◇姜榮富

返璞歸真 平易近人
——讀張奠宙教授的文章有感

◇姜榮富

張奠宙教授是著名的數(shù)學(xué)教育家，在我國數(shù)學(xué)教育界享有很高的威望。他筆耕不輟，著書立說，為傳播數(shù)學(xué)思想精神、提高教師數(shù)學(xué)素養(yǎng)發(fā)揮了重要作用；他思想敏銳，敢想敢說，為弘揚(yáng)數(shù)學(xué)教育優(yōu)秀傳統(tǒng)、推動數(shù)學(xué)教育改革作出了重要貢獻(xiàn)。

張教授的著作很多，包括數(shù)學(xué)教育、中小學(xué)數(shù)學(xué)研究、數(shù)學(xué)文化、現(xiàn)代數(shù)學(xué)史等方面。筆者大概從20年前開始接觸張教授的著作，之后就愛不釋手且一路追隨著他。現(xiàn)在，筆者的書架上珍藏著的張教授的著作已不下20本。他寫的文章雖居高臨下但平易近人，他用通俗的語言論述數(shù)學(xué)本質(zhì)，用清晰的筆調(diào)闡釋數(shù)學(xué)思想，用犀利的語言進(jìn)行評論，用真誠的話語指點(diǎn)迷津。閱讀張教授寫的文章，你會經(jīng)歷深入淺出的數(shù)學(xué)思考；討論張教授提的問題，你能感受到返璞歸真的教學(xué)之真。筆者也喜歡思考數(shù)學(xué)與教學(xué)的問題，其中有許多想法得益于張教授的啟發(fā)，至于在文章中直接引用張教授的觀點(diǎn)，那就更是數(shù)不勝數(shù)了。

基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的本質(zhì)和基本思想都是平實(shí)樸素的，而對它們的逐步深入和有系統(tǒng)的運(yùn)用，則又可以用來探索自然、以簡馭繁。教師必須對基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的本質(zhì)和基本思想下一番深切的返璞歸真的功夫，才能把它教得平實(shí)近人[1]。張教授曾經(jīng)說過“小學(xué)數(shù)學(xué)并不簡單”。最近，他在《小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版）》雜志上發(fā)表了一系列結(jié)合教材評論談數(shù)學(xué)知識的理解與教學(xué)的文章，筆者讀后深深地體會到 “教好小學(xué)數(shù)學(xué)更不簡單”。我認(rèn)為“教好數(shù)學(xué)”需要抓住本質(zhì)、重視定義、符合邏輯。

一 理解知識要抓住本質(zhì)，厘清源流

線是組成圖形的基本元素之一，小學(xué)里要學(xué)習(xí)線段、直線和射線。教學(xué)時，我們分別用拉緊的細(xì)繩表示線段的形象，用手電筒發(fā)出的光作為射線的形象。為了強(qiáng)調(diào)線段與射線的區(qū)別，往往把線段的兩個端點(diǎn)特別地加以強(qiáng)調(diào)（如畫大一點(diǎn)，用彩色標(biāo)記），造成線段不能延長的印象。這樣，學(xué)生掌握的線段與射線的概念不僅是孤立的，而且是錯誤的。張教授指出：在歐氏幾何中，直線是不定義的原始概念。將線段向一端無限延長之后成為射線，向兩端無限延長成為直線[2]。這樣，就把線段、直線、射線之間的關(guān)系講得明明白白了。張教授強(qiáng)調(diào)：無限延長，需要依靠人們的想象力，人人都天生有這樣的想象力[3]。把直線作為不定義的原始概念，可能也是遇到了定義它的現(xiàn)實(shí)困難。如果我們承認(rèn)學(xué)生有這樣的想象力，就沒有必要回到具體情境中去尋找直線與射線的形象，因?yàn)椤坝糜邢薇扔鳠o限，不能真的達(dá)到無限”[3]。

