朱玲玲，郭源齊，許楊劍，劉 勇，梁利華

（浙江工業(yè)大學 機械工程學院，浙江 杭州 310014）

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可 靠 性

無鉛焊料中孔洞率的反演辨識

朱玲玲，郭源齊，許楊劍，劉 勇，梁利華

（浙江工業(yè)大學 機械工程學院，浙江 杭州 310014）

摘要:為了確定無鉛焊料中的孔洞含量，提出了一種單軸拉伸實驗與卡爾曼濾波算法(KF)相結(jié)合的反演分析方法。該方法以單軸拉伸實驗中獲得的載荷-位移曲線為依據(jù)，結(jié)合有限元仿真，對焊層中的孔洞率進行反演辨識。反演結(jié)果表明：基于偽實驗數(shù)據(jù)的孔洞率反演，所得到的最大誤差保持在2%以下；針對真實試樣的孔洞率反演，最大誤差保持在3%左右。由此證明該方法在無鉛焊料孔洞率的反演分析上是行之有效的。

關(guān)鍵詞:無鉛焊料；孔洞；內(nèi)聚力模型；反演分析；卡爾曼濾波算法；金屬間化合物

朱玲玲（1991―），女，浙江溫州人，研究生，研究方向為微電子封裝技術(shù)，E-mail:zhulingling317@126.com 。

網(wǎng)絡(luò)出版時間：2016-05-31 11:09:43 網(wǎng)絡(luò)出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/51.1241.TN.20160531.1109.020.html

隨著電子制造業(yè)向高密度、小型化、薄型化發(fā)展，電子產(chǎn)品中的無鉛焊料必須具備較高的可靠性[1]。但在加工過程中常有不可避免的孔洞存在于焊點，這些孔洞常常充當了裂紋尖端從而加速了焊接界面的失效[2-4]。孔洞的特性表征主要有孔洞率、孔洞分布以及孔洞大小的配比，而孔洞率是對焊點性能影響最大的一個特性。為此，獲得焊點內(nèi)部的孔洞率對于焊點的可靠性研究具有重要的意義。目前，用于探測焊點內(nèi)部孔洞率的方法有許多，包括X射線衍射法、超聲波衰減法以及同步輻射法等[5-6]。這些方法雖然能夠獲得較高的孔洞率探測精度，但是對實驗設(shè)備有較高的要求。因此，一些對實驗設(shè)備要求不高的孔洞率識別方法被提出，如反演分析法。針對該方法的研究是當前學術(shù)界的一個熱門方向，在許多行業(yè)中都能見其身影。

反演分析法最初用于地球物理學，其原理是通過分析地震波信息來反演地球內(nèi)部構(gòu)造。近幾十年反演分析法也被廣泛地研究并且運用到熱傳導(dǎo)以及固體力學中[7-8]。雖然反演分析方法被廣泛運用于材料力學，但目前卻較少有學者將反演分析方法運用于材料內(nèi)部孔洞含量的預(yù)測。此外，反演方法也是多種多樣，但是大都有一定的適用性及弊端。如反演誤差較大和反演效率低等。要開展正確的反演分析，其首要條件是，能夠找到合理描述物理現(xiàn)象的理論模型。本文為此提出了一種改進的內(nèi)聚力模型（CZM），能夠合理地描述考慮孔洞的情況下金屬間界面化合物及焊錫合金的失效行為。為正確的反演分析奠定了基礎(chǔ)。此外，筆者采用穩(wěn)定性較好的卡爾曼濾波算法(KF)[9-10]，結(jié)合響應(yīng)面方法來開展反演分析[11]。為快速實現(xiàn)參數(shù)的反演辨識提供了保障。

本文的側(cè)重點主要是集中在失效表征和反演方法的研究上。因此沒有選擇結(jié)構(gòu)復(fù)雜、影響因素較多的實際微小焊球，而是選擇焊層中含有貫穿型孔洞的銅/焊錫粘接試樣作為孔洞率反演辨識的研究對象。該方法能夠為帶有孔洞的焊錫材料的力學性能表征提供一個新的思路。

1　 反演分析方法

反演分析方法的本質(zhì)是由結(jié)果或者與結(jié)果相關(guān)的信息反推出事件發(fā)生的原因或者機制。無鉛焊料中貫穿型孔洞的孔洞率與界面的粘結(jié)性能密切相關(guān)，因此采用單軸拉伸實驗獲取載荷-位移曲線用作反演分析。

