(shù)且受采樣快拍數(shù)影響不大。

表1　不同信噪比情況下最大檢測性能時子陣長度與相關長度的比值,K=5

表2　不同快拍數(shù)情況下最大檢測性能時子陣長度與相關長度的比值,信噪比為-19 dB

3.2蒙特卡羅仿真

本小節(jié)通過蒙特卡羅實驗對空間相關性衰減情況下子陣子空間檢測方法的檢測性能和相關性衰減下的最優(yōu)子陣劃分方法進行仿真驗證。

這里使用RAM程序[24]對淺海海域聲場分布進行仿真計算。圖5為環(huán)境參數(shù)及水平線列陣布放示意圖。圖中聲源為一簡諧聲源,聲源頻率為300 Hz,深度為40 m,接收陣為一水平布放的均勻線列陣,布放深度100 m,陣元個數(shù)200個,陣元間距為2.5 m,接收陣元與聲源最近距離為10 km,聲源與陣列法線的夾角為36.9°。仿真海域水深為100 m,海水聲速為1 500 m/s,海水密度為1 024 kg/m3,海底聲速為1750 m/s,海底底質密度為1 900 kg/m3,吸收系數(shù)為0.3 dB/λ。

圖5　聲速剖面及水平線列陣布放仿真參數(shù)示意圖

圖6和圖7分別給出了當K=1和K=5時,全陣列檢測與子陣檢測的檢測性能曲線和ROC曲線。圖中,標志為采用5 000次蒙特卡羅實驗得到的仿真結果,曲線為檢測方法的理論值,此時子陣長度為125 m,相關長度為50 m,檢測性能曲線中虛警概率為0.1,ROC曲線中信噪比為-15 dB?？梢钥闯?仿真結果和理論值十分接近且采樣快拍數(shù)越大,接近程度越好;在相關性衰減的情況下,子陣子空間降秩檢測方法能夠獲得比全陣列處理更好的檢測性能。

為了驗證最佳子陣長度與信號相關長度的比例關系,對子陣子空間降秩檢測在不同相關長度、不同子陣長度下的檢測概率進行了仿真,結果在表3和表4中給出。仿真過程中,采樣快拍數(shù)K=5,虛警概率為0.1。根據(jù)表3當相關長度分別為25 m、50 m和125 m時,最佳子陣長度與相關長度的比值為2.5、1.25和1;而在表4中最佳子陣長度與相關長度的比值為2.0、1.25和1。表5給出了不同采樣快拍數(shù)情況下,最優(yōu)子陣長度與相關長度的比值,此時信噪比為-19 dB,虛警概率為0.1。根據(jù)表5,隨著采樣快拍數(shù)增加,比值有輕微的起伏,但沒有超出1～2.5的范圍。

可以看出其結果與上文理論分析的結果十分吻合,即對于固定的信號相關長度,當子陣長度與相關長度比值的在1～2.5范圍內時,可以獲得最佳的檢測效果。

圖6　當采樣快拍數(shù)K=1時,子陣目標檢測的檢測性能曲線和ROC曲線　　　　　圖7　當采樣快拍數(shù)K=5時,子陣目標檢測的檢測性能曲線和ROC曲線

L/m檢測概率PdLs=12.5mLs=25mLs=50mLs=62.5mLs=100mLs=125mLs=250mLs=500m250.3300.3670.4170.4180.3400.3520.2730.237500.3150.4130.4990.5210.5120.4860.4520.3531250.3110.4520.5560.5830.6710.7090.6730.604

表4　當信噪比為-15 dB時子陣降秩檢測在不同相關長度、不同子陣長度的檢測概率

表5　對于不同的相關長度和采樣快拍數(shù),最優(yōu)子陣長度與相關長度的比值

4結論

本文針對海洋波導環(huán)境中空間相關性衰減的現(xiàn)象,結合子空間降秩和子陣處理,提出子陣子空間降秩檢測方法并著重分析了子陣劃分對檢測性能的影響以及最優(yōu)子陣長度和信號相關長度的關系。文中還針對特定海洋波導環(huán)境,利用蒙特卡羅方法對子陣檢測方法的檢測性能進行仿真驗證。

理論分析和仿真結果表明,在相關性衰減的情況下,子陣子空間降秩檢測方法能夠獲得比全陣列處理更好的檢測性能;縮小子陣長度可以減小信號相關性衰減對檢測性能的影響;對于固定的信號相關長度,當子陣長度與相關長度比值在1～2.5范圍內時,可以獲得最佳的檢測效果;最優(yōu)子陣長度與相關長度的比值Ls-opt/L是信噪比的減函數(shù)且受采樣快拍數(shù)影響不大。

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收稿日期：2015-10-27

基金項目：國家重點基礎研究發(fā)展計劃(6131870201)和國家自然科學基金(11274252、11534009)資助

作者簡介：邵炫(1988—),西北工業(yè)大學博士研究生，主要從事水聲信號處理研究。

中圖分類號：TN911.7

文獻標志碼：A

文章編號:1000-2758(2016)03-0520-09

Reduced-RankSub-ArrayDetectionandtheOptimalSub-ArrayDivisionforSpatialCorrelationAttenuation

ShaoXuan,SunChao

(SchoolofMarineScienceandTechnology,NorthwesternPolythechnicalUniversity,Xi′an710072,China)

Abstract:In this paper, we consider the problem of detection performance degradation caused by the spatial correlation attenuation in the ocean environment. A reduced-rank detector is developed via combining the subspace Eigen Value Decomposition(EVD) with the sub-array processing，and the performance of the detector is evaluated. The results show that the reduced-rank detector using sub-arrays has a better performance than the full-array detector in the presence of imperfect correlation. Meanwhile, effects on the sub-array detection performance of the sub-array geometry are studied, and the optimal sub-array division method is proposed. We notice that there is a certain proportional relation between the optimal sub-array length and the signal correlation length, and that the optimal detection performance can be reached, as the ratio between the sub-array length and the correlation length is in the range of 1 to 2.5. The results are validated by computer simulations.

Keywords:spatial correlation; exponential-power-law modal; chi-square distribution; sub-array target detection; optimal sub-array division; underwater acoustics; eigenvalues; eigenvectors; maximum likelihood; Monte Carlo methods; signal processing; signal to noise ratio