筆者理解，教學(xué)可從認(rèn)識線段入手，先觀察拉直的細(xì)繩、桌面的邊緣、房間的踢腳線等形象的事物，從中抽象出線段。再讓學(xué)生想象線段的延長，引出射線與直線的概念。教學(xué)中如果理解了概念之間的關(guān)系，就容易抓住它們的本質(zhì)，再輔以抽象的手段與充分的想象，就能從容地找到合適的教學(xué)策略。從現(xiàn)實(shí)中抽象出來的概念，可以回到現(xiàn)實(shí)中找到它的原型，而在已有概念基礎(chǔ)上想象出來的新概念，就不一定要千方百計(jì)地回到現(xiàn)實(shí)情境中了。

怎樣才能抓住數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)？史學(xué)觀點(diǎn)與應(yīng)用價值是兩個重要的思考方向，循著這兩個方向，容易厘清知識的源與流。在小學(xué)里，認(rèn)識平面直線圖形的基本方法是觀察它的邊與角，角也是組成圖形的重要元素之一。一般地，定義角有兩種方式：一是從一點(diǎn)出發(fā)引出兩條射線所組成的圖形；二是一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成的圖形。前者稱為靜態(tài)定義，后者稱為動態(tài)定義。小學(xué)教學(xué)中，在角的概念學(xué)習(xí)階段一般倚重于靜態(tài)定義，這樣處理有沒有偏離重點(diǎn)？我們可以循著兩個問題來思考：角是如何產(chǎn)生的？角的作用究竟是什么？這兩個問題相互聯(lián)系，并且答案都直接指向于動態(tài)定義。為什么這樣說呢？聯(lián)系到“幾何學(xué)起源于圖形大小的度量”的史學(xué)觀點(diǎn)，不難理解角度就是旋轉(zhuǎn)量多少的度量。張教授指出，角度是確定方向的依據(jù)，將方向與角度聯(lián)接起來，使方向得以數(shù)量化，是幾何學(xué)中的重要一環(huán)[4]。角的度量是幾何學(xué)的基礎(chǔ)，需要盡量提前，一旦有了線段和線段的度量，以及角和角的度量，以后的小學(xué)幾何學(xué)內(nèi)容就有了可靠的度量基礎(chǔ)[5]。厘清了知識的源與流，教學(xué)的目標(biāo)與重點(diǎn)就十分清晰了。角度才是角的本質(zhì)，對于角這個概念的學(xué)習(xí)，要像線段一樣突出其度量的屬性，并且在開始學(xué)習(xí)時就要關(guān)注角的大小比較。

二 教學(xué)概念要重視定義，突出關(guān)鍵

現(xiàn)代數(shù)學(xué)中思考問題的基本方式之一，就是在討論問題之前先想想有關(guān)的關(guān)鍵用語的明確含義——定義。有了定義，就有了討論的依據(jù)[6]。定義在數(shù)學(xué)中的重要性不言而喻，但是作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)，有些定義對于教學(xué)卻沒有什么價值。例如方程，小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的定義是“含有未知數(shù)的等式叫做方程”。張教授指出，這樣的定義對于學(xué)生解方程或者理解方程的本質(zhì)并沒有幫助。他建議這樣定義方程：方程是為了尋求未知數(shù)，在未知數(shù)和已知數(shù)之間建立起來的等式關(guān)系。這樣定義，把方程的核心價值提出來了，揭示了概念的數(shù)學(xué)本質(zhì)[7]。

再如，關(guān)于圓的認(rèn)識，小學(xué)數(shù)學(xué)中一般要求認(rèn)識圓的各部分名稱，學(xué)會畫圓，但不講圓的定義。張教授建議在使用圓規(guī)畫圓之后，不妨提出如下定義：讓線段OA繞著它的一個端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，我們把另一個端點(diǎn)A所畫出的曲線叫做圓，點(diǎn)O稱為圓心，OA稱為半徑。這是一個發(fā)生式的定義，具體地描述了畫圓的過程，對于學(xué)生理解“圓是線段繞其一個端點(diǎn)在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)一周時另一端點(diǎn)的軌跡”這個數(shù)學(xué)定義是很有幫助的。

