弋英民， 張　潼

(西安理工大學(xué) 自動(dòng)化與信息工程學(xué)院, 陜西 西安 710048)

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CZ法硅單晶生長(zhǎng)電阻網(wǎng)絡(luò)建模及MPC仿真分析

弋英民， 張潼

(西安理工大學(xué) 自動(dòng)化與信息工程學(xué)院, 陜西 西安 710048)

CZ法硅單晶生長(zhǎng)系統(tǒng)具有強(qiáng)非線性及大滯后的特點(diǎn)。本文就該系統(tǒng)建立了傳熱傳質(zhì)的低階模型，計(jì)算了該模型在初始條件下的穩(wěn)態(tài)解，并進(jìn)行線性化處理及分析，根據(jù)系統(tǒng)的可控性及穩(wěn)定性確定控制策略，并設(shè)計(jì)控制器。結(jié)果表明：在低階模型中，采用Gevelber提出的簡(jiǎn)化輻射角系數(shù)能較好的反映工業(yè)中晶體生長(zhǎng)過程特性；系統(tǒng)線性化后的性能分析表明，僅將加熱器功率作為輸入時(shí)，系統(tǒng)是不可控不穩(wěn)定的，故采用模型預(yù)測(cè)控制算法作為控制策略，設(shè)計(jì)了無干擾無延遲的無約束模型預(yù)測(cè)控制器和無干擾有延遲的無約束模型預(yù)測(cè)控制器，仿真結(jié)果驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)的方法的有效性。

單晶硅; CZ法; 電阻網(wǎng)絡(luò)類比; 低階模型; 模型預(yù)測(cè)控制

單晶硅半導(dǎo)體硅材料是電子信息技術(shù)產(chǎn)業(yè)以及新能源產(chǎn)業(yè)的基礎(chǔ)材料，也是半導(dǎo)體器件和集成電路的重要原材料，因此在增大硅單晶直徑的同時(shí)，提高直拉單晶硅的質(zhì)量仍是研究的主要內(nèi)容[1]。而CZ法是工業(yè)化生產(chǎn)單晶硅的最主要方法，其生長(zhǎng)過程中既有物質(zhì)的傳輸，也有動(dòng)量和熱量的傳輸[2]。坩堝內(nèi)熔體的流動(dòng)、傳熱及傳質(zhì)現(xiàn)象直接影響單晶硅的質(zhì)量。國(guó)內(nèi)外主要從理論分析、實(shí)驗(yàn)測(cè)定和數(shù)值模擬[3,4]三個(gè)方面對(duì)晶體生長(zhǎng)過程進(jìn)行研究[5]，Derby、Brown[6-7]、Hurle[8]等在晶體生長(zhǎng)理論建模方面做出了大量貢獻(xiàn)；Brice[9]、Jones[10]、Seidl[11]等通過實(shí)驗(yàn)研究分析了晶體生長(zhǎng)過程中坩堝旋轉(zhuǎn)和雜質(zhì)氧等因素對(duì)硅單晶質(zhì)量的影響。但是實(shí)驗(yàn)成本高、耗時(shí)長(zhǎng)等原因制約了實(shí)驗(yàn)測(cè)定方面的進(jìn)一步研究。

本文對(duì)CZ法生長(zhǎng)單晶硅過程中的等徑階段采用電路類比法建立基于傳熱傳質(zhì)現(xiàn)象的低階模型，并以此作為系統(tǒng)分析和控制算法研究的基礎(chǔ)。

1　?！⌒?/h2>

本文在熱量、質(zhì)量傳遞基本定律的基礎(chǔ)上[12-15]，建立了具有兩個(gè)輸入量(Vp和Pin)、八個(gè)狀態(tài)量(Th、Tc、Tm、Ri、Hi、Re、Hm和φ)和兩個(gè)輸出量(Tm和Ri)的低階模型，根據(jù)加熱器、坩堝、熔體的輻射傳熱和傳導(dǎo)傳熱現(xiàn)象，采用電阻網(wǎng)絡(luò)類比的方法建立單晶硅生長(zhǎng)系統(tǒng)的溫度狀態(tài)方程；主要在熔體-晶體分界面處，根據(jù)分界面的幾何形變建立幾何狀態(tài)方程。系統(tǒng)低階模型是一系列具有如下形式的非線性方程：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

式中，Vp是提拉速率，Pin是加熱器輸入功率，Th是加熱器溫度，Tc是坩堝溫度，Tm是熔體溫度，Ri是分界面半徑，Hi是分解面高度，Re是有效半徑，Hm是熔體高度，φ是接觸角。

