曹青松，王明翔，陶　晶

（華東交通大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，南昌 330013）

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列車主動(dòng)懸掛預(yù)測(cè)控制算法研究

曹青松，王明翔，陶晶

（華東交通大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，南昌 330013）

摘要：為有效抑制列車車體的振動(dòng)，針對(duì)列車在運(yùn)行時(shí)受到的不確定軌道干擾激勵(lì)等影響因素，開(kāi)展一種基于標(biāo)準(zhǔn)正交基函數(shù)Laguerre的主動(dòng)懸掛預(yù)測(cè)控制算法研究。首先建立列車主動(dòng)懸掛系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型，再以此作為預(yù)測(cè)控制模型，結(jié)合預(yù)測(cè)控制中的滾動(dòng)優(yōu)化等基本原理，為高速列車連續(xù)時(shí)域主動(dòng)懸掛系統(tǒng)設(shè)計(jì)相應(yīng)的預(yù)測(cè)控制器。仿真結(jié)果表明：設(shè)計(jì)的預(yù)測(cè)控制器能夠優(yōu)化高速列車在運(yùn)行時(shí)的振動(dòng)主動(dòng)控制性能，改善列車的乘坐舒適性。

關(guān)鍵詞：振動(dòng)與波；軌道干擾激勵(lì)；主動(dòng)懸掛；正交基函數(shù)；狀態(tài)空間模型；預(yù)測(cè)控制器

隨著列車速度不斷提升，導(dǎo)致振動(dòng)量也隨之增加[1,2]。這不僅影響了乘客乘坐舒適性，也會(huì)對(duì)列車上使用的一些精密儀器設(shè)備性能產(chǎn)生較大的影響。懸掛系統(tǒng)的減振性能是保證列車的舒適性、安全性和運(yùn)行平穩(wěn)性的重要指標(biāo)，因此，人們對(duì)其提出了更高的要求。被動(dòng)、半主動(dòng)和（全）主動(dòng)等三種懸掛方式，是當(dāng)前鐵道車輛采用的主要懸掛形式。被動(dòng)懸掛系統(tǒng)只是按照人們一些相關(guān)經(jīng)驗(yàn)和簡(jiǎn)單的優(yōu)化方法進(jìn)行參數(shù)設(shè)定，對(duì)外界環(huán)境變化適應(yīng)性能較差，不能夠?qū)?shí)際情況進(jìn)行參數(shù)實(shí)時(shí)調(diào)節(jié)，已經(jīng)難以適用于現(xiàn)代各項(xiàng)性能指標(biāo)要求更高的高速列車[3,4]。半主動(dòng)懸掛系統(tǒng)具備結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)易、造價(jià)較低、不需要大功率能源裝置的優(yōu)點(diǎn)，是Kamopp等提出的，根據(jù)既定的阻尼控制規(guī)律，可以實(shí)現(xiàn)阻尼力的實(shí)時(shí)調(diào)節(jié)[5]。懸掛系統(tǒng)對(duì)于改善車輛行駛平順性和提高操縱穩(wěn)定性起著重要作用。相對(duì)于被動(dòng)懸掛，主動(dòng)懸掛可以明顯改善車輛的乘坐舒適性[6，7]，并且能較好地解決高速列車較為突出的橫向振動(dòng)控制問(wèn)題[8]，已經(jīng)越來(lái)越受到學(xué)者們的關(guān)注。

近些年來(lái)，基于狀態(tài)空間模型的預(yù)測(cè)控制[9]算法的研究已日趨成熟。本文開(kāi)展高速列車主動(dòng)懸掛預(yù)測(cè)控制算法的研究，利用軌道垂向不平順隨機(jī)激擾模型，將其作為列車軌道干擾激勵(lì)，采用標(biāo)準(zhǔn)正交基函數(shù)（Laguerre函數(shù)）的方法進(jìn)行預(yù)測(cè)控制算法研究[10]，為連續(xù)時(shí)域系統(tǒng)設(shè)計(jì)預(yù)測(cè)控制器。