從有利于教師教學(xué)、有利于學(xué)生理解的角度，張教授對這些傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)定義進(jìn)行適當(dāng)?shù)母脑?，?chuàng)造了新的作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)知識。我們應(yīng)當(dāng)重視這些定義對于學(xué)生理解數(shù)學(xué)的重要性，在教學(xué)中積累豐富的概念教學(xué)的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)。

概念的重要性還體現(xiàn)在知識的相互聯(lián)系之中。如果把數(shù)學(xué)比喻為一張網(wǎng)，那么概念就是網(wǎng)上的結(jié)點(diǎn)，命題就是織網(wǎng)的線。這樣理解，判斷一個概念是不是重要的方法也很簡單，就是看它聯(lián)系其他概念的多寡。在小學(xué)的數(shù)與代數(shù)中，分?jǐn)?shù)是一個關(guān)鍵的概念，它與除法關(guān)系密切，還聯(lián)系到比的概念，是數(shù)系擴(kuò)展的結(jié)果。教學(xué)中通常比較注重從直觀操作中歸納分?jǐn)?shù)的抽象意義，如把一個月餅平均分成2份，每一份是它的，而對分?jǐn)?shù)表示具體量的大小容易忽視。張教授指出，分?jǐn)?shù)是新的數(shù)，數(shù)是有大小的，它介于0和1之間[8]。這樣，我們?nèi)菀桌斫夥謹(jǐn)?shù)的真實(shí)含義其實(shí)是真分?jǐn)?shù)。聯(lián)系上述“分月餅”的活動，關(guān)鍵是讓學(xué)生討論當(dāng)一半的大小沒有辦法用自然數(shù)表示時，應(yīng)該怎么辦？浙江特級教師朱國榮老師像教自然數(shù)那樣教分?jǐn)?shù)[9]，先讓學(xué)生討論“9個月餅平均分給4人，結(jié)果是什么”，把問題聚焦于：每人分得2個后，剩下的這1個該怎么分？怎么表示？經(jīng)過討論，得到“每人分到2個還要多個”。朱老師創(chuàng)設(shè)的問題情境，讓學(xué)生經(jīng)歷了需要“創(chuàng)造”新數(shù)的重要思考，并且還原了分?jǐn)?shù)表示具體量大小的本質(zhì)，是創(chuàng)新的、生動的教學(xué)實(shí)踐。

把分?jǐn)?shù)作為一個具體數(shù)量來認(rèn)識，可以真正解釋分?jǐn)?shù)產(chǎn)生于測量的需要。通常的分?jǐn)?shù)定義是：把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)叫做分?jǐn)?shù)。張教授指出，這里的一份或幾份并不明確，究竟是指物體的本身還是指它們的大??？因此，他建議我們這樣來描述分?jǐn)?shù)：將一個整體平均分，這樣的一份或幾份可以用分?jǐn)?shù)來表示它們的大小。分?jǐn)?shù)能表示小于1、大于0的量[10]。加上“大小”兩個字突出了概念定義的關(guān)鍵。

三 思考數(shù)學(xué)要符合邏輯，適當(dāng)嚴(yán)謹(jǐn)

在圖形與幾何教學(xué)領(lǐng)域，平行是一個比較重要的概念，小學(xué)里學(xué)習(xí)圖形的認(rèn)識 （如平行四邊形）、圖形的運(yùn)動 （平移），到中學(xué)還要學(xué)習(xí)平行線的判定方法。給平行線下定義是件困難的事情，數(shù)學(xué)家也頭疼不已，甚至不知所措。小學(xué)里定義為“在同一平面內(nèi)永不相交的兩條直線叫做平行線”，這個定義存在缺陷，因?yàn)閷χ本€無限延長的理解是超經(jīng)驗(yàn)的，“永不相交”成了沒有辦法檢驗(yàn)的事情。為了加強(qiáng)對平行的感知，我們通過直觀操作“發(fā)現(xiàn)”平行線之間的距離處處相等。張教授提示，從測量的操作活動中得到這個數(shù)學(xué)結(jié)論，需要跨越許多障礙。雖然小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中不必嚴(yán)格證明，但是總要符合邏輯才好。如果一味地將未加證明的“發(fā)現(xiàn)”不加懷疑地當(dāng)作真理，久而久之，養(yǎng)成一種不加論證就斷然肯定的習(xí)慣，必將對以后學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)理性文明帶來負(fù)面影響[11]。

