關卓懷，蔡敢為

（1.農業(yè)部南京農業(yè)機械化研究所，南京 210014；　2.廣西大學 機械工程學院，南寧 530004）

?

轉子彎扭耦合振動共振特征分析

關卓懷1，2，蔡敢為2

（1.農業(yè)部南京農業(yè)機械化研究所，南京 210014；2.廣西大學 機械工程學院，南寧 530004）

摘要：轉子存在偏心距時，彎曲振動和扭轉振動之間會相互作用產生彎扭耦合振動。目前對彎扭耦合振動的研究主要集中于其非線性特征，針對共振振幅大小和共振影響因素等共振特征的研究卻比較少見。在實際的結構設計工作中，有時要利用耦合共振獲取更大的振幅和振動能量。所以有必要從共振特征入手，對轉子的彎扭耦合振動開展進一步的研究。首先建立偏心轉子的彎扭耦合振動模型，使用小參數(shù)法對振動方程求解。其次分析扭轉振動、彎扭振動產生耦合共振的條件，詳細比較各振型共振振幅的大小和各參數(shù)對共振振幅的影響。然后以具體的算例，對各參數(shù)對彎扭耦合共振振幅大小的影響進行數(shù)值模擬，計算各階共振振幅的大小，給出具有最大共振振幅時的參數(shù)條件，驗證理論分析，為彎扭耦合振動的研究工作提供思路和依據(jù)。

關鍵詞：振動與波；轉子；彎扭耦合振動；耦合共振；振幅

轉子存在偏心距時，彎曲振動和扭轉振動會相互影響產生耦合振動[1]。在轉速和外加激勵頻率達到一定條件時，這種耦合振動同樣會產生共振[2]。學者們已對彎扭耦合振動的非線性特征開展了一些研究[3–8]，但是對彎扭耦合振動共振特征的研究卻并不多見?，F(xiàn)有文獻并沒有明確地將彎曲耦合共振、扭轉耦合共振和彎扭耦合共振進行逐個分析，也未見對各階振幅進行詳細的計算比較。在實際將彎扭耦合振動理論應用到故障診斷、振動時效等領域中時，振幅的大小是一項重要參數(shù)[9,10]。所以有必要對彎扭耦合振動的共振特征進行詳細的分析，比較彎扭耦合共振各階共振振幅之間的大小關系，明確影響彎扭共振振幅大小的因素，確定最大共振振幅時的參數(shù)條件，并通過數(shù)值仿真的方法驗證理論分析。

1　轉子彎扭耦合振動方程

以Jeffcott轉子為研究對象，模型如圖1所示,圓盤坐標如圖2，參數(shù)如下：圓盤的質量為m，轉動慣量J，彎曲剛度k，扭轉剛度kt，平動阻尼c，轉動阻尼ct。圓盤的幾何形心為o1(x,y)，質心為c(xc,yc)點，偏心距為e。轉軸為剛性支撐的無質量柔性軸，并與圓盤相交于o點。φ為圓盤轉過的角度，圓盤轉速為Ω。以上述模型為研究對象，采用Lagrange方程法，建立轉子的動力學方程得

圖1　圓盤坐標

圖2　Jeffcott轉子模型

使用小參數(shù)法進行求解得[5]

式(2)、式(3)、式(4)為偏心轉子的彎扭耦合振動響應，其中

其中ω0為彎曲振動固有頻率；

ωt0為扭轉振動固有頻率；

ω1為外加激勵力頻率；

ωT1為外加激勵力矩頻率。

2　彎扭耦合共振特征

2.1扭轉振動

扭轉振動響應表達式(3)等號右邊第一項為轉子在外部激勵力矩作用下的扭轉振動響應，其余各項均為彎曲振動激勵起的扭轉振動響應。且都與AxAy相關，說明扭轉耦合振動振幅與彎曲振動振幅的大小相關。對于各項同性的轉子，Ax≈Ay，所以Aθ1≈0Aθ5≈0Aθ6≈0。對于各項異性的轉子，雖然 Aθ1、Aθ5、Aθ6不等于零，但是依然存在關系Aθ1