反演分析采用的卡爾曼濾波迭代算法可將非線性問題轉(zhuǎn)化成線性問題，并且具有收斂效率高、適定性強等優(yōu)點。KF在利用單軸拉伸實驗進行無鉛焊料孔洞率的反演分析中依賴于三個重要的參數(shù)：當前狀態(tài)測量值、上一狀態(tài)估計值以及決定當前狀態(tài)進度的梯度信息，即實驗或模擬獲得的載荷-位移曲線、反演算法迭代后獲得的參數(shù)解對應(yīng)的曲線數(shù)據(jù)以及其相應(yīng)的梯度信息[12]。KF的迭代方程表達式通常表達為：

式中：xt是包含n個未知材料參數(shù)的當前狀態(tài)量，其下標表示離散化處理后的當前載荷步；是當前載荷步下實驗或模擬獲得的位移向量；是根據(jù)上一載荷步估算參數(shù)xt-1得到的位移向量；Kt是卡爾曼濾波增益矩陣。增益矩陣Kt可表示成：

式中：Rt和Pt分別是誤差協(xié)方差矩陣和測量協(xié)方差矩陣；為梯度矩陣，決定了KF的迭代更新方向，即決定當前狀態(tài)進度的梯度信息，可表示為：

此外，為使卡爾曼濾波算法獲得穩(wěn)定解，有效地降低噪聲，需排除實驗中由于種種不可控因素而導(dǎo)致的隨機誤差。本文對通過實驗或模擬獲得的位移值進行逐步均勻化處理，以提高參數(shù)解的精度和穩(wěn)定性[13]。逐步均勻化修正公式可表示為：

2　 改進內(nèi)聚力模型

本文采用有限元數(shù)值模擬的方法獲取反演信息庫。為了獲得可靠的載荷-位移曲線，保證反演信息庫的適用性，必須考慮裂紋擴展以及斷裂的問題。目前研究裂紋擴展的方法有J積分法、面積能量釋放率法、內(nèi)聚力模型法等。其中，內(nèi)聚力模型法不但簡單、有效，還可以同時用于分析韌性材料和脆性材料的斷裂破壞[14]。由于無鉛焊料本身是韌性材料且熔點較高，與銅反應(yīng)時會產(chǎn)生多層脆性合金，因此選擇內(nèi)聚力模型研究含孔洞界面的粘接性能。

由Tvergaard等[15]提出的三線性內(nèi)聚力模型是較為流行的模型之一，該模型不但計算簡單、結(jié)果精確，并能在一定程度上模擬材料的延性。但是，三線性內(nèi)聚力模型不能表征多數(shù)材料在延性階段應(yīng)力仍會有弱于彈性階段的小幅增長。為此，本文對三線性內(nèi)聚力模型提出改進，以描述無鉛焊料在延性階段應(yīng)力的小幅增長；同時，由于無鉛焊料切向延性較差，因此采用雙線型張力位移關(guān)系作為切向內(nèi)聚力模型[16]。最后，通過ABAQUS的VUEL接口實現(xiàn)其運用。本文改進的內(nèi)聚力本構(gòu)模型如圖1所示。

圖1 改進的內(nèi)聚力本構(gòu)模型Fig.1 Improved CZM constitutive model

其控制方程為：

式中：Tn為法向張力；tT為切向張力；而dn為法向位移；dt為切向位移；σmax與tmax分別為法向及切向能達到的最大張力，而此時的界面張開位移分別對應(yīng)

3　 單軸拉伸實驗及有限元模擬

3.1 單軸拉伸實驗

為了驗證上述單軸拉伸實驗與卡爾曼濾波迭代算法相結(jié)合的反演分析方法的準確性與適用性，首先對孔洞率為0的銅/焊錫粘接試樣進行分析，以確定界面內(nèi)聚力參數(shù)。銅/焊錫粘接試樣如圖2所示，其中無鉛焊料采用Sn-3.0Ag-0.5Cu(SAC305)，尺寸為相應(yīng)的焊接件是電子制造業(yè)常用的紫銅，尺寸為，其中圓柱部分長為20mm。銅棒表面進行打磨拋光后，采用丙酮溶液清洗試樣表面，以抑制焊層界面中孔洞的產(chǎn)生，隨后用熔焊的方法得到Cu/SAC305焊層。

圖2 銅/焊錫粘接試樣示意圖Fig.2 Schematic drawing of copper/solder specimen

銅-焊錫粘接試樣的拉伸曲線受很多因素的影響，包括焊層中的孔洞率、焊錫層的厚度、焊錫材料保持熔融狀態(tài)的時間以及實驗的拉伸速率。本文只需要考慮孔洞率對拉伸性能的影響，因此將試樣的焊層厚度控制為0.6mm，熔融時間定為2 min，拉伸實驗機的拉伸速率設(shè)置為0.2mm/min。

