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摘 要：常微分方程是解決實際問題中最基本的數(shù)學(xué)理論和方法，方程求解后的結(jié)果代表了自然現(xiàn)象的內(nèi)涵，工程中也經(jīng)常用到常微分方程。在研究實際問題的過程中，我們要先建立起數(shù)學(xué)模型，然后對模型進行分析求解，因此，探討常微分方程具有重要的現(xiàn)實意義。

關(guān)鍵詞：常微分方程；模型構(gòu)建；模型求解

中圖分類號：O175.1 文獻標識碼：B 收稿日期：2015-12-15

一、數(shù)學(xué)建模在高數(shù)教學(xué)中的意義

數(shù)學(xué)建模是用數(shù)學(xué)的方法將特定對象的內(nèi)涵完整、清晰而又簡潔地表述出來。在高數(shù)教學(xué)中建模思想占據(jù)重要地位，它是將數(shù)據(jù)和實際問題相連接的紐帶，以物理、化學(xué)為代表的自然科學(xué)和以金融、管理為代表的社會科學(xué)以及以機械為代表的工程學(xué)中都經(jīng)常用到數(shù)學(xué)模型。

二、數(shù)學(xué)建模在常微分方程模型數(shù)值解法的應(yīng)用

本文以商品價格為例探討數(shù)學(xué)建模的實際應(yīng)用。在完全的市場經(jīng)濟體制中，產(chǎn)品的價格由市場的需求決定：供大于求，產(chǎn)品價格自然上不去；求大于供，產(chǎn)品緊俏，價格自然下不來。換句話說，假定我們忽略一些影響產(chǎn)品價格不斷波動的因素，僅考慮市場和產(chǎn)品因素，可以說，市場上供與求的關(guān)系一定程度上決定了產(chǎn)品的價格，然而，實際上，產(chǎn)品的價格受到多方面的影響，不會完全取決于市場需求，且產(chǎn)品價格也不是一成不變的，它會是一個波動值。

1.模型的構(gòu)建

我們用數(shù)學(xué)模型來表示產(chǎn)品價格與市場需求的關(guān)系：設(shè)定時間為t，產(chǎn)品定價為p（t）。p（t）不等于生產(chǎn)廠家的價格定位，這時市場供需關(guān)系發(fā)生變化，供與求的不均衡會導(dǎo)致產(chǎn)品價格需要重新定價。在新的定價下，供需關(guān)系會再次產(chǎn)生變化，這樣循環(huán)反復(fù)。因為供需關(guān)系的變化，產(chǎn)品的價格就是不斷變化的，是動態(tài)的，我們發(fā)現(xiàn)產(chǎn)品價格p（t）和供求關(guān)系的比值—有正相關(guān)的關(guān)系，我們用f（p，r）代表市場需求，用g（p）代表向市場供應(yīng)的產(chǎn)品數(shù)量（r為設(shè)定值），那么可得到下式

注意，p0代表產(chǎn)品在時間t=0的定價，α是正的實數(shù)。

從這里我們可以看出市場價格的模型是一個關(guān)于一階常微分方程的數(shù)學(xué)模型，可以通過常微分方程的數(shù)值解法求解分析。

2.模型的求解

建立數(shù)學(xué)模型是為了用數(shù)學(xué)方法解決實際過程中存在的問題，數(shù)學(xué)建模即用數(shù)學(xué)語言將實際問題表述出來，這只是解決問題的第一步，這一部分需要我們明確建立模型的目的。同時要搜集大量的資料。還要建立研究對象之間的數(shù)學(xué)模型關(guān)系。然后再對數(shù)學(xué)模型進行求解，求解過程中需要應(yīng)用數(shù)學(xué)理論和計算機技術(shù)，這個過程需要有扎實的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)以及個人的敏銳的觀察力以及大膽的假設(shè)。高等數(shù)學(xué)教學(xué)中經(jīng)常會出現(xiàn)理論知識過于豐富，但是實際應(yīng)用程度卻很低的情況，將數(shù)學(xué)建模應(yīng)用于高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，在解決實際問題過程中具有重要意義，能夠利用它更好地分析實際問題并給出相應(yīng)的結(jié)論。

參考文獻：

[1]王高雄，周之銘，朱思銘，等.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，1978.

[2]I.S.Muchin.?eber die H?ufung der Fehler bei numerischer Integration von Differentialgleichungen[J].Prikladnaya Matamatika I Mekhanika，1952，（16）.