即使平行線之間的距離處處相等得到了驗(yàn)證，那么，我們進(jìn)一步思考，是不是兩條直線之間的距離處處相等，這兩條直線就互相平行了呢？張教授用平移的概念作為基礎(chǔ)，給出簡明清晰的解釋，并強(qiáng)調(diào)理解圖形的平移運(yùn)動，是圖上“所有點(diǎn)按同一方向”做相同距離的移動[12]。我們思考，既然平行線之間的距離處處相等的逆命題是成立的，為什么不拿它來作為判定定理呢？張教授指出，平行線的概念涉及無限延長，直接從概念出發(fā)來檢驗(yàn)無限的過程是不可能的，因此，必須利用第三條直線，借助檢驗(yàn)兩個同位角是否相等的“有限”手段加以解決[13]。幸運(yùn)的是，人類早已經(jīng)能把角的度量做到十分準(zhǔn)確，判斷兩個角是否相等是簡單易行的事情。因此，中學(xué)里學(xué)習(xí)的平行線的判定定理，都是從同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角等角度出發(fā)的。思考數(shù)學(xué)知識內(nèi)部的這些邏輯，其實(shí)也是很有趣的事情，它讓我們對數(shù)學(xué)的公理化思想有了更加深刻的理解。

小學(xué)數(shù)學(xué)教材里的數(shù)學(xué)知識不可能是嚴(yán)密的，但是，教師應(yīng)當(dāng)大體知道它們的邏輯結(jié)構(gòu)，包括公理化的處理方法，領(lǐng)會現(xiàn)代數(shù)學(xué)的思想，能夠比較準(zhǔn)確地把握數(shù)學(xué)本質(zhì)[14]。教師只有把握了數(shù)學(xué)本質(zhì)，教學(xué)中才能做到“精中求簡”。唯有做好精中求簡的研究才能真正提高教學(xué)質(zhì)量與效果，也唯有這樣，才能使得基礎(chǔ)數(shù)學(xué)易學(xué)、好懂、能懂、會用，從而減輕學(xué)生的負(fù)擔(dān)[15]。

張先生是知名的大學(xué)數(shù)學(xué)教授，他能關(guān)注并研究基礎(chǔ)教育，對廣大中小學(xué)數(shù)學(xué)教師來說無疑是一個福音。我們期盼更多的大學(xué)教授能像張先生一樣，參與到基礎(chǔ)教育的數(shù)學(xué)教學(xué)研究中來，引領(lǐng)前行的方向。我們向張教授致以崇高的敬意！

[1][15]項(xiàng)武義.基礎(chǔ)代數(shù)學(xué)[M].人民教育出版社，2004:xii,vii.

[2][3][4][5][12]張奠 宙.數(shù) 學(xué)概念之間需要融會貫通[J].小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2015（4）：13，14.

[6]張景中.數(shù)學(xué)與哲學(xué)[M].北京：中國少年兒童出版社，2011:42.

[7][14]張奠宙等.小學(xué)數(shù)學(xué)研究[M].北京：高等教育出版社，2009:111，前言.

[8][10]張奠宙.與時俱進(jìn)，推陳出新[J].小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2014（5）：5，6.

[9]朱國榮.像教自然數(shù)那樣教分?jǐn)?shù)[J].小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2015（7-8）：42.

[11][13]張奠宙.小學(xué)數(shù)學(xué)課程必須堅(jiān)持“混而不錯”的原則[J].小學(xué) 教學(xué)（數(shù)學(xué) 版），2015（2）：4，5.

（作者單位：浙江省新思維教育科學(xué)研究院）