銅/焊錫粘接試樣的單軸拉伸實驗在INSTRON8801臺式萬能拉伸機上進行，載荷由DYNACE II傳感器記錄。在試樣兩端距離Cu/SAC305界面9mm處分別設(shè)置一個觀測點(即圖2中的A、B兩點)，將兩點之間的分開位移作為銅/焊錫拉伸曲線中的位移參數(shù)。觀測點之間的相對位移由非接觸全場的位移測量系統(tǒng)(VIC-3D)來測量。由于該系統(tǒng)的工作原理基于數(shù)字散斑技術(shù)，因此需要在試樣表面噴涂散斑如圖3所示。

圖3 銅/焊錫粘接試樣Fig.3 Copper/solder specimen

銅/焊錫粘接試樣斷裂結(jié)果表明Cu/SAC305界面處有三種斷裂形式：一種是破壞全部發(fā)生在界面金屬間化合物(IMC)內(nèi)的脆性斷裂；另一種是破壞全部在焊錫合金內(nèi)部的韌性斷裂；還有一種是包含了這兩種破壞形式的混合式斷裂。根據(jù)拉伸試樣斷層形貌（圖4）可知，實驗的主要斷裂形式是從一個界面的IMC層過渡到另一個界面的IMC層的混合式斷裂。

圖4 試件斷口形態(tài)Fig.4 Macroscopic fracture appearances of specimens

3.2 有限元模擬

根據(jù)圣維南原理，有限元分析中取銅棒長度為9mm，對銅/焊錫粘接試樣進行簡化建模，模型示意圖及網(wǎng)格劃分情況如圖5所示。其中，銅棒的網(wǎng)格

圖5 銅/焊錫粘接試樣的有限元模型Fig.5 FE model of copper/solder specimen

表1 材料參數(shù)Tab.1 Material properties

I型斷裂模式下，內(nèi)聚力參數(shù)可由單軸拉伸實驗獲得。由于試樣制備過程的人工誤差與實驗過程中的測量誤差，銅/焊錫粘接試樣的拉伸曲線并不完全一致。將實驗數(shù)據(jù)中集中性較好的幾組的均值作為內(nèi)聚力模型的參數(shù)依據(jù)。所得的內(nèi)聚力參數(shù)見表2。

表2 內(nèi)聚力參數(shù)Tab.2 Parameters of cohesive zone model

該組內(nèi)聚力參數(shù)的仿真結(jié)果與實驗比較如圖6所示，仿真曲線與實驗數(shù)據(jù)的吻合效果較好?？梢?，改進內(nèi)聚力模型結(jié)合表2的參數(shù)可以較好地表征Cu/SAC305之間的粘結(jié)性能。

圖6 無孔試樣仿真曲線與實驗曲線的比較Fig.6 Comparison between numerical and experimental results of specimen with no void

4　 無鉛焊料中孔洞率的反演辨識

4.1 孔洞率反演分析方法的實現(xiàn)

利用卡爾曼濾波迭代算法做反演分析時，需計算大量的載荷-位移值以及相應(yīng)的梯度信息。為了提高反演分析的效率，取4種不同孔洞率模型的載荷-位移曲線作為反演信息庫，并以此構(gòu)造載荷-孔洞率響應(yīng)，然后對其進行插值，以減少有限元計算的次數(shù)。載荷-孔洞率響應(yīng)構(gòu)造步驟：1) 假設(shè)孔洞率P的參數(shù)范圍，5%≤P≤20%；2) 根據(jù)拉格朗日插值函數(shù)的要求確定插值的基準點。本文采用三次插值函數(shù)對孔洞率的參數(shù)范圍進行插值，因此需要對孔洞率的參數(shù)范圍進行三等分，即共有4個基準點。3) 針對基準點對應(yīng)的孔洞率(5%，10%，15%，20%)進行有限元計算，得到不同載荷步下的載荷-孔洞率響應(yīng)值；4) 基于上述基點計算結(jié)果，通過拉格朗日插值函數(shù)得到每個載荷步下的孔洞率響應(yīng)值，即一個載荷步對應(yīng)一組載荷-孔洞率響應(yīng)；5) 通過載荷-孔洞率響應(yīng)即可插值獲得任意載荷值對應(yīng)的孔洞率。例如，圖7表示4組孔洞率對應(yīng)的載荷-位移曲線。A點的載荷值結(jié)合載荷步t=15所對應(yīng)的載荷-孔洞率響應(yīng)，根據(jù)拉格朗日插值函數(shù)就可得出A點所對應(yīng)的孔洞率。

