董　皓，方　舟，段玲玲

（1.西安工業(yè)大學 機電學院，西安 710021；　2.陜西華陸化工環(huán)保有限公司，西安 710025）

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考慮LTCA技術的功率雙分支輪系動態(tài)特性分析

董皓1，方舟1，段玲玲2

（1.西安工業(yè)大學 機電學院，西安 710021；2.陜西華陸化工環(huán)保有限公司，西安 710025）

摘要：雙路功率分支傳動系統(tǒng)較多應用于航空系統(tǒng)傳動裝置中，為了揭示其動態(tài)振動機理，建立該系統(tǒng)的動態(tài)力學模型。采用承載接觸分析(LTCA)技術計算齒輪副時變嚙合剛度激勵；利用集中質量法建立彎扭耦合的動力學微分方程，進行消除剛體位移和量綱歸一化處理，采用數值解法，得到系統(tǒng)的時域-頻域響應，給出動載系數與輸入轉速的函數關系。結果表明：系統(tǒng)動態(tài)特性受到輸入轉速的影響較大；嚙合阻尼的增大，可以降低臨界轉速附近的動載荷；實驗和理論具有較好的一致性。為進一步對該系統(tǒng)的優(yōu)化設計提供理論基礎。

關鍵詞：振動與波；承載接觸分析；時變嚙合剛度；彎扭耦合；動載系數；阻尼

雙路功率分支傳動系統(tǒng)采用功率分支技術，可實現雙路功率的分支，結構緊湊，在很小的體積質量下滿足高速重載的工況要求，在航空、航海等領域具有廣闊的應用前景。該系統(tǒng)的動態(tài)振動特性分析是保證其可靠性的核心問題之一。對于具有齒輪傳動系統(tǒng)的動態(tài)特性分析一直為國內、外學者所關注，并獲得了大量的成果[1–3]，Krantz等對雙路功率分支齒輪傳動減速器進行了動態(tài)特性研究，得出了滿足當時制造、安裝條件下的均載系數，并通過實驗分析了該系統(tǒng)的均載特性[4]。董金城和王三民等通過考慮各因素的影響，研究并分析了二分支斜齒輪傳動的動載和均載特性[5]。桂永方和朱如鵬等建立了雙輸入圓柱齒輪分流傳動系統(tǒng)的彎扭耦合動力學模型，分析了扭轉剛度對系統(tǒng)均載特性的影響，通過考慮時變嚙合剛度、齒側間隙、嚙合誤差、嚙合阻尼等因素，分析了系統(tǒng)動態(tài)特性條件下的均載特性[6，7]。還有一些學者對功率分支傳動系統(tǒng)的動態(tài)特性做了相關的研究[8–13]。但是，以往研究中大多采用等效平均嚙合剛度，并不能完全準確反映真實的齒面嚙合過程，本文基于輪齒幾何接觸(TCA)和承載接觸分析(LTCA)技術將整個嚙合過程離散為有限的嚙合點，對每個嚙合位置進行力學特性分析，同時，利用嚙合接觸分析的結果，可準確計算得到時變剛度引起的內部激勵條件。

為了獲得具有良好動力學性能的雙路功率分支傳動系統(tǒng)，利用LTCA技術求解時變嚙合剛度激勵，使用集中參數法建立了系統(tǒng)的彎—扭耦合動力學模型，求解得到系統(tǒng)的動載系數，有助于進一步地了解系統(tǒng)的動力學特性，對于該系統(tǒng)的合理設計與成功使用有重要意義。

1　系統(tǒng)動力學模型建立

圖1是雙路功率分支傳動系統(tǒng)的三維結構示意圖。該系統(tǒng)采用功率分支技術，功率由輸入軸1輸入，在兩級減速傳動裝置中第Ⅰ級采用斜齒輪，第Ⅱ級采用直齒輪，第Ⅰ級小齒輪2采用功率兩分支，經Ⅰ級大齒輪3傳遞扭矩，兩級傳動之間通過均載扭力軸4連接，第Ⅱ級兩個小齒輪5同時與第Ⅱ級大齒輪6嚙合，功率最終由第Ⅱ級大齒輪6輸出，系統(tǒng)中的各構件處靠滾動軸承7支承，該系統(tǒng)可進一步有效解決傳動裝置大扭矩、大速比的要求。

圖1　雙路功率分支傳動系統(tǒng)的三維模型

采用集中參數法建立系統(tǒng)的彎-扭耦合動力學模型如圖2所示，其中，輸入扭矩為Tin，輸出扭矩為Tout，Kij(i=1，4，5；j=2，3，6)為時變嚙合剛度，Cij(i=1，4，5；j=2，3，6)為嚙合阻尼，φi(i=1，4，5)和φj(j=2，3，6)為齒輪i、j的扭轉角，e(t)ij為綜合誤差項，Ii(i=1，2，…，6)為各構件的轉動慣量，Mi(i=1，2，…，6)為各組件集中質量，k24和k35分別為均載扭力軸的扭轉剛度，c24和c35分別為均載扭力軸的扭轉阻尼。

