楊 潔,李登峰,賴禮邦

(1.福建農(nóng)林大學(xué)管理學(xué)院,福建福州350002;2.福州大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院,福建福州350116;3.福建船政交通職業(yè)學(xué)院,福建福州350007)

具有風(fēng)險偏好的梯形直覺模糊雙矩陣對策模型及解法

楊 潔1,李登峰2,賴禮邦3

(1.福建農(nóng)林大學(xué)管理學(xué)院,福建福州350002;2.福州大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院,福建福州350116;3.福建船政交通職業(yè)學(xué)院,福建福州350007)

在對策問題中,行動方案的選擇不可避免的需要對預(yù)期支付值(收益值)進(jìn)行估計和排序,且選擇結(jié)果往往受到現(xiàn)實(shí)局中人風(fēng)險偏好程度的影響.因此,該文針對局中人具有風(fēng)險偏好及支付值為梯形直覺模糊的雙矩陣對策進(jìn)行了模型及求解方法的探討.首先,提出了具有風(fēng)險偏好的梯形直覺模糊數(shù)排序方法,再利用雙線性規(guī)劃求解方法,對梯形直覺模糊雙矩陣對策進(jìn)行求解.最后以企業(yè)營銷策略選擇為例,表明了該方法的有效性和實(shí)用性.

雙矩陣對策;梯形直覺模糊數(shù);風(fēng)險偏好;排序方法

§1 引 言

矩陣對策作為一種研究相互作用策略的重要理論,已廣泛應(yīng)用于不同領(lǐng)域.在現(xiàn)實(shí)運(yùn)用中,由于信息的不充分或不準(zhǔn)確,局中人無法準(zhǔn)確得知對策收益值(支付值),局中人支付應(yīng)采用近似估計值而不是精確值[1-3].但已有模糊矩陣對策研究主要是利用Zadeh[4]提出的模糊集理論研究對策論中的模糊性或模糊現(xiàn)象,如策略集、收益矩陣由模糊集來描述.然而,模糊集是用單一的隸屬度同時表示模糊概念或模糊現(xiàn)象的兩個對立面(即“非此即彼”).因此該模糊狀態(tài)僅限于“絕對肯定”和“絕對否定”,無法刻畫一定程度的猶豫不確定性.Atanassov[5]提出的兩標(biāo)度(隸屬度和非隸屬度)直覺模糊集(Intuitionistic fuzzy sets)能很好實(shí)現(xiàn)“非此非彼”性,能同時表示肯定程度、否定程度和猶豫程度三種狀態(tài)信息,在處理不確定性方面更具靈活性和實(shí)用性[6-7].因此,研究支付值為直覺模糊集的對策具有十分重要的理論與應(yīng)用價值.

通過對比研究發(fā)現(xiàn),用直覺模糊集研究對策和用模糊集研究對策在研究方法與內(nèi)容上有很大的不同:前者運(yùn)用兩標(biāo)度直覺模糊集解決對策問題中的模糊性,而后者運(yùn)用單標(biāo)度模糊集;前者在解決對策問題時需要進(jìn)行相互沖突的兩標(biāo)度大小比較即向量(由隸屬度與非隸屬度組成)間的比較,而后者進(jìn)行的是單標(biāo)度大小比較即實(shí)數(shù)(隸屬度)間的比較[7-9].正是這些差異決定了用直覺模糊集研究對策問題會不可避免的出現(xiàn)截然不同的根本性問題,因此需要專門研究能有效解決直覺模糊博弈問題的理論與方法.

目前,模糊矩陣對策的研究主要集中在均衡解的定義、性質(zhì)以及求解模型和方法,其主要思想是根據(jù)模糊矩陣對策解的定義建立模糊數(shù)學(xué)規(guī)劃模型,然后通過模糊數(shù)的特殊處理,尤其是排序處理,將模糊數(shù)學(xué)規(guī)劃轉(zhuǎn)化為經(jīng)典的數(shù)學(xué)規(guī)劃,進(jìn)而得到模糊矩陣對策的解.其中,Campos[10]率先基于模糊數(shù)排序函數(shù)和輔助線性規(guī)劃模型提出了解決模糊矩陣對策的方法;Bector等[11]在Campos基礎(chǔ)上提出了基于對偶線性規(guī)劃和模糊參數(shù)的模糊矩陣對策的線性規(guī)劃求解方法;Vijay等[12]利用模糊數(shù)的排序方法,提出了目標(biāo)模糊且支付模糊的雙矩陣對策的方法;Meada[13]通過模糊數(shù)的可能性測度,提出了具有模糊支付的雙矩陣對策均衡解.可見,模糊量排序問題對于研究模糊對策問題具有十分重要的意義.