2　建模的方法步驟

2.1建立晶體生長(zhǎng)的溫度狀態(tài)方程

單晶爐內(nèi)的熱量傳遞方向及單晶爐部分尺寸如圖1所示。溫度狀態(tài)方程涉及CZ法晶體生長(zhǎng)系統(tǒng)中的大部分組分，即加熱器、坩堝和熔體的溫度。該狀態(tài)方程以輻射傳熱和傳導(dǎo)傳熱引起的能量平衡公式(9)為基礎(chǔ)。

Ein-Eout=Estored

(9)

式中，Ein是系統(tǒng)接收的能量，Eout是系統(tǒng)耗散的能量，Estored是系統(tǒng)存儲(chǔ)的能量。根據(jù)式(9)的系統(tǒng)能量平衡方程可以得到系統(tǒng)的溫度狀態(tài)方程。

對(duì)于加熱器：

(10)

對(duì)于坩堝：

(11)

對(duì)于熔體：

(12)

式中，Ch是加熱器熱容，qhc是加熱器傳遞至坩堝的傳熱速率；Cc是坩堝熱容，qco是坩堝傳遞到周圍環(huán)境的傳熱速率，qcs是坩堝傳遞到熔體表面的傳熱速率，qcm是坩堝傳遞到熔體內(nèi)部的傳熱速率；Cm是熔體變化的熱容，qso是熔體表面到周圍環(huán)境的傳熱速率，qm是熔體到固液分界面區(qū)域底部的傳熱速率，Rcru是坩堝的半徑；Hcru為坩堝的高度。

圖1　傳熱率及系統(tǒng)尺寸Fig.1　Heat transfer rates and dimensions

2.1.1輻射角系數(shù)計(jì)算

單晶爐內(nèi)主要涉及的輻射角系數(shù)有：坩堝到熔體表面的輻射角系數(shù)、坩堝到周圍環(huán)境的輻射角系數(shù)、熔體表面到周圍環(huán)境的輻射角系數(shù)。

1) 基本模型：圖2為輻射角系數(shù)的角度近似。根據(jù)圖2所示的坩堝內(nèi)角度近似關(guān)系，可以得出輻射角系數(shù)的近似結(jié)果。圖中，γ、ω分別為坩堝表面、熔體表面之間的夾角，H為暴露的坩堝壁高度。

圖2　輻射角系數(shù)的角度近似Fig.2　View factor angle approximation

2) 輻射增強(qiáng)模型：對(duì)兩個(gè)表面A1和A2之間輻射角系數(shù)的定義式進(jìn)行精確求解：

(13)

式中，R是兩個(gè)表面之間的距離；θ1和θ2分別表示兩個(gè)表面上的微小面積dA1、dA2間各自的天頂角。

2.1.2傳熱速率計(jì)算

將坩堝內(nèi)熔體以上部分看作一個(gè)圓柱形外殼。下表面為熔體表面，即表面1；上表面為關(guān)于坩堝內(nèi)部環(huán)境的假象表面，即表面2；側(cè)表面為暴露坩堝壁的表面區(qū)域，即表面3。

1) 基本模型：認(rèn)為在換熱過程中一次僅有兩個(gè)表面相互接觸[8]，并進(jìn)行熱量傳遞。

采用電阻類比法對(duì)接觸表面進(jìn)行分析，即表面的傳熱速率qj、表面間的傳熱速率qjk類比為電流，輻射能量Ebj和能量Jj類似電壓，輻射角系數(shù)和對(duì)應(yīng)面積的相關(guān)項(xiàng)記為表面輻射熱阻Rj和空間輻射熱阻Rjk(j=1、2、3，k=1、2、3)。通過電路求解得出相關(guān)傳熱速率。

2) 輻射增強(qiáng)模型：認(rèn)為換熱過程中三個(gè)表面之間的傳熱同時(shí)進(jìn)行，同樣采用電阻類比法對(duì)接觸表面進(jìn)行分析，如圖3所示。在節(jié)點(diǎn)1和節(jié)點(diǎn)3處根據(jù)基爾霍夫定律列出節(jié)點(diǎn)方程，計(jì)算求解相關(guān)傳熱速率。

圖3　圓柱體外殼電路類比Fig.3　Circuit analog of cylindrical enclosure

2.2建立固液分界面的幾何狀態(tài)方程

幾何狀態(tài)方程涉及CZ法晶體生長(zhǎng)系統(tǒng)的幾何形變，尤其是熔體-晶體分界面處的形變，即分界面半徑、分界面高度、接觸角、有效半徑以及熔體高度。該狀態(tài)方程以熔體-晶體分界面處的傳熱傳質(zhì)現(xiàn)象為基礎(chǔ)。

