王海濤，宋詞，王凱

(1.大連交通大學(xué) 土木與安全工程學(xué)院，遼寧 大連 116023；2.大連理工大學(xué) 海岸和近海工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧 大連 116024)

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ARMA模型在淺埋剛性管線變形預(yù)測(cè)的應(yīng)用研究

王海濤1，宋詞1，王凱2

(1.大連交通大學(xué) 土木與安全工程學(xué)院，遼寧 大連 116023；2.大連理工大學(xué) 海岸和近海工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧 大連 116024)

摘要:為了研究隧道開(kāi)挖對(duì)淺埋剛性管線的影響，基于平穩(wěn)時(shí)間序列分析理論，通過(guò)對(duì)ARMA模型的識(shí)別與定階以及參數(shù)的估計(jì)，建立管線變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)處理與預(yù)測(cè)的時(shí)間序列ARMA模型。利用該模型對(duì)大連地鐵1號(hào)線千山路站淺埋剛性管線的變形進(jìn)行預(yù)測(cè)，并將預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，結(jié)果表明：兩者擬合程度很高，ARMA模型取得較好的擬合效果和預(yù)測(cè)精度。說(shuō)明ARMA模型對(duì)管線變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)處理與預(yù)測(cè)是十分有效和可靠的，可為隧道開(kāi)挖過(guò)程中，施工人員做出決策提供技術(shù)參考。

關(guān)鍵詞：地鐵隧道；埋地管線；ARMA模型；變形預(yù)測(cè)

地鐵隧道工程一般處于城市中心地帶，由于地層中各種管線交錯(cuò)密集、分布復(fù)雜，隧道施工必然會(huì)對(duì)其安全造成不利影響，嚴(yán)重威脅地下管線的正常使用和安全。同時(shí)，供水、污水管線等可為工程帶來(lái)大量地下水，影響工程周圍巖土體的穩(wěn)定，嚴(yán)重時(shí)可導(dǎo)致工程事故的發(fā)生[1-5]。地下管線是城市的生命線，是城市賴以生存與發(fā)展的“神經(jīng)”和“血管”，工程建設(shè)必須保證其安全。施工前應(yīng)對(duì)地下管線進(jìn)行變形預(yù)測(cè)，以確定其所受影響程度，并采取必要的保護(hù)措施。國(guó)內(nèi)外學(xué)者在城市地下工程施工對(duì)鄰近埋地管線的影響研究方面做了很多工作，研究方法主要包括理論計(jì)算[6-7]、現(xiàn)場(chǎng)測(cè)試[8]、模型試驗(yàn)[9]和數(shù)值模擬[10-11]等。關(guān)于地鐵隧道施工時(shí)地層沉降及管線變形預(yù)測(cè)研究，主要采用理論計(jì)算法和基于實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)分析法[12]。理論計(jì)算法主要有以Peck理論為代表而不斷發(fā)展、完善、改進(jìn)的經(jīng)驗(yàn)理論法，以及以有限元法為主的數(shù)值預(yù)測(cè)法等。實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)分析法是指利用數(shù)學(xué)方法對(duì)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理并做出預(yù)測(cè)。按照假設(shè)前提的不同，實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)分析法又分為回歸分析和時(shí)間序列分析兩大類。時(shí)間序列法包括了灰色預(yù)測(cè)、指數(shù)平滑法和自回歸移動(dòng)平均模型等[13-15]。20世紀(jì)70年代，美國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家G.E.P.BOX和英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家G.M.Jenkins提出自回歸移動(dòng)平均模型 (Auto-regressivemoving-averagemodel，簡(jiǎn)稱ARMA模型，也稱B-J方法)。它是一種精度較高的時(shí)序短期預(yù)測(cè)方法，其基本思想是：某些時(shí)間序列是依賴于時(shí)間t的一組隨機(jī)變量，單個(gè)序列值具有不確定性，但整個(gè)序列的變化是有規(guī)律的，可以以數(shù)學(xué)模型進(jìn)行描述。ARMA模型強(qiáng)調(diào)“讓數(shù)據(jù)自己說(shuō)話”，不需要事先假定數(shù)據(jù)存在著一定的結(jié)構(gòu)或模式，而是從數(shù)據(jù)本身來(lái)尋找可以較好描述數(shù)據(jù)的模式，從而可以保證模型與數(shù)據(jù)擬合較好。該模型在預(yù)測(cè)過(guò)程中既考慮了研究對(duì)象在時(shí)間序列上的依存性，又考慮了隨機(jī)波動(dòng)的干擾性。與平穩(wěn)時(shí)間序列、周期時(shí)間序列模型相比，ARMA模型的建模方法在數(shù)學(xué)上較為完善，預(yù)測(cè)的精度較高。本文通過(guò)對(duì)ARMA模型的識(shí)別與定階以及參數(shù)的估計(jì)，建立管線變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)處理與預(yù)測(cè)的時(shí)間序列ARMA模型。利用該模型對(duì)大連地鐵1號(hào)線千山路站淺埋剛性管線的變形進(jìn)行預(yù)測(cè)，為隧道開(kāi)挖環(huán)境影響評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)的建立提供理論參考。