此外,在現(xiàn)實(shí)的行動方案選擇中,局中人的個體差異普遍存在,如局中人偏好的不同.本文將融合聯(lián)盟中各局中人的不同偏好信息于直覺模糊矩陣對策中,提出了一種考慮局中人風(fēng)險偏好的梯形直覺模糊數(shù)的矩陣對策模型及解法,使得研究更貼近于現(xiàn)實(shí)應(yīng)用背景.

§2 梯形直覺模糊數(shù)及其排序方法

局中人對行動方案的選擇,需要對不同行動的預(yù)期支付值進(jìn)行比較,這將涉及到模糊量的排序.然而,目前有關(guān)梯形直覺模糊數(shù)的排序并沒有給出有效的方法.因此,本文首先確定梯形直覺模糊數(shù)的排序問題.

2.1 梯形直覺模糊數(shù)的定義和運(yùn)算

其中,w和u表示最大的隸屬度和最小的非隸屬度,滿足0≤w≤1,0≤u≤1,0≤w+u≤1.此外,π(x)=1?μ(x)?υ(x),π(x)為梯形直覺模糊數(shù)的直覺模糊指標(biāo),它反映了x屬于的猶豫程度.特別地,若a1=a2,則退化為一個三角直覺模糊數(shù);若同時成立,則退化為一個區(qū)間直覺模糊數(shù).由此可見,常見的區(qū)間直覺模糊數(shù),三角直覺模糊數(shù)都是梯形直覺模糊數(shù)的特例.

其中,符號“∧”和“∨”分別表示取最大值或最小值.

定義1設(shè)〉為梯形直覺模糊數(shù),定義為梯形直覺模糊數(shù)的α截集,為梯形直覺模糊數(shù)的β截集,其中0≤α≤w,u≤β≤1且0≤α+β≤1.兩截集均為閉區(qū)間,記α截集為,記β截集為其計算分別為

2.2 梯形直覺模糊數(shù)的排序方法

定義2設(shè)分別為梯形直覺模糊數(shù)的α截集和β截集，梯形直覺模糊數(shù)關(guān)于隸屬度μ(x)和非隸屬度υ(x)的值分別定義為

其中,f(α)(α∈[0,w])是非負(fù)遞增函數(shù),且f(0)=0,f(w=1;g(β)(β∈[u,1])為非負(fù)遞減函數(shù),且g(u)=1,g(1)=0.f(α)和g(β)分別表示對不同的α截集和β截集賦予不同的權(quán)重.Jafarian和Rezvani[14]對函數(shù)f(α)和g(β)的具體形式及運(yùn)用情況給出了較多詳細(xì)解釋.本文以f(α)=α/w,g(β)=(1?β)/(1?u)為例主要因?yàn)槠錆M足單調(diào)性且形式簡單,便于進(jìn)行理論分析.在實(shí)際應(yīng)用中,可根據(jù)實(shí)際情況選擇f(α)和g(β).此外,綜合反映了隸屬度的信息,可以看成是隸屬度所表示的梯形直覺模糊數(shù)的中心值(central value)[15];綜合反映了非隸屬度的信息,可以看成是非隸屬度所表示的梯形直覺模糊數(shù)的中心值.

定義3設(shè)分別為梯形直覺模糊數(shù)〉的α截集和β截集,梯形直覺模糊數(shù)關(guān)于隸屬度μ(x)和非隸屬度υ(x)的模糊度分別定義為

定義4〉是梯形直覺模糊數(shù),的值指標(biāo)和模糊度指標(biāo)分別定義為

其中,λ∈[0,1]表示了局中人的風(fēng)險偏好信息.λ∈[1/2,1]表明局中人偏好積極樂觀的正面信息,即更關(guān)注不確定量的滿意程度;λ∈[0,1/2]表明局中人偏好悲觀否定的負(fù)面信息,即更關(guān)注不確定量的不滿意程度.因此,值指標(biāo)和模糊度指標(biāo)可以反映決策者對梯形直覺模糊數(shù)的主觀態(tài)度.此外,當(dāng)λ∈[0,1]一定時,根據(jù)式(15)和式(16)可知是關(guān)于風(fēng)險偏好λ∈[0,1]的線性連續(xù)函數(shù).

定義5〉為2個梯形直覺模糊數(shù),根據(jù)梯形直覺模糊數(shù)的值指標(biāo)和模糊度指標(biāo)定義其排序方法為

2.3 梯形直覺模糊數(shù)排序方法合理性檢驗(yàn)

盡管目前已有的排序方法很多,但由于每個排序指標(biāo)都是從不同的側(cè)面來描述模糊量的狀態(tài),具都有一定的片面性,尚無一種為大家普遍接受的方法.因此,研究者開始研究這些排序方法的合理性問題.Wang和Kerre[16]根據(jù)模糊量的數(shù)學(xué)含義及決策實(shí)際問題要求，提出了評價模糊數(shù)排序方法合理性的一系列公理化標(biāo)準(zhǔn),以此來衡量模糊集的排序方法.本文所提方法至少滿足評價模糊數(shù)排序方法合理性的7個公理化標(biāo)準(zhǔn)中的5個公理.