熔體高度：

(14)

分界面高度：

(15)

分界面半徑：

(16)

有效半徑：

(17)

τ=fmRi/Vp

(18)

分界面高度和接觸角：

(19)

(20)

(21)

Dφ=βRi(8Ri2cosφ+βcosφsinφ-sinφS1)

(22)

式中，ρs和ρl分別是硅固體和硅液體的密度，qx是晶體的傳熱速率，qi是從彎月板區(qū)域到固液分界面的傳熱速率，Hf是材料的融合比熱，φ0是非零接觸角，β是材料的拉普拉斯常數(shù)，fm是介于0.25～0.50間的比例參數(shù)。

3　模型驗(yàn)證及仿真實(shí)驗(yàn)

仿真中的狀態(tài)參數(shù)如表1、表2所示[9]，在Matlab中對(duì)基本模型和輻射增強(qiáng)模型中的輻射角系數(shù)進(jìn)行計(jì)算仿真，結(jié)果如圖4所示。

表1　仿真中的常量值

表2　硅晶體生長(zhǎng)參數(shù)

圖4　基本模型和輻射增強(qiáng)模型中輻射角系數(shù)比較Fig.4　Radiation angle coefficients in basic model and radiation enhancement model

圖4(a)說明了基本模型中坩堝到熔體表面的輻射角系數(shù)Fcs1和輻射增強(qiáng)模型中坩堝到熔體表面的輻射角系數(shù)Fcs2隨熔體高度Hm的變化趨勢(shì)；圖4(b)則說明了基本模型中熔體表面到周圍環(huán)境的輻射角系數(shù)Fso1和輻射增強(qiáng)模型中熔體表面到周圍環(huán)境輻射角系數(shù)Fso2隨熔體高度Hm的變化趨勢(shì)。從圖中可以看出，這兩種類型的輻射角系數(shù)在數(shù)值上并不相同，但在趨勢(shì)上是相同的，都是隨著熔體高度的增加而遞增。其中，Gevelber等人已驗(yàn)證了基本模型在CZ法晶體生長(zhǎng)系統(tǒng)中應(yīng)用的正確性[9]，因此這兩種模型的輻射角系數(shù)的計(jì)算方法都能夠用于CZ法晶體生長(zhǎng)系統(tǒng)的研究。

k1Tc4+k2Tc+k3=0

(23)

從而得到Tc的解軌跡表達(dá)式，k1、k2、k3為該方程的系數(shù)。同理，依次推導(dǎo)Th和Pin的解軌跡表達(dá)式。利用maple軟件進(jìn)行解軌跡的計(jì)算，結(jié)果如圖5所示。

圖5　初始條件下系統(tǒng)開環(huán)解軌跡Fig.5　Trajectory of open loop solution under initial conditions

在表1和表2所示的初始條件下(即：Ri=2cm，Tm=1 740K，Vp=2cm/h)，坩堝溫度、加熱器溫度、輸入功率隨熔體高度Hm的變化軌跡如圖5(a)、(b)、(c)所示，在圖中分別用Tc0、Th0、Pin0代表初始條件下的變化軌跡。Hm隨t的變化軌跡如圖5(d)所示。由于在實(shí)際工業(yè)生產(chǎn)中，坩堝內(nèi)熔體的高度是不斷下降的，因此觀察圖5所示的溫度變化軌跡時(shí)，應(yīng)從坐標(biāo)軸的橫軸由右向左看，從圖中可以看出，單晶爐內(nèi)的主要組分的溫度在晶體生長(zhǎng)過程中的變化都是隨著熔體高度的下降而逐漸升高的。此外，Hm隨時(shí)間的增加而線性遞減，其變化非常小，一小時(shí)約下降0.5 mm，因此可以認(rèn)為在一定的時(shí)間范圍內(nèi)，熔體高度是不變的，這也就意味著，在一定程度上單晶爐內(nèi)的溫度是恒定的。

圖7為坩堝溫度隨熔體高度的變化關(guān)系。從圖中可以看出其趨勢(shì)是相同的，僅在數(shù)值上有所不同，其中輻射增強(qiáng)模型的溫度值更高一些。這一現(xiàn)象完全符合實(shí)際物理特性，由于輻射增強(qiáng)模型每次輻射換熱時(shí)同時(shí)考慮到三個(gè)表面之間的相互作用，這與基本模型相比，捕獲了更多的輻射換熱損失。

圖6　熔體溫度Tm和qi/qx的關(guān)系Fig.6　The relation between Tm and qi/qx

圖7　坩堝溫度隨熔體高度的變化關(guān)系Fig.7　The relation between crucible temperature and melting height