圖2　雙路功率分支傳動系統(tǒng)動力學模型

齒輪副的嚙合動載荷作用力Pij和振動阻尼力Dij可以表示為式中xi、yi和xj、yj表示齒輪i(i=1，4，5)、j(j=2，3，6)沿x、y向的軸心變形量；ΔAxi、ΔAxj表示齒輪i(i=1，4，5)、j (j=2，3，6)的x向誤差幅值；ΔAyi、ΔAyj表示齒輪i(i=1，4，5)、j(j=2，3，6)的y向誤差幅值；ζij表示齒輪副ij嚙合線與x軸正向夾角；rbi、rbj表示齒輪i、j的基圓半徑。

橫向彎曲振動的動力學微分方程可表示為

式中Kxi和Kyi表示齒輪i的x、y向支承剛度；Cxi和Cyi表示齒輪i的x、y向支承阻尼；x?i，x?i，xi表示橫向x方向振動加速度、速度和位移；y?i，y?i，yi表示橫向y方向振動加速度、速度和位移將角位移形式的廣義坐標轉化為線位移形式的廣義坐標，即ui=riφi。扭轉方向的微分方程可以表示為式(4)所示，采用變步長四階Runge-Kutta法對振動方程進行求解，計算振動時域響應，通過傅里葉變換(FFT)得到相應的頻域響應，將結果代入式(1)可以得到動載荷，最后得到系統(tǒng)的動載系數。

式中 meq,i(i=1，2，…，6)是各齒輪的等效質量，meq,i=Ii/r2bi。

以第Ⅱ級各路齒輪副傳動扭矩為例，每一齒頻周期中動載系數KD可以表示為

式中i12表示系統(tǒng)第Ⅰ級齒輪副12的傳動比。max Pij為一個齒頻周期內動載荷的最大值。動載系數直接反映了系統(tǒng)的動態(tài)響應特性，動載系數越大，系統(tǒng)振動越明顯。

2　基于LTCA的時變嚙合剛度激勵

式中a，b，c為常數項。

忽略輪齒齒面摩擦，假設兩對齒(I和II)同時接觸。在無載荷的作用下，輪齒未發(fā)生變形，兩對接觸的輪齒I和II的齒面初始間隙為 [w]k，其中[w]k=[δ]k+[bj]k，bj(j=1，2，…，n)為齒對k(k=I，II)的齒面法向間隙，[δ]k=δ[1,1,...,1]T。

在載荷P作用下，力矩平衡和輪齒接觸變形后位移協調條件由下式描述

輪齒在外載荷作用下嚙合時，引起的扭轉角變形和扭矩Tij(k)的函數式描述為[11]式中k=I，II，[pj]k=[p1，p2，…，pn]T，[dj]k=[d1，d2，…,dn]T，[Z]=Z[1，1，…，1]T(若pjk>0，則djk=0；若pjk=0，則djk> 0)。pj(j=1，2，…，n)是齒對k的瞬時接觸橢圓長軸離散點j處的法向載荷，dj(j=1，2，…，n)是齒對k的瞬時接觸橢圓長軸離散點j處變形后的齒面間隙，Z為輪齒的法向位移，[F]k是齒對k的法向柔度矩陣，[w]k為齒面初始間隙，[w]k=[δ]k+[bj]k，bj(j=1，2，…，n)為齒對k的齒面法向間隙，[δ]k=δ[1，1，...，1]T。

對一個嚙合周期中所有嚙合位置上順序進行LTCA計算，得到Z、[P]和[d]，Z為當前接觸位置載荷P作用下的齒輪變形后的法向線位移傳動誤差，將其變換為角位移誤差Δφij。

通過計算某一嚙合位置k下不同載荷作用下對應的多組承載傳動誤差，將其分別代入式(6)，即可確定系數a，b，c，同時，可以推導出承載傳動誤差與名義載荷的函數關系式，再擬合出一個嚙合周期中各嚙合位置下承載傳動誤差隨扭矩Tij(k)變化的函數關系式，最后得到各對齒輪副時變嚙合剛度激勵，可表示為

該剛度更加反映出齒輪在各嚙合位置的力學特性，將嚙合剛度的離散值通過多項式擬合和Fourier級數變換展開成周期函數。

3　算例求解

算例中各參數依據文獻[4]中的數據，其中輸入功率373 kW，輸入轉速8 780 r/min，齒輪參數見表1。

表1　齒輪參數

根據第2節(jié)所述的方法，計算得到兩級各齒輪副的嚙合剛度如下圖3所示。

圖4(a)和圖4(b)分別表示了系統(tǒng)第Ⅰ和Ⅱ級各齒輪副的動載荷時間響應和對應的FFT頻譜圖。

由圖4得到，在標準無誤差的工況下各級齒輪副的動載系數分別為1.152和1.065。系統(tǒng)各級齒輪副嚙合頻率處振動較為強烈。

對不同轉速下的系統(tǒng)載荷變化情況進行分析，圖5給出了系統(tǒng)兩級動載系數隨轉速的變化情況，ξg表示嚙合阻尼比。

由圖5可知，第Ⅰ級峰值轉速為1 097.5，第Ⅱ級峰值轉速為548.75和3 292.5，隨著轉速的變化，動載系數也隨之變化，在系統(tǒng)進行動態(tài)特性分析時，可根據需求設定合理的工作轉速，使之遠離共振轉速，提高系統(tǒng)的可靠性。增大阻尼，可以降低臨界轉速附近的動載荷，但對非臨界轉速附近的動載荷則影響很小。