公理1排序關(guān)系的自反性:對任意梯形直覺模糊數(shù)滿足

公理2排序關(guān)系的等價性:對任意梯形直覺模糊數(shù)和?b,若則有

公理3排序關(guān)系的傳遞性:對任意的梯形直覺模糊數(shù)則有

公理4不相關(guān)模糊量的獨(dú)立性:對任意兩個有限子集F1和F2的梯形直覺模糊數(shù),任意梯形直覺模糊數(shù)∈F1∩F2且∈F1∩F2,當(dāng)且僅當(dāng)在F2上成立,則有在F1上成立;

公理5加法的相容性:對任意的梯形直覺模糊數(shù)滿足w=w?b且u=u?b,若則有

此外,該排序方法綜合了值指標(biāo)和模糊度指標(biāo),具有良好性質(zhì),特別是線性性質(zhì),優(yōu)于較多現(xiàn)存方法[17-18].綜上所述,當(dāng)λ∈[0,1],對任意兩個梯形直覺模糊數(shù)和

§3 具有風(fēng)險偏好的梯形直覺模糊雙矩陣對策模型及解法

3.1 梯形直覺模糊雙矩陣對策模型

當(dāng)局中人p1選取純策略αi∈S1(i=1,2,···,m),局中人p2選取純策略βj∈S2(j=1,2,···,n)時,局中人p1和p2獲得的支付值分別表示為梯形直覺模糊數(shù)

即局中人p1和p2在所有局勢下的支付值可分別直觀地用矩陣表示為:簡潔表示為

當(dāng)局中人p1選擇混合策略y∈Y,局中人p2選擇混合策略z∈Z,局中人p1的期望支付值為根據(jù)梯形直覺模糊數(shù)的運(yùn)算法則,有

類似的,局中人p2的期望支付值?E2(y,z)為:

其中(y,z)表示同一個混合策略,且支付值都為梯形直覺模糊數(shù).

定義6設(shè)有一局勢為(y?,z?)∈Y×Z.若對局中人P1和P2的所有混合策略y∈Y與z∈Z,都滿足,則稱(y?,z?)為雙矩陣對策的均衡點(diǎn)或Nash解,y?與z?分別稱為局中人P1和P2的均衡策略,并稱分別為P1,P2的均衡解.

3.2 梯形直覺模糊雙矩陣對策求解方法

雙矩陣博弈的Nash均衡的求解可以轉(zhuǎn)化為一個二次規(guī)劃問題的求解.假設(shè)(A,B)為任意雙矩陣對策,(y?T,z?T,u?,v?)為雙矩陣對策的一個Nash均衡解,該均衡解可通過求解以下線性規(guī)劃模型獲得.但由于本文局中人p1和p2的期望支付值值都為梯形直覺模糊數(shù),無普遍使用的解概念.此外,由于梯形直覺模糊數(shù)的隸屬度和非隸屬度計算問題,使得均衡策略和均衡解不易求解.因此,根據(jù)本文引入的排序函數(shù),提出一種帶風(fēng)險偏好的梯形直覺模糊雙矩陣對策求解方法.

根據(jù)式(17),局中人p1和p2的期望支付值可轉(zhuǎn)化為帶參數(shù)的雙矩陣對策,表示為

通過以下帶參數(shù)雙線性規(guī)劃模型,可求解(y?,z?,u?(λ),v?(λ)),線性規(guī)劃構(gòu)造如下:

且y?T

§4 運(yùn)用實(shí)例

現(xiàn)有公司M1和M2欲占領(lǐng)某一產(chǎn)品市場,各自擬定下一年度產(chǎn)品的銷售計劃,以便增加自己產(chǎn)品在該市場上的銷售量.公司M1考慮采用下面的2種策略來增加自己產(chǎn)品在該市場上的銷售量:策略α1(加大產(chǎn)品廣告宣傳),策略α2(改進(jìn)產(chǎn)品包裝).公司M2考慮采用同樣的策略來增加自己產(chǎn)品在該市場上的銷售量,即策略β1(加大產(chǎn)品廣告宣傳),策略β2(改進(jìn)產(chǎn)品包裝).兩家公司市場產(chǎn)品銷售策略的選擇問題可以看作是1個雙矩陣對策問題,其中公司M1和M2可分別看作是2個局中人P1和P2.由于市場環(huán)境的復(fù)雜性和信息的不確定性,2家公司的管理者很難精確估計下一年度各種情形(或局勢)下產(chǎn)品銷售量的具體結(jié)果,只能給出近似值,并且?guī)в幸欢ǖ牟淮_定性即猶豫程度.公司M1和M2在所有4種情形(或局勢)下的支付值可表示為下面的梯形直覺模糊數(shù)矩陣