1地鐵隧道開(kāi)挖對(duì)淺埋剛性管線的影響

地鐵隧道開(kāi)挖時(shí)地下管線與土體的相互作用主要表現(xiàn)為：管線對(duì)周圍土體起約束作用，約束土體的變形，同時(shí)，土體對(duì)管線有反作用。在地鐵隧道開(kāi)挖之后，初期襯砌達(dá)到一定強(qiáng)度之前，圍巖應(yīng)力會(huì)發(fā)生調(diào)整進(jìn)而產(chǎn)生變形甚至破壞。當(dāng)圍巖變形傳遞到管線處時(shí)，管線產(chǎn)生附加應(yīng)力和彎矩，進(jìn)而產(chǎn)生變形。由于管線對(duì)土體的錨固作用，土體變形得到一定的約束。管線與土體的相對(duì)剛度以及管線周圍土體的變形決定了管線變形的大小。當(dāng)管線軸線平行地鐵開(kāi)挖方向時(shí)，周圍土體對(duì)管線起軸向拉壓作用；當(dāng)管線軸線垂直地鐵開(kāi)挖方向時(shí)，周圍土體會(huì)增大管線接頭轉(zhuǎn)角和彎曲應(yīng)力[16-17]。

1.1剛性管線

隧道開(kāi)挖產(chǎn)生的地層變形會(huì)使剛性管線上產(chǎn)生彎矩，圖1所示為采用焊接、法蘭等剛性接口，材質(zhì)較為堅(jiān)硬的管線所受彎矩及與隧道的位置的關(guān)系。管線的彎矩及其抵抗地層變形的能力受接頭位置、類型和剛度等的影響。

(a)管線與隧道垂直；(b) 管線與隧道平行圖1　隧道開(kāi)挖引起相鄰管線附加彎矩特性圖Fig.1 Additional moment characteristics graph of adjacent pipeline caused by tunnel excavation

1.2柔性管線

由若干節(jié)管道通過(guò)橡膠圈連接而成的承插接口管道(如球墨鑄鐵管、鋼筋混凝土管等)，管材本身剛度較大且基本不產(chǎn)生變形，管線豎向變形主要由相鄰接口處的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)來(lái)實(shí)現(xiàn)。當(dāng)管線兩端通過(guò)工作井、支墩等設(shè)施約束管線位移時(shí)，其穩(wěn)定后中間段均勻沉降，豎向位移等于最大沉降量；其余不均勻沉降段呈折線狀，總變形量逐漸增大。試驗(yàn)表明，對(duì)于敷設(shè)于同種土層中的管線而言，管線不均勻沉降段的相鄰兩節(jié)管道之間均存在一個(gè)大小相等的相對(duì)轉(zhuǎn)角。通訊電纜等管線材質(zhì)較為柔軟時(shí)，則可隨地層出現(xiàn)整體變形，變形及變化規(guī)律與地層較為一致。