(1)當ωT1=ωt0，即外加力矩的激勵頻率等于轉子扭轉振動固有頻率時，經(jīng)典扭轉振動達到共振狀態(tài)，其共振振幅

主要與外加力矩的大小有關。

(2)當ωt0=||Ω-ω1時，頻率成分為||Ω-ω1的扭轉振動達到耦合共振，共振振幅

其大小與激勵力的頻率ω1、彎曲振動振幅Ax和經(jīng)典扭轉共振振幅Aθ這三個量的大小有關。當ω1=ω0時，彎曲振動達到共振狀態(tài)，Ax取最大值。即時，Aθ2取最大值

eFx可等效視作轉子偏心造成的外力對轉子的扭矩作用，相比于外加扭矩M0為較小的量，所以Aθ2max?Aθmax。

同理，ω1=ω0時，Aθ3取最大值。Aθ3、Aθ4相比Aθ2是一個小量，與Aθ相比則更為不明顯。

2.2彎曲振動

彎曲振動響應方程(2)和(3)右端均有六項，第一項Ax為外力作用下的彎曲振動響應。第二項Ax1為質量偏心引起的彎曲振動響應。后面四項均為扭轉振動激勵起的彎曲振動，頻率成分為且當，振幅分別為：Ax2Ax3Ax4Ax5。

當他們分別滿足共振的頻率、轉速要求時，共振振幅分別為：

(1)當ω1=ω0時，外加激勵力頻率等于轉子彎曲振動固有頻率，外加激勵力作用下的彎曲振動發(fā)生共振，共振振幅

與經(jīng)典的單自由度系統(tǒng)強迫振動特性一致。

當ω1=Ω時，質量偏心引起的彎曲振動達到共振狀態(tài)，且ω1=Ω=ω0時，共振振幅最大式中Ax11max是由于質量偏心引起的彎曲振動響應，只與偏心距和阻尼比有關。Ax12max是由于偏心質量引起的扭轉振動影響下的彎曲振動響應，與扭轉振動振幅相關。上節(jié)分析中已得到結論，為一個小量，Ax12max較小，所以Ax1max主要與偏心距有關。

(2)當||ωT1±Ω=ω0時，頻率成分為||Ω±ωT1的彎曲振動達到耦合共振狀態(tài)。其共振振幅為

Ax2,Ax3的大小與激勵力矩的頻率ωT1有關，當ωT1=ωt0即扭轉振動達到共振狀態(tài)時，共振振幅最大，轉速需要滿足條件，此時

Ax2max、Ax3max從表達式上來看是一致的，但是他們到達共振狀態(tài)時的條件是不一樣的。Ax2max和Ax3max僅在各自滿足共振條件時大小相等，但是在參數(shù)確定后，只有一種振型能滿足共振條件，達到共振狀態(tài)。

Ax2max和 Ax3max與 Aθmax（經(jīng)典扭轉振動共振振幅）在在同一個數(shù)量級上。

由于在求解時，略去了ε2以及更高階項。如果取更高階數(shù)，會得到更多的頻率成分。但是其振動特性都符合上述規(guī)律，且都小一階共振振幅。

綜上，彎曲耦合共振的頻率條件為

當彎曲耦合振動和扭轉耦合振動同時滿足共振條件時，轉子達到彎扭耦合共振狀態(tài)。綜合彎曲、扭轉振動的共振條件可得，轉子彎扭耦合共振的條件為

3　數(shù)值仿真

3.1扭轉振動

忽略重力影響，設旋轉頻率Ω=134 Hz，外加激勵頻率ω1=50 Hz，在不同頻率的外加激勵力矩作用下，扭轉振動的幅頻圖如圖3所示。ωT1=ωt0=147 Hz時，扭轉振動振幅最大，為經(jīng)典扭轉共振。ωT1=||Ω-ω1=84 Hz時也存在一個峰值，說明由于彎扭耦合作用，彎曲振動激勵的頻率成分為||Ω-ω1的扭轉振動。