式中,〈(70,80,90,100);0.8,0.1〉為梯形直覺模糊數(shù),表示當(dāng)公司M1和M2都采用“加大產(chǎn)品廣告宣傳”策略時,公司M1的產(chǎn)品銷售量約在70-100(萬單位)之間;對于這個近似估計值公司(決策者)最大的滿意度為0.8,最小的不滿意度為0.1,猶豫度為0.1.矩陣中其它的梯形模糊數(shù)可做類似的解釋.試用本文雙矩陣對策方法確定2家公司的最優(yōu)策略.

當(dāng)兩公司(決策者)的風(fēng)險偏好程度不同,即對應(yīng)不同參數(shù)λ1∈[0,1]和λ2∈[0,1],可根據(jù)式(11)-(17),求得公司M1和M2的模糊預(yù)期支付值指標(biāo)和模糊度指標(biāo)之間的差異程度,分別為:

根據(jù)式(18),求解該矩陣對策的雙線性規(guī)劃模型如下:

當(dāng)兩公司的風(fēng)險偏好程度不同,即對應(yīng)不同參數(shù)λ1∈[0,1]和λ2∈[0,1],可通過求解式(19),求得Nash均衡支付值和對應(yīng)的最優(yōu)策略.如下表列舉:

表1 兩公司的Nash均衡支付值和對應(yīng)的最優(yōu)策略

兩公司的Nash均衡支付值和對應(yīng)的最優(yōu)策略僅列舉部分(限于篇幅問題),通過對不同風(fēng)險偏好λ計算結(jié)果比較分析得到:任一局中人的滿意期望支付值與自身的風(fēng)險偏好程度密切相關(guān),兩者呈現(xiàn)正相關(guān)關(guān)系,即決策者自身的風(fēng)險偏好值越大,其最優(yōu)期望支付值越大.此外,任一局中人的最優(yōu)策略選擇也與對方的風(fēng)險偏好程度密切相關(guān),兩者呈現(xiàn)反相關(guān)關(guān)系,即對方的風(fēng)險偏好值越大,決策者自身的最優(yōu)策略值越小.由此可見,在進(jìn)行行動方案選擇過程中,不可忽視所有局中人的風(fēng)險偏好程度.本文選擇市場銷售策略作為可能應(yīng)用實(shí)例進(jìn)行說明,但該方法同樣適用于其他類似競爭性決策或?qū)Σ邌栴}.

§5 結(jié)束語

由于行動方案的選擇不可避免的需要對預(yù)期支付進(jìn)行估計和排序,本文以梯形直覺模糊數(shù)排序?yàn)榛A(chǔ),提出了具有風(fēng)險偏好且支付值為梯形直覺模糊數(shù)的雙矩陣對策及求解方法.此方法可明確局中人不同風(fēng)險態(tài)度對最優(yōu)策略及最優(yōu)期望支付的影響,有利于最優(yōu)策略的選擇,且由于梯形直覺模糊數(shù)是直覺模糊數(shù)的重要推廣形式,因此本文方法適用于其它形式直覺模糊數(shù)矩陣對策問題.今后,將進(jìn)一步研究其它更貼近現(xiàn)實(shí)的直覺模糊集矩陣對策問題.

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Trapezoidal intuitionistic fuzzy bi-matrix game model with risk preference and its solving method

YANG jie1,LI Deng-feng2,LAI Li-bang3
(1.College of Management,Fujian Agriculture and Forestry University,Fuzhou 350002,China;2.School of Economics and Management,Fuzhou University,Fuzhou 350116,China;3.Fujian Chuanzheng Communications College,Fuzhou 350007,China)

In the process of strategy choice problem,players need to estimate and rank the expected return(payo ff s),and the selected results are often in fl uenced by risk preferences in reality.So a method for trapezoidal intuitionistic fuzzy bi-matrix game with risk preference is researched in this paper.In this method,a new order relation with risk preference of trapezoidal intuitionistic fuzzy number based on the di ff erence-index of value-index is proposed,and then the parametric bi-matrix game model is solved by bilinear programming.Lastly,the method proposed is demonstrated by a real example of the marketing enterprises’strategy choice problem,which shows the e ff ective and practical of the method.

bi-matrix game;trapezoidal intuitionistic fuzzy number;risk preference;ranking method

91A40

O225

A

:1000-4424(2016)03-0357-09

2015-11-23 修改日期:2016-04-15

國家自然科學(xué)基金重點(diǎn)項(xiàng)目(712310003);國家自然科學(xué)基金(71561008);福建省自然科學(xué)基金(2016J05169);福建省中青年教師教育科研(JAS160153)