1　列車主動(dòng)懸掛模型

研究對(duì)象為單節(jié)車輛動(dòng)力學(xué)模型，因此僅考慮車輛的橫向側(cè)滾振動(dòng)與垂向點(diǎn)頭、浮沉等振動(dòng)。此外，對(duì)車輛動(dòng)力學(xué)模型來(lái)說(shuō)，研究車輛對(duì)各種軌道不平順的系統(tǒng)響應(yīng)特性僅需建立車輛的橫向和垂向動(dòng)力學(xué)模型[11]。為精確反映實(shí)際情況，避開(kāi)傳統(tǒng)的簡(jiǎn)單建模方式，以單節(jié)四軸車輛為研究對(duì)象，建立包含車體以及前后轉(zhuǎn)向架的側(cè)滾、沉浮和點(diǎn)頭等九自由度的橫向-垂向耦合列車主動(dòng)懸掛系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，見(jiàn)圖1。

其中M為車體質(zhì)量；m為前、后轉(zhuǎn)向架質(zhì)量；IΦ為車體點(diǎn)頭轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Iθ為車體側(cè)滾轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；IΦ1、IΦ2為前后轉(zhuǎn)向架點(diǎn)頭轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Iθ1、Iθ2為前后轉(zhuǎn)向架側(cè)滾轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；kl、k2為一、二系懸掛彈簧垂向剛度；c1、c2為垂向減振器阻尼；l、l1為懸掛到構(gòu)架質(zhì)心的縱向距離；zb為車體沉浮位移；z1為前轉(zhuǎn)向架沉浮位移；z2為后轉(zhuǎn)向架沉浮位移；Φ為車體點(diǎn)頭角位移；θ為車體側(cè)滾角位移；θ1、θ2為轉(zhuǎn)向架側(cè)滾角位移；a、b為一、二系懸掛彈簧的橫向距離之半；v為列車運(yùn)行速度；zv1、z′v1、zv2、z′v2、zv3、z′v3、zv4、z′v4為輪對(duì)處軌道面輸入位移；u1、u′1、u2、u′2、u3、u′3u4、u′4為前轉(zhuǎn)向架一系作動(dòng)器控制力；u5、u′5、u6、u′6為后轉(zhuǎn)向架一系作動(dòng)器控制力。取狀態(tài)變量為

X=[Zbφ θ Z2φ2θ1Z1φ1θ2Zbφ?θ?Z?2φ?2θ?1Z?1φ?1θ?2]T

控制變量為

uc=[u1u′1u2u′2u3u′3u4u′4u5u′5u6u′6]T輸出變量為

y=[Z?bφ?θ?]T

設(shè)軌道干擾輸入變量為w(t)，干擾輸入矩陣為Ec，可得系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程如式（1）所示

圖1　車輛主動(dòng)懸掛系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

2　主動(dòng)懸掛系統(tǒng)預(yù)測(cè)控制器設(shè)計(jì)

根據(jù)上文建立的高速列車連續(xù)時(shí)域主動(dòng)懸掛系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，將其作為預(yù)測(cè)模型。由于預(yù)測(cè)模型屬于多輸入-多輸出系統(tǒng)，故而針對(duì)此系統(tǒng)設(shè)計(jì)預(yù)測(cè)控制器。假設(shè)系統(tǒng)中有p個(gè)輸入，q個(gè)輸出，狀態(tài)空間維數(shù)為n。為保證系統(tǒng)穩(wěn)定性，設(shè)系統(tǒng)的輸出個(gè)數(shù)小于或等于系統(tǒng)的輸入個(gè)數(shù)即q≤p。

為了設(shè)計(jì)模型的預(yù)測(cè)控制器，需要將模型進(jìn)行轉(zhuǎn)換。令 z(t)=x?(t)，取一個(gè)新的狀態(tài)變向量，通過(guò)這個(gè)輔助變量，結(jié)合式（1），主動(dòng)懸掛連續(xù)時(shí)域系統(tǒng)模型即可擴(kuò)展成為

于是上式可化為

經(jīng)過(guò)擴(kuò)展，式（3）狀態(tài)空間方程描述的是控制信號(hào)的1階導(dǎo)數(shù)，而系統(tǒng)的輸入輸出仍保持不變。其中：oq×n為q×n維零矩陣，Iq×q為q×q維單位矩陣，由于狀態(tài)空間的擴(kuò)展，在式（3）中Acc，Bcc和Ccc分別擴(kuò)展成為(n+q)×(n+q)，（n+q）×p和q×(n+q)維矩陣。

考慮到連續(xù)時(shí)域系統(tǒng)模型的控制軌跡是在一個(gè)時(shí)間從ti變化到ti+Tp的移動(dòng)時(shí)間窗口，在這個(gè)窗口中的時(shí)間變量用ε表示，和t以示區(qū)別。那么這個(gè)窗口中的控制變量則是u?(ε)。設(shè)0≤ε≤Tp，狀態(tài)反饋控制增益矩陣為Kcmpc。那么