設外加激勵頻率ω1=200 Hz，轉速Ω發(fā)生變化時，頻率成分為||Ω-ω1的扭轉振動振幅的變化如圖4所示。

當轉速||Ω-ω1=147 Hz=ωt0時振幅最大，即為扭轉耦合共振。外加激勵力ω1變化時，扭轉耦合共振振幅的變化如圖5所示。

圖3　扭轉振動幅頻圖

圖4　扭轉耦合振動振幅隨轉速的變化

圖5　不同頻率外加激勵力作用下的扭轉耦合共振振幅

扭轉耦合共振在ω1=ω0=335 Hz處取最大值。這是因為扭轉耦合振動是由彎曲振動激勵引起，當彎曲共振時，扭轉耦合振動的振幅也達到最大。

扭轉耦合振動的振幅與轉速Ω和外加激勵頻率頻率ω1有關。三個量的關系如圖6所示。

扭轉振動的峰值線為||Ω-ω1=ωt0=147 Hz，此條件下頻率成分為||Ω-ω1的扭轉振動產生耦合共振。且當ω1=ω0時，由于彎曲振動達到共振狀態(tài)，所以由扭轉耦合振動共振振幅最大，此時。

圖6　轉速、外加激勵頻率和扭轉耦合振動振幅的關系

3.2彎曲振動

圖7　彎曲振動幅頻圖

設外加激勵力矩 ωT1=150 Hz，轉速頻率Ω=100 Hz彎曲振動的幅頻圖如圖7所示。的彎曲振動。經(jīng)典彎曲振動的振幅遠大于耦合作用激勵的彎曲振動振幅(大于圖中所顯示的最大值)。在當前數(shù)值條件下，頻率為的彎曲耦合振動振幅大于頻率為

圖8　彎曲耦合振動振幅隨轉速的變化

轉速Ω=ω0-ωT1=185 Hz時，振幅最大，即產生了彎曲耦合共振。當ωT1變化時，振幅的變化如圖9所示。ωT1=147 Hz時，由于扭轉振動達到了共振狀態(tài)，彎曲耦合共振的振幅最大。

圖9　不同頻率外加激勵力矩作用下的彎曲耦合共振振幅

綜合考慮轉速和外加激勵力矩的影響，彎曲耦合振動振幅如圖10所示。

圖中彎曲耦合振動振幅有兩條峰值線，分別是ωT1=147 Hz和Ω+ωT1=335 Hz。前者是因為扭轉振動達到共振狀態(tài)，由于耦合作用，扭轉振動產生的彎曲振動振幅會比較大。后者是彎曲耦合振動達到耦合共振狀態(tài)，所以振幅較大。

圖10　轉速、外加激勵頻率和彎曲耦合振動振幅的關系

當兩個條件都滿足時，彎曲振動和扭轉振動振幅都達到最大值，也就是彎扭耦合共振，與理論分析結果一致。

4算例

為了更直觀地看出各共振振幅的大小關系，對各量賦值進行具體的計算對比。參數(shù)如下：

e=0.001 mM0=1N mFx=10 NJ=0.07 kgm2m=10 kg，ξ=0.06 ξt=0.03 ω0=22 Hz ωt0=14 Hz Ω=8 Hz為轉子的旋轉頻率，ω1為外加激勵力頻率，ωT1為外加激勵力矩頻率。

設外加激勵力的頻率ω1=10 Hz，則扭轉振動為

設外加激勵力矩的頻率ωT1=14 Hz，則彎曲振動為

比較計算結果，由耦合作用激勵的彎曲振動中，頻率成分為|Ω-ωT1|的彎曲振動共振振幅Ax2max最大，與分析結果一致。

5結　語

（1）彎曲耦合振動、扭轉耦合振動在滿足一定的頻率條件時，會產生彎曲耦合共振、扭轉耦合共振。但是僅在時，產生彎扭耦合共振，并且時耦合共振振幅最大（根據(jù)具體的參數(shù)情況選取正負號）；

（2）彎曲振動和扭轉振動相互影響：彎曲振動振幅與彎曲振動激勵頻率和扭轉振動振幅相關；扭轉振動振幅與扭轉振動激勵頻率和彎曲振動振幅相關?？梢酝瑫r達到最大值，此時彎扭耦合振動的振幅也達到最大；

（3）由耦合作用激勵起的彎曲振動中，頻成分為||Ω±ωT1的彎曲振動振幅最大；由耦合作用激勵起的扭轉振動中，頻成分為||Ω±ω1的扭轉振動振幅最大。

參考文獻：

[1]Kato M,Ota H,Nkaamura S I.Torsional vibration of a rotating shaft driven byconstant acceleration[C].Asiaapcific Vibration Conference’93.Kitakyushu,November 1993:434-439.