4　系統(tǒng)分析

本研究所建立的系統(tǒng)方程是高度耦合的、非線性的以及時(shí)變的，這意味著對(duì)系統(tǒng)的分析會(huì)是在數(shù)學(xué)上的加強(qiáng)分析，而且控制器的設(shè)計(jì)會(huì)被復(fù)雜性所限制。因此，控制系統(tǒng)開發(fā)的第一步是利用線性化理論對(duì)該系統(tǒng)進(jìn)行線性化。

4.1系統(tǒng)線性化

根據(jù)所建立狀態(tài)方程的復(fù)雜性以及易于實(shí)現(xiàn)的程度，本研究采用泰勒級(jí)數(shù)逼近法對(duì)狀態(tài)方程線性化。系統(tǒng)模型是具有如下形式的一組方程式：

(24)

y(t)=g(x(t),u(t))

(25)

式中，x(t)是一個(gè)8×1的狀態(tài)向量(Th、Tc、Tm、Ri、Hi、Re、Hm和φ)，u(t)是一個(gè)2×1的輸入向量(Vp和Pin)，y(t)是一個(gè)關(guān)于衡量參數(shù)(Ri和Tm)的2×1輸出向量。

根據(jù)泰勒級(jí)數(shù)展開式可以將系統(tǒng)線性化為標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)空間模型，系數(shù)矩陣A(t)和B(t)分別是f對(duì)x(t)和u(t)求偏導(dǎo)的函數(shù)行列式，即：

A(t)=

CZ法晶體生長(zhǎng)系統(tǒng)模型的輸出方程為：

(26)

4.2系統(tǒng)特征值

系統(tǒng)的特征值定義為特征方程∏(λ)的根。表3給出了在不同的熔體高度Hm下兩種模型的線性化系統(tǒng)的特征值。由于Hm每下降1cm對(duì)應(yīng)大約20小時(shí)的晶體生長(zhǎng)，因此，特征值隨時(shí)間的增加幾乎無變化。

表3　系統(tǒng)開環(huán)特征值

4.3系統(tǒng)穩(wěn)定性

系統(tǒng)的特征值結(jié)果為該系統(tǒng)是不穩(wěn)定系統(tǒng)提供了數(shù)據(jù)支持。從表3中可以看出，線性化的模型具有右半平面的特征值，這表明系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

4.4系統(tǒng)可控性

為了確定僅在加熱器功率作用下的系統(tǒng)是否可控，通過計(jì)算可控矩陣的秩進(jìn)行判斷。

在本文所建立的系統(tǒng)中，系統(tǒng)階數(shù)是8，采用符號(hào)計(jì)算求解矩陣A的秩，結(jié)果為6，可以得出：僅在加熱器功率作為輸入的情況下系統(tǒng)是不可控的。由于本文所建立的線性化模型是時(shí)變的、高度耦合的復(fù)雜模型，因此不能采用常規(guī)PID算法設(shè)計(jì)控制器，相比之下采用易調(diào)整、能夠系統(tǒng)解決約束和時(shí)延等實(shí)際問題的模型預(yù)測(cè)控制算法作為控制策略。

5　CZ法晶體生長(zhǎng)系統(tǒng)的模型預(yù)測(cè)控制

模型預(yù)測(cè)控制(MPC)是一種基于模型的控制算法，包括經(jīng)典模型預(yù)測(cè)控制和綜合模型預(yù)測(cè)控制，利用內(nèi)部模型的狀態(tài)或輸出預(yù)測(cè)，同時(shí)應(yīng)用了有限時(shí)域的滾動(dòng)計(jì)算思想和反饋及預(yù)測(cè)校正，最后采用了對(duì)某個(gè)系統(tǒng)性能指標(biāo)的最優(yōu)化計(jì)算以確定在一個(gè)控制時(shí)域內(nèi)的最優(yōu)控制序列。由于其魯棒性強(qiáng)、抗干擾性強(qiáng)，而且能夠在優(yōu)化控制理論的框架內(nèi)很好地處理系統(tǒng)的控制約束等特點(diǎn)，非常適用于實(shí)際工業(yè)過程的控制，而CZ法晶體生長(zhǎng)過程本身便是一個(gè)典型的工業(yè)過程。

CZ法晶體生長(zhǎng)過程的閉環(huán)控制系統(tǒng)初步設(shè)計(jì)如圖8所示，其中r是參考軌跡，u是輸入，y是輸出，w、z是干擾。對(duì)于直拉法晶體生長(zhǎng)系統(tǒng)，u是系統(tǒng)輸入，即：加熱器功率Pin和提拉速率Vp；y是系統(tǒng)輸出，即熔體溫度Tm和分界面半徑Ri；w是加熱器功率Pin上的干擾；z是分界面半徑Ri上的干擾。