圖7 載荷與孔洞率之間的響應(yīng)關(guān)系Fig.7 Response relationship between load and void volume fraction

通過上述反演信息庫的運用發(fā)現(xiàn)，反演信息庫的準確性影響著孔洞率的反演結(jié)果。但是，孔洞率反演信息庫在一定程度上會受孔洞存在的其他特性如孔洞分布與孔洞大小配比的干擾。因此，針對基點對應(yīng)的4個孔洞率(5%，10%，15%和20%)，在每一個孔洞率下都設(shè)置12組孔洞分布隨機的模型。同時，將這12組模型分別按小孔占主導(dǎo)、大小孔均勻、大孔占主導(dǎo)的配置各建立4組。將這些模型結(jié)合表2中的內(nèi)聚力參數(shù)，獲得含孔洞的銅/焊錫粘接試樣的拉伸曲線。利用公式(6)對同一孔洞率下的12組拉伸數(shù)據(jù)進行均勻化處理，最終得到該孔洞率下的載荷-位移曲線，并以此構(gòu)造反演信息庫進行反演計算。

本文利用FORTRAN實現(xiàn)上述孔洞模型，首先根據(jù)需要確定有孔洞的截面尺寸，指定所需的孔洞率；然后設(shè)置不同孔洞尺寸的配比；最后運用函數(shù)生成分布隨機的2D圓形孔。為確保所得孔洞率的準確性，必須排除孔與孔相交、重疊的可能性。當新產(chǎn)生的圓形孔與之前產(chǎn)生的圓形孔相交或重疊時，則將新產(chǎn)生的圓形孔刪除，具體流程如圖8所示。4種孔洞率下的代表性分布如圖9所示。

圖8 隨機孔洞模型建模流程圖Fig.8 Flow chart of random void modeling

圖9 孔洞代表性分布Fig.9 Representive distribution of voids

本文采用單軸拉伸實驗結(jié)合卡爾曼濾波算法的反演分析流程如圖10所示。首先通過無孔試樣的單軸拉伸實驗得到內(nèi)聚力參數(shù)，用于描述銅/焊錫界面的粘結(jié)性能；然后結(jié)合內(nèi)聚力參數(shù)對4個基準點對應(yīng)的孔洞率試樣進行有限元仿真得到載荷-位移曲線，并以此作為反演信息庫。再將有孔試樣單軸拉伸實驗得到的載荷-位移曲線與非基準點對應(yīng)的孔洞率試樣有限元仿真獲得的載荷-位移曲線作為反演目標。最后，根據(jù)反演信息庫構(gòu)建載荷-孔洞率響應(yīng)，利用卡爾曼濾波算法對反演目標數(shù)據(jù)進行逐步迭代更新，直至獲取反演結(jié)果。

圖10 結(jié)合單軸拉伸實驗與卡爾曼濾波迭代算法的反演分析流程Fig.10 Flow chart of the inverse analysis combining uniaxial tension test and the KF algorithm

4.2 反演實例

本文分別建立了一組偽實驗與四組真實驗，驗證孔洞率反演辨識方法的可靠性與適用性。在銅/焊錫粘接試樣有限元模型的焊層中加入8%的孔洞率進行有限元分析(圖11)，值得一提的是此時的內(nèi)聚力單元只存在銅/焊錫之間，不包含孔洞部分。將得到的載荷-位移曲線作為偽實驗的數(shù)據(jù)組，對數(shù)據(jù)分別添加1%，5%，10%和15%的噪聲，以其作為反演目標。圖12為考慮不同噪聲的8%孔洞率模型的拉伸數(shù)據(jù)。

表3表明，每組反演目標均能收斂獲得反演結(jié)果，且最大誤差只有1.68%，這證明卡爾曼濾波算法具有較強的抗噪聲能力。利用卡爾曼濾波算法對無鉛焊料進行孔洞率反演分析，得到的反演結(jié)果收斂性好、精度高。

圖11 含8%孔洞率的銅/焊錫粘接試樣有限元模型Fig.11 FE model of copper/solder specimen with 8% void volume fraction

圖12 考慮不同噪聲的8%孔洞率模型的載荷-位移曲線Fig.12 Load-displacement curves of 8% void rate with different noises

表3 考慮不同噪聲的8%孔洞率模型的反演結(jié)果Tab.3 Inverse results of 8% void rate model with different noises