[2]黃典貴，蔣滋康.扭轉振動特征在軸系機械故障診斷中的應用[J].清華大學學報，1995，35(52)：7-10.

[3]劉占生，崔穎，黃文虎，等.轉子彎扭耦合振動非線性動力學特性研究[J].中國機械工程，2003，14(7)：603-605.

[4]Diken H,Tadjbakhsh I G.Unbalance response of flexible rotor coupled with torsion[J].Journal of Vibration Acoustics Stress and Reliability in Design,1989,1(1): 179-186.

[5]何成兵，顧煜炯，陳祖強.質量不平衡轉子的彎扭耦合振動分析[J].中國電機工程學報，2006，26(14)：114-139.

[6]R H Plaut,J Wauer.Parametric,external and combination resonances in coupled flexible and torsional oscillations of an unbalanced rotating shaft[J].Journal of Sound and Vibration,1995,183(5):889-897.

[7]覃文源，張志誼，華宏星.摩擦力作用下推進軸系彎-扭耦合振動特性分析[J].噪聲與振動控制，2013，33(5)：4-9.

[8]張勇，蔣滋康.軸系彎扭耦合振動的數(shù)學模型[J].清華大學學報(自然科學版)，1998，38(8)：114-117.

[9]張敬義，閆兵，董大偉，等.動力機械動態(tài)工況共振幅值特性研究[J].噪聲與振動控制，2013，33(1)：51-55.

[10]蔡敢為.彎扭耦合共振式振動時效裝置及其實現(xiàn)方法[P].中國專利，CN 102212672A.2011.10.

廣西自然科學基金重點項目（2014GXNSFDA118033)）

E-mail:caiganwei@163.com

中圖分類號：TB123；TH113.1

文獻標識碼：A

DOI編碼：10.3969/j.issn.1006-1335.2016.01.002

文章編號：1006-1355(2016)01-0005-05+25

收稿日期：2015-05-07

基金項目：國家自然科學基金資助項目（51365004）；

作者簡介：關卓懷(1988-)，男，河南開封人，碩士，助理研究員，主要研究方向為為機械動力學。E-mail:guanzhuohuai@163.com

通訊作者：蔡敢為(1961-)，男，湖南湘潭人，博士，教授，博士生導師，主要研究方向為機械創(chuàng)新設計、機電系統(tǒng)性能設計理論、機構學。

Resonance CharacteristicsAnalysis of Bending-torsion Coupled Vibration of Rotors

GUAN Zhuo-huai1,2,CAI Gan-wei2

(1.Nanjing Institute ofAgricultural Mechanization,Ministry ofAgriculture,Nanjing 210014,China; 2.School of Mechanical Engineering,Guangxi University,Nanning 530004,China)

Abstract:Eccentricity of rotors can induce bending-torsion coupled vibration of shafts.Currently,research of the bending-torsion coupling vibration is focused on the nonlinear characteristics,but seldom on the resonance characteristics of the bending-torsion coupled vibration of the shafts.In the structure design,bending-torsion coupled resonance vibration is sometimes employed to obtain larger amplitude and vibration energy.So,further study on the bending-torsion coupled vibration of rotors according to the resonance characteristics is necessary.In this paper,first of all,a model of an eccentric rotor for bending-torsion coupled vibration analysis was built,and the vibration equation was solved by small parameter method.Then,the condition of coupling resonance of the bending and torsional vibrations was analyzed.Finally,the theoretical analysis was demonstrated by numerical simulation.This work provides an idea and data base for the bendingtorsion coupling vibration analysis.

Key words:vibration and wave;rotor;bending torsional coupled vibration;coupling resonance;amplitude