為了解決該多輸入—多輸出系統(tǒng)的預(yù)測(cè)控制問(wèn)題，獲得連續(xù)時(shí)域主動(dòng)懸掛系統(tǒng)模型的未來(lái)最優(yōu)的控制軌跡，需要在控制器設(shè)計(jì)中引入一種標(biāo)準(zhǔn)正交基函數(shù)-Laguerre函數(shù)，下面就Laguerre函數(shù)進(jìn)行簡(jiǎn)單介紹。函數(shù)可以定義如下

其中參數(shù)m是時(shí)間比例因子，在Laguerre函數(shù)的應(yīng)用中是可以決定指數(shù)衰減率的一個(gè)重要設(shè)計(jì)參數(shù)，需根據(jù)設(shè)計(jì)需要靈活選擇，系統(tǒng)中每個(gè)輸入都有一個(gè)對(duì)應(yīng)的m，且m>0。

式（5）所示的Laguerre函數(shù)在進(jìn)行拉普拉斯變換之后，可以得到Laguerre網(wǎng)絡(luò) Li(s)(i=1,2,…,)如下

基于上述，Laguerre函數(shù)可以通過(guò)狀態(tài)空間模型描述出來(lái)，定義一個(gè)狀態(tài)變量，設(shè)狀態(tài)變量的初始條件為，此時(shí) i=1,2,…,N 。N為 Laguerre函數(shù)的設(shè)定參數(shù)，系統(tǒng)中每個(gè)輸入都有一個(gè)對(duì)應(yīng)的N。那么Laguerre函數(shù)可以滿足如下?tīng)顟B(tài)空間方程

式（7）微分方程的解為

其中

基于此，連續(xù)時(shí)域主動(dòng)懸掛系統(tǒng)的預(yù)測(cè)狀態(tài)變量可以描述為

對(duì)于此多輸入—多輸出系統(tǒng)，控制信號(hào)和輸入信號(hào)矩陣分別為

控制信號(hào)也可以寫(xiě)成如下標(biāo)準(zhǔn)正交形式

那么，可以預(yù)測(cè)系統(tǒng)未來(lái)在ε時(shí)的狀態(tài)

根據(jù)狀態(tài)變量的預(yù)測(cè)信息，便可以預(yù)測(cè)出系統(tǒng)在ε時(shí)的輸出

對(duì)于p個(gè)輸入的連續(xù)時(shí)域主動(dòng)懸掛系統(tǒng)，φi(ε)T中包含p個(gè)φ(ε)T，而對(duì)于φ(ε)T，滿足下列方程

如果系統(tǒng)狀態(tài)的預(yù)測(cè)可以按照ε=0,h,2h,…,Tp計(jì)算，Tp為系統(tǒng)的預(yù)測(cè)時(shí)域，那么設(shè)h>0，Acc=a，Bcc=b，可得

對(duì)于連續(xù)時(shí)域主動(dòng)懸掛系統(tǒng)模型，其目標(biāo)函數(shù)如下

當(dāng)目標(biāo)函數(shù)滿足下式（18）時(shí)，J得到最小值，即得到最優(yōu)化解

根據(jù)滾動(dòng)優(yōu)化控制原理可知

式中ok(k=1,2,…,p)是和Lk(ε)T維數(shù)相同、大小為零的行向量。設(shè)未來(lái)的參考軌跡在預(yù)測(cè)時(shí)域之內(nèi)，那么系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制變量為

由此可得，列車連續(xù)時(shí)域主動(dòng)懸掛系統(tǒng)模型預(yù)測(cè)控制的狀態(tài)反饋控制增益矩陣Kcmpc為

3　實(shí)例仿真分析

列車懸掛系統(tǒng)模型的主要參數(shù)如表1所示。

根據(jù)研究對(duì)象，選取對(duì)列車橫向振動(dòng)和垂向振動(dòng)影響較大的方向不平順和高低不平順作為系統(tǒng)的擾動(dòng)輸入，模擬列車運(yùn)行的實(shí)際情況。選用由美國(guó)軌道AAR 6級(jí)譜修正后獲得的高速譜[12]，根據(jù)軌道不平順功率譜密度函數(shù)，離散采樣得出頻譜，然后采用Fourier逆變換的方法求解激擾函數(shù)，模擬出軌道不平順時(shí)域波形圖。如圖2為模擬高速列車運(yùn)行時(shí)速為300 km/h時(shí)的軌道方向不平順和高低不平順的仿真結(jié)果。