剛性管線和柔性管線的控制標(biāo)準(zhǔn)并不相同，管線的埋深也影響著管線變形的直接測(cè)量，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)公式，可以將地表沉降值作為管線破壞的控制標(biāo)準(zhǔn)。淺埋剛性管線的控制標(biāo)準(zhǔn)為豎向沉降，由于埋深淺，沉降值可以直接測(cè)量。本文以淺埋剛性管線為例，介紹管線累計(jì)沉降值的預(yù)測(cè)方法，其他情形的預(yù)測(cè)方法及思路與此相同。

2ARMA模型

(1)

若φ0=0，該模型稱為中心化ARMA(p,q)模型。缺省默認(rèn)條件，中心化ARMA(p,q)模型可簡(jiǎn)寫為：

xt=φ0+φ1xt-1+…+φpxt-p-θ1εt-1-…-θqεt-q

(2)

默認(rèn)條件與AR模型、MA模型相同。引進(jìn)延遲算子，ARMA(p,q)模型簡(jiǎn)寫為：

Φ(B)xt=Θ(B)εt

(3)

式中：

Φ(B)=1-φ1B-…-φpBp，為p階自回歸系數(shù)多項(xiàng)式。

Θ(B)=1-θ1B-…-θqBq，為q階移動(dòng)平均系數(shù)多項(xiàng)式。

顯然：當(dāng)q=0時(shí)，ARMA(p,q)模型就退化成了AR(p)模型；當(dāng)p=0時(shí)，ARMA(p,q)模型就退化成了MA(q)模型。所以，AR(p)模型和MA(q)模型實(shí)際上是ARMA(p,q)模型的特例，它們統(tǒng)稱為ARMA模型。而ARMA(p,q)模型的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)也正是AR(p)模型和MA(q)模型統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的有機(jī)組合。

3基于ARMA模型的淺埋剛性管線變形預(yù)測(cè)

3.1工程概況及數(shù)據(jù)采集

大連地鐵1號(hào)線工程千山路站地貌為冰磧丘陵，場(chǎng)地南高北低，地面高程34.49～38.38m。擬建車站附近建筑物密集，管線、管道眾多。本區(qū)間范圍內(nèi)上覆第四系人工堆積層(Q4ml)、第四系中更新統(tǒng)冰磧層(Q2gl)、下伏震旦系五行山群甘井子組白云質(zhì)灰?guī)r(Zwhg)。本區(qū)間范圍未發(fā)現(xiàn)明顯的斷裂構(gòu)造，局部受區(qū)域構(gòu)造影響，巖石節(jié)理裂隙較發(fā)育。場(chǎng)地構(gòu)造穩(wěn)定性總體較好。場(chǎng)地內(nèi)無(wú)地表河流經(jīng)過(guò)。千山路站J5527號(hào)鑄鐵管線，管徑100mm，埋深0.8m。監(jiān)測(cè)點(diǎn)埋設(shè)方法為：成孔深度嚴(yán)格控制在管線頂上方1.0m處，成孔直徑φ200mm，然后進(jìn)行人工掏土。當(dāng)見(jiàn)管線頂部時(shí)，下放直徑為φ40mm的鋼管，然后在管線頂與鋼管接觸的部位灌注速凝混凝土，將管線頂部與鋼管固結(jié)成一體，最后將高出路面的鋼管截去。鉆孔孔壁和鋼管之間用細(xì)中砂回填。在孔口四周用磚砌成保護(hù)井，頂部為井蓋和保護(hù)井圈。人工挖孔埋設(shè)沉降管回填材料為級(jí)配砂石，回填要分層振搗、分層回填、連續(xù)作業(yè)。必要時(shí)用竹竿、鐵管、鋼筋釬人工輔助插搗，以補(bǔ)充機(jī)械振搗不足?；靥罹嚯x地面lm時(shí)，開(kāi)始澆注混凝土至路面，為防止路面塌陷，雨水滲漏，澆注要密實(shí)，并在地面鋼管處做保護(hù)井。其監(jiān)測(cè)點(diǎn)的布置示意圖如圖2所示?，F(xiàn)場(chǎng)測(cè)點(diǎn)實(shí)際埋設(shè)情況如圖3所示。