為進一步驗證孔洞率反演法的適用性，制作焊層中有貫穿型孔洞的銅/焊錫粘接試樣。進行單軸拉伸實驗后，將載荷-位移曲線作為反演目標進行反演分析。采用液態(tài)光致阻焊劑(綠油)阻止銅與焊錫之間的反應(yīng)，以達到制造貫穿型孔洞的效果。利用圖像法處理分別得到4個試樣的孔洞率用于反演結(jié)果的對比，其斷口形貌如圖13所示。

圖13 含孔洞試樣的斷口形態(tài)Fig.13 Macroscopic fracture appearances of specimens with voids

在孔洞的形貌中，除阻焊劑制造出的大且形狀復(fù)雜的貫穿型孔洞外，界面上還存在一些微小的孔洞。相較于大孔洞、貫穿型孔洞，小孔洞、界面孔洞對于試樣的拉伸性能影響較小，因此這里只考慮直徑大于0.1mm的貫穿型孔洞。以上4個試樣的斷裂形式有IMC斷裂(a)和混合斷裂(b)、(c)、(d)(圖14)，因此其載荷-位移曲線的形狀也不相同。對無鉛焊料中的孔洞率進行反演分析，需要根據(jù)反演目標的斷裂形式選擇對應(yīng)的反演信息庫。改進內(nèi)聚力模型，可以很好地模擬不同斷裂形式下的載荷-位移曲線(圖14)，用以建立相關(guān)反演信息庫。

圖14 含孔洞試樣實驗曲線與模擬曲線的比較Fig.14 Comparison between the experimental and numerical curves of specimen with voids

各試樣的孔洞率反演結(jié)果如表4所示。反演結(jié)果誤差最大的是試樣A，偏差為3.03%。由此說明，本文的孔洞率反演分析法具備較高的精確度和可靠性。反演結(jié)果的誤差可能由二個原因引起：一是試樣斷裂形式不同。IMC斷裂形式下，粘接試樣的拉伸曲線之間剛度區(qū)別較小，因而導(dǎo)致該反演結(jié)果的誤差在4個試樣中最大；二是用圖像法獲取的孔洞率，因其未考慮界面細小的孔洞，導(dǎo)致反演結(jié)果偏大。

表4 含孔洞試樣的孔洞率反演結(jié)果Tab.4 Inverse results of specimen with voids

5　 結(jié)論

提出了一種單軸拉伸實驗與卡爾曼濾波迭代算法相結(jié)合的反演分析法用于無鉛焊料中孔洞率的辨識。并且采用改進內(nèi)聚力模型模擬銅/焊錫界面的粘結(jié)性能。通過單軸拉伸實驗，確定了改進內(nèi)聚力模型的相關(guān)參數(shù)，結(jié)合有限元模型建立反演信息庫。一組偽實驗和四組真實驗的反演結(jié)果表明，本文所提出的單軸拉伸實驗與卡爾曼濾波迭代算法相結(jié)合的反演分析法對孔洞率反演辨識誤差較小，抗噪聲能力較強，具備較高的可靠性與準確性。本文立足于方法的研究，因此選擇載荷-位移響應(yīng)曲線作為反演分析的依據(jù)。目前這一方法能為實現(xiàn)無鉛焊料孔洞率的預(yù)測和失效模擬提供一個思路，但是在芯片封裝的實際應(yīng)用中需要選擇其他信息（如電阻率的變化等）開展反演分析。

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（編輯：陳渝生）

Inverse determination of void volume fraction in lead-free solder

ZHU Lingling, GUO Yuanqi, XU Yangjian, LIU Yong, LIANG Lihua
(College of Mechanical Engineering, Zhejiang University of Technology, Hangzhou 310014, China)

Abstract:To determine the void volume fraction of lead-free solder, an inverse analysis method based on an uniaxial tensile test with Kalman filter (KF) algorithm was proposed. In this method, the load-displacement curves from uniaxial tensile test were used in combination with finite element simulation to determine the void volume fraction inverse analysis of solder layer. Inverse analysis result shows that the error based on pseudo-experimental data is below 2% and the error from real experimental specimen is lower than 3%. It indicates that the present inverse analysis method is effective and its result is reasonable.

Key words:lead-free solder; void; cohesive zone model; inverse analysis; Kalman filter algorithm; IMC

doi:10.14106/j.cnki.1001-2028.2016.06.020

中圖分類號:TG42；O302

文獻標識碼:A

文章編號:1001-2028（2016）06-0092-06

收稿日期：2016-03-23 通訊作者：許楊劍

基金項目：國家自然科學基金資助項目（No. 51375448; No. 51375447）

作者簡介：許楊劍（1979－），男，浙江東陽人，副教授，博士，從事固體力學、微電子封裝技術(shù)研究，E-mail:xuyangjian571@163.com ；