表1　懸架系統(tǒng)主要參數(shù)

通過(guò)分析圖3至圖5可知，對(duì)于連續(xù)時(shí)域主動(dòng)懸掛系統(tǒng)，列車垂向振動(dòng)輸出信號(hào)（車體質(zhì)心垂向加速度和點(diǎn)頭角加速度）的振幅及峰-峰值等性能指標(biāo)要略大于側(cè)滾角加速度等橫向振動(dòng)輸出信號(hào)。采用預(yù)測(cè)控制后車體質(zhì)心垂向加速度、點(diǎn)頭角加速度和側(cè)滾角加速度等輸出信號(hào)的振動(dòng)幅度均得到有效抑制，由此可以驗(yàn)證主動(dòng)懸掛系統(tǒng)預(yù)測(cè)控制算法的有效性，控制后各系統(tǒng)輸出性能都有不同程度的提高。

圖3　主動(dòng)懸掛預(yù)測(cè)控制系統(tǒng)車體質(zhì)心垂向加速度

圖4　主動(dòng)懸掛預(yù)測(cè)控制系統(tǒng)車體點(diǎn)頭角加速度

4結(jié)　語(yǔ)

通過(guò)建立高速列車主動(dòng)懸掛系統(tǒng)模型，開(kāi)展一種基于標(biāo)準(zhǔn)正交基函數(shù)Laguerre函數(shù)的預(yù)測(cè)控制算法研究。將懸掛系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型作為預(yù)測(cè)控制模型，結(jié)合預(yù)測(cè)控制中的滾動(dòng)優(yōu)化等基本原理，考慮到列車在運(yùn)行時(shí)受到的不確定軌道干擾激勵(lì)等影響因素，為高速列車連續(xù)時(shí)域主動(dòng)懸掛系統(tǒng)設(shè)計(jì)相應(yīng)的預(yù)測(cè)控制器。通過(guò)實(shí)例驗(yàn)證控制器能使系統(tǒng)達(dá)到良好的控制效果，優(yōu)化了列車在運(yùn)行時(shí)的振動(dòng)主動(dòng)控制性能，提高了操作穩(wěn)定度，確保了列車運(yùn)行安全和搭乘舒適。

圖5　主動(dòng)懸掛預(yù)測(cè)控制系統(tǒng)車體側(cè)滾角加速度

由于將預(yù)測(cè)控制算法和高速列車主動(dòng)懸掛系統(tǒng)結(jié)合起來(lái)，考慮的結(jié)果是預(yù)測(cè)控制算法能否有效的抑制列車振動(dòng)，使得本文控制前后差異太大，沒(méi)有對(duì)控制力進(jìn)行評(píng)估和限值分析。因此，今后將開(kāi)展評(píng)估控制力及其限值理論進(jìn)行試驗(yàn)研究。

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文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：中文分類號(hào)：U270.1+.6；TP273A

DOI編碼：10.3969/j.issn.1006-1335.2016.01.005

文章編號(hào)：1006-1355(2016)01-0021-05

收稿日期：2015-05-20

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金（51265009）；華東交通大學(xué)研究生創(chuàng)新專項(xiàng)資金項(xiàng)目（YC2014-S265）

作者簡(jiǎn)介：曹青松（1978-），男，安徽無(wú)為人，博士，副教授，研究方向：無(wú)損檢測(cè)、機(jī)電一體化以及振動(dòng)控制E-mail:2000cqs@163.com

Study on the Predictive ControlAlgorithm for Train’sActive

Suspension Systems

CAO Qing-song,WANG Ming-xiang,TAOJing

(School of Mechanical and Electrical Engineering,East China Jiaotong University, Nanchang 330013,China)

Abstract:In order to effectively reduce the vibration of high-speed trains due to uncertain track interference incentives,an algorithm for active suspension prediction control based on a typical orthonormal base function,the Laguerre function,was proposed and studied.The state space model of the train’s active suspension system was set up.Regarding this model as a predictive control model and combined with the basic principle of rolling optimization in predictive control,the predictive controller for the active suspension system of the high-speed train in continuous time domain was designed.The simulation results show that the designed predictive controller can optimize the active vibration control performance of the high-speed train and improve the ride comfort of vehicles.

Keywords:vibration and wave;track interference incentive;active suspension;orthogonal base functions;state space model;predictive controller