圖2　測(cè)點(diǎn)埋設(shè)示意圖Fig.2 Sketch of measuring points

圖3　現(xiàn)場(chǎng)測(cè)點(diǎn)埋設(shè)圖Fig.3 Layout of monitoring point

管線累計(jì)沉降曲線如圖4所示，管線日沉降量如圖5所示?？梢钥闯觯罔F開(kāi)挖導(dǎo)致管線產(chǎn)生沉降，開(kāi)挖掌子面距離管線較近時(shí)管線日沉降量較大，日沉降最大值達(dá)0.46mm/d。

圖4　管線累計(jì)沉降量隨時(shí)間分布圖Fig.4 Cumulative settlement of pipeline with time distribution

圖5　管線日沉降量隨時(shí)間分布圖Fig.5 Day settlement of pipeline with time distribution

3.2數(shù)據(jù)平穩(wěn)性檢驗(yàn)

只有平穩(wěn)序列才能直接建立ARMA模型。設(shè)累計(jì)沉降值序列為x，首先應(yīng)檢驗(yàn)x是否為平穩(wěn)序列?？梢酝ㄟ^(guò)序列的自相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)序列的平穩(wěn)性。自相關(guān)—偏自相關(guān)分析圖如圖6～7所示。

圖6　x序列自相關(guān)—偏自相關(guān)分析圖Fig.6 Analysis chart of x series autocorrelation-partial autocorrelation

圖7　D(x)序列自相關(guān)—偏自相關(guān)分析圖Fig.7 Analysis chart of D(x) series autocorrelation--partial autocorrelation

由圖6可見(jiàn)，x序列的自相關(guān)系數(shù)并沒(méi)有很快地落入隨機(jī)區(qū)間，即不趨近于0。故x為非平穩(wěn)序列。很多非平穩(wěn)序列可以通過(guò)適當(dāng)處理(比如，逐期差分)轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)序列。對(duì)x序列進(jìn)行二階逐期差分，設(shè)新序列為x2，檢驗(yàn)x2的平穩(wěn)性。x2的自(偏)相關(guān)系數(shù)如圖7所示，可見(jiàn)滯后期大于1時(shí)，自相關(guān)系數(shù)便落入隨機(jī)區(qū)間，因此可以直觀地判斷x2為平穩(wěn)序列。

為了更進(jìn)一步判斷x2的平穩(wěn)性，比較x2樣本均值與標(biāo)準(zhǔn)誤差的大小關(guān)系，當(dāng)樣本均值落入正負(fù)2倍標(biāo)準(zhǔn)誤差區(qū)間時(shí)，認(rèn)為序列滿足0均值假設(shè)，即序列滿足平穩(wěn)性。計(jì)算得到，x2的均值為-0.000 384，不顯著為0的自相關(guān)系數(shù)取第1項(xiàng)，算得x2的標(biāo)準(zhǔn)誤差為0.002 732。因此可以認(rèn)為x2序列為平穩(wěn)序列，可以建立ARMA模型。

3.3模型的識(shí)別與建立

觀察圖7，從自相關(guān)分析圖可見(jiàn)，當(dāng)滯后期大于1時(shí)，序列的樣本自相關(guān)系數(shù)趨于0，從偏自相關(guān)分析，滯后3期以后的偏自相關(guān)系數(shù)明顯不為0，并且序列的自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)都具有截尾性，因此可以建立ARMA(3,1)模型。

當(dāng)p=3，q=1時(shí)，模型參數(shù)估計(jì)與相關(guān)檢驗(yàn)結(jié)果如圖8所示。從圖8中可以看出：各滯后多項(xiàng)式的倒數(shù)根都在單位圓內(nèi)，說(shuō)明過(guò)程既是平穩(wěn)的，也是可逆的。

因此，x2序列的表達(dá)式可以寫成：

圖8　模型參數(shù)估計(jì)與相關(guān)檢驗(yàn)結(jié)果Fig.8 Model parameters estimation and related inspection result

3.4模型檢驗(yàn)