圖3　時變嚙合剛度激勵

(a)第Ⅰ級動載荷及對應的FFT頻譜

圖4　標準工況下動載荷時域歷程和FFT頻譜圖

圖5　動載系數與轉速之間的關系

4　動態(tài)力學模型驗證

文獻[4]中給出了該系統(tǒng)的實驗設備，整個裝置形成一個功率流動閉環(huán)系統(tǒng)，如圖6所示。

圖6　系統(tǒng)實驗設備及原理示意圖

各級齒輪副的動載荷時域歷程理論分析結果同文獻[4]中動力學的計算結果進行對比，如圖7所示，該工況為標準無誤差工況，各級齒輪副傳遞扭矩過程中，靜態(tài)標準載荷為4.05×105N?mm 和7.86×105N?mm(理論計算去掉瞬態(tài)時域響應)。

圖7(a1)和圖7(a2)示出，理論計算和文獻[4]分析的第Ⅰ級各齒輪副的動載荷均在4.05×105N?mm上下波動，理論分析和文獻計算的動載系數分別為1.152和1.117；圖7(b1)和圖7(b2)示出，第Ⅱ級齒輪副在連接軸端的動載荷均在7.86×105N?mm上下波動，得到的動載系數分別為1.065和1.112。得到動載系數相差不大，結果具有較好的一致性。

圖8(a)和圖8(b)分別給出了連接軸第Ⅱ級的動載荷處的文獻數據和理論分析的FFT頻譜圖。

由圖8可以看出，理論分析和文獻數據分析得到的嚙合基頻都在1 019.13 Hz，文獻[4]的數據分析(圖8(a))在嚙合頻率處頻譜值最大，頻率3次諧波幅值逐漸遞減，理論分析(圖8(b))第2階頻率2 038.21 Hz處得到的幅值略高于嚙合基頻的幅值，主要是來源于軸頻的影響，理論分析和文獻數據分析的結果趨勢一致。

圖7　系統(tǒng)動載荷理論分析與文獻計算對比

圖8　理論與文獻對比第Ⅱ級動載荷FFT頻譜圖

5結　語

(1)本文利用LTCA仿真分析技術得到各齒輪副的時變嚙合剛度激勵，并融合到功率分支系統(tǒng)動態(tài)特性分析中，準確體現了系統(tǒng)各齒輪副之間的齒面動態(tài)力學特性；

(2)采用集中質量法建立動態(tài)力學模型，簡化了齒輪二分支傳動系統(tǒng)的動力學分析模型。阻尼的增大，可以降低臨界轉速附近的動載荷，但對非臨界轉速附近的動載荷則影響很??；

(3)數據結果分析一致性較好，驗證了本文提出的數學計算模型的可行性。

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中圖分類號：TH132.4

文獻標識碼：A

DOI編碼：10.3969/j.issn.1006-1335.2016.01.003

文章編號：1006-1355(2016)01-0010-05+44

收稿日期：2015-08-27

基金項目：國家自然科學基金資助項目(51505361)；陜西省教育廳專項科研計劃項目(15JK1338)；陜西省特種加工重點實驗室開發(fā)項目(2014SZS20-K04)

作者簡介：董皓(1985-)，男，西安市人，工學博士，講師，目前主要研究方向為齒輪傳動動力學、車輛工程。E-mail:donghaofane@sina.com

Dynamic CharacteristicsAnalysis of Power Double Branch Gear System Based on the LTCATechnology

DONGHao1,FANGZhou1,DUAN Ling-ling2
(1.School of Mechatronic Engineering,Xi’an Technological University,Xi’an 710021,China; 2.Shaanxi Hualu Chemical Green Environmental Protection Co.Ltd.,Xi’an 710025,China)

Abstract:Double branch power split transmission system is widely used in aerospace engineering.In order to find the dual dynamic vibration characteristics of the power split transmission system,the dynamic mechanical model of the system was established.First of all,the actual meshing process of each gear pair was simulated using the technique of the loaded tooth contact analysis(LTCA),and the time-varying mesh stiffness excitation was obtained,which can improve the numerical precision.Then,by using the lumped mass method,the bending-torsion coupled three dimensional dynamic model of the dual power-split transmission system was established,and the corresponding dimensionless equations were deduced by eliminating rigid-body displacement and using dimensional normalization.Finally,the responses of this system in frequency domain and time domain were obtained,and the dynamic load change characteristics of each gear pair were analyzed.The results show that the dynamic characteristics of the system are greatly influenced by the input speed. Increasing the mesh damping can reduce the dynamic load near the critical speed.The experiment and theory are in good agreement.This work may provide a theoretical basis for the optimization design of the system.

Key words:vibration and wave;loaded tooth contact analysis(LTCA);time-varying mesh stiffness;bending-torsion coupled;dynamic factor;damping