圖8　閉環(huán)控制系統(tǒng)Fig.8　Closed loop control system

根據(jù)標(biāo)稱無延遲線性系統(tǒng)(即無干擾且不存在內(nèi)部模型和被控系統(tǒng)的不匹配)設(shè)計(jì)無約束MPC控制器來研究系統(tǒng)性能。系統(tǒng)的激勵(lì)給定為階躍信號(hào)。

通過對(duì)預(yù)測(cè)時(shí)域、控制時(shí)域選擇不同的取值，進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，確定合適的參數(shù)。

當(dāng)設(shè)定熔體溫度Tm為5K的階躍激勵(lì)、晶體半徑Ri設(shè)定為常數(shù)0時(shí)，仿真結(jié)果如圖10所示，這一結(jié)果也在可接受范圍內(nèi)。

圖9　Ri以0.5mm的步長(zhǎng)變化時(shí)的系統(tǒng)響應(yīng)Fig.9　Response to a 0.5mmstep change in Ri

圖10　Tm以5K的步長(zhǎng)變化時(shí)的系統(tǒng)響應(yīng)Fig.10　Response to a 5Kstep change in Tm

設(shè)計(jì)有延遲系統(tǒng)的控制器需要考慮在標(biāo)稱系統(tǒng)中加入時(shí)延，即考慮輸入功率Pin到系統(tǒng)輸出的純時(shí)延，初步設(shè)定為60s。將預(yù)測(cè)時(shí)域P和控制時(shí)域M默認(rèn)值下的無延遲結(jié)果與有延遲結(jié)果以及增加P和M取值的有延遲結(jié)果進(jìn)行比較。當(dāng)P和M取默認(rèn)值且有延遲時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)無法執(zhí)行并且是不穩(wěn)定的；當(dāng)P和M取值增加時(shí)，系統(tǒng)性能得以恢復(fù)。最后得出的仿真結(jié)果如圖11所示，在可接受范圍內(nèi)，認(rèn)為控制器性能良好。

圖11　Ri以0.5mm的步長(zhǎng)變化時(shí)的系統(tǒng)響應(yīng)，時(shí)延60 sFig.11　Response to a 0.5mmstep change in Ri, delay=60 s

6　結(jié)　語

本文基于傳熱傳質(zhì)基本原理建立了CZ法晶體生長(zhǎng)等徑階段的低階模型，并通過驗(yàn)證開環(huán)特征根的方式證明了模型的有效性，采用模型預(yù)測(cè)控制算法針對(duì)系統(tǒng)有無延遲的情況分別設(shè)計(jì)了相對(duì)應(yīng)的無約束無干擾控制器，在可接受范圍內(nèi)，認(rèn)為控制器的控制效果良好。本研究下一步將在控制器的設(shè)計(jì)中考慮約束和干擾的問題，進(jìn)行更結(jié)合實(shí)際工業(yè)問題的研究。

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(責(zé)任編輯周蓓)

Modeling based on resistive network and simulation of MPC method on Czochralski growth process

YI Yingmin， ZHANG Tong

(School of Automation and Information Engineering, Xi’an University of Technology, Xi’an 710048,China)

For strong nonlinear with large delay on CZ growth process of silicon, the model based on the heat and mass transfer phenomenon is developed. The steady state solutions in the initial conditions are calculated, linearization and analysis of system model are conducted, with control algorithm and designing determined and the controller based on the controllability and stability of the system designed. It is concluded that the simplifications in radiation view factors given by Gevelber can reflect the characteristics of crystal growth in industry. Moreover, the analysis of system performance indicates that the system is uncontrollable and unstable on the premise of heater power as the input, thus using the model predictive control algorithm as the control strategy. Then the unconstrained MPC is designed for the nominal, delay-free, linearized system and the unconstrained MPC for the nominal, delay, linearized system, with the result that verifies the validity of these methods.

single-crystal silicon; the Czochralski process; the resistive network analogy; the lower order model; model predictive control

1006-4710(2016)02-0142-07

10.19322/j.cnki.issn.1006-4710.2016.02.003

2015-05-21

國(guó)家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃973項(xiàng)目資助(2014CB360508)；國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61533014);陜西省教育廳科研資助項(xiàng)目(16JS069)

弋英民,男,教授,博士,研究方向?yàn)榫w生長(zhǎng)模擬仿真研究。E-mail: yiym@xaut.edu.cn

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