常通過(guò)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蜌埐畹碾S機(jī)性來(lái)評(píng)價(jià)模型的優(yōu)劣。對(duì)x2序列建立ARMA(3,1)模型，對(duì)模型殘差及殘差平方進(jìn)行自相關(guān)檢驗(yàn)，結(jié)果如圖9～10所示?？梢钥闯觯瑲埐罴皻埐钇椒降淖韵嚓P(guān)系數(shù)很快地落入置信區(qū)間，從而可以直觀地判斷出殘差序列是純隨機(jī)的。另外，用Jarque-Bera法檢驗(yàn)殘差的正態(tài)性，結(jié)果如圖11所示，服從正態(tài)分布的概率為0.903 819。綜上所述，模型的殘差序列具有隨機(jī)性，模型通過(guò)檢驗(yàn)。

3.5管線變形預(yù)測(cè)

利用x2序列的ARMA(3,1)模型靜態(tài)預(yù)測(cè)x序列，預(yù)測(cè)結(jié)果如表1所示?？梢钥闯觯瑑烧邤M合程度很高，前期數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)誤差相對(duì)較大，最大誤差精度為8.0%，后期數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)精度相對(duì)較高，除個(gè)別數(shù)據(jù)有一定誤差外，預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)與原始數(shù)據(jù)基本重合。

圖9　殘差自相關(guān)—偏自相關(guān)分析圖Fig.9 Analysis chart of residual error autocorrelation-partial autocorrelation

圖10　殘差平方自相關(guān)—偏自相關(guān)分析圖Fig.10 Analysis chart of residual square autocorrelation--partial autocorrelation

圖11　殘差正態(tài)性檢驗(yàn)Fig.11 Residual normality tests

利用ARMA模型，動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)未來(lái)1個(gè)星期管線沉降累計(jì)值的變化情況，如表2所示。從表2可知，管線累計(jì)沉降量在4.47～4.50mm范圍變化，變化幅度較小，即管線沉降已趨于穩(wěn)定，可為施工人員做出決策提供技術(shù)參考。

表1　管線累計(jì)沉降預(yù)測(cè)結(jié)果及誤差精度

表2　未來(lái)1個(gè)星期的預(yù)測(cè)值

4結(jié)論

1)基于ARMA模型對(duì)大連地鐵1號(hào)線千山路站淺埋剛性管線的變形進(jìn)行預(yù)測(cè)。通過(guò)對(duì)管線的累計(jì)沉降序列進(jìn)行二階差分得到序列x2，針對(duì)x2序列建立ARMA(3, 1)模型，并利用該模型預(yù)測(cè)了管線累計(jì)沉降，預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)誤差較小，除個(gè)別數(shù)據(jù)有一定誤差外，預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)基本重合，表明ARMA模型可以用來(lái)預(yù)測(cè)管線累計(jì)沉降。

2)ARMA模型預(yù)測(cè)方法概念簡(jiǎn)單，結(jié)果反饋迅速，為隧道開(kāi)挖環(huán)境影響評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)的建立提供理論參考。

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* 收稿日期：2015-08-25

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51208073)；遼寧省博士啟動(dòng)基金資助項(xiàng)目(20121061)

通訊作者：王海濤(1982-)，男，湖北隨州人，副教授，博士，從事巖土工程與地下結(jié)構(gòu)工程方面的研究;E-mail：wht@djtu.edu.cn

中圖分類號(hào)：TU279.7

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1672-7029(2016)06-1122-07

Research on ARMA model and its application to prediction ofshallow buried rigid pipeline deformation

WANG Haitao1，SONG Ci1，WANG Kai2

(1.SchoolofCivilandSafetyEngineering,DalianJiaotongUniversity,Dalian116028,China;2.StateKeyLaboratoryofCoastalandOffshoreEngineering,DalianUniversityofTechnology,Dalian116024,China)

Abstract:In oder to study the effect of tunnel excavation on buried pipeline, the time series ARMA model for processing and forecasting the deformation data of pipeline. The stationary time series analysis theory, the estimation of parameters and the identification of the order of ARMA model is used in the process above. Using the method of time series to model and analysing the deformation monitoring data of shallow buried rigid pipeline in Qianshan Road Station of Dalian metro line one, the prediction are in good agreement with actual measurements; It is proved that the method is basically feasible.

Key words:subway tunnel; buried pipeline; ARMA model; deformation prediction