胡東方　張文博

河南科技大學(xué)，洛陽，471003

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基于NURBS直紋面擬合敏感點(diǎn)的空間凸輪側(cè)銑刀軌算法優(yōu)化

胡東方張文博

河南科技大學(xué)，洛陽，471003

摘要：基于NURBS直紋面擬合敏感點(diǎn)的空間凸輪側(cè)銑刀軌算法優(yōu)化原理，提出了擬合誤差敏感點(diǎn)的選擇方法，根據(jù)NURBS曲面重構(gòu)的原理，將曲面曲率最值點(diǎn)和擬合誤差最大點(diǎn)定義為理論加工刀軌曲面誤差敏感點(diǎn)。利用曲率敏感點(diǎn)，在理論非等徑刀軌曲面規(guī)劃離散網(wǎng)格，得到初始數(shù)據(jù)點(diǎn)。通過最小二乘優(yōu)化方法重構(gòu)NURBS刀軌直紋面，再根據(jù)誤差敏感點(diǎn)定義的等參數(shù)曲線來調(diào)整刀軌直紋面形狀。構(gòu)建了理論加工誤差模型，并通過實(shí)例的仿真計(jì)算和數(shù)值模擬說明了該算法的有效性。

關(guān)鍵詞：空間凸輪；側(cè)銑加工；敏感點(diǎn)；NURBS直紋面；形狀調(diào)整

0引言

空間凸輪的廓形誤差會(huì)縮短其使用壽命。提高空間凸輪的精度可以有效減小凸輪在運(yùn)行過程中的振動(dòng)，提高凸輪機(jī)構(gòu)運(yùn)行的平穩(wěn)性。對(duì)于大批量生產(chǎn)的空間凸輪，在精加工階段通常采用共軛創(chuàng)成法進(jìn)行加工[1]，即刀具與被加工凸輪共軛創(chuàng)成復(fù)現(xiàn)滾子與凸輪的共軛運(yùn)動(dòng)，采用的刀具與滾子幾何特征參數(shù)完全相同，這樣就保證了所生成的廓面與滾子完全嚙合。這種方法加工出的凸輪除了由內(nèi)外螺旋線螺旋角不一致而造成的原理誤差外，并沒有其他誤差，因此可制造出較高精度的凸輪。等徑加工存在的缺陷是必須保證刀具的半徑與滾子半徑嚴(yán)格一致，刀具需要專門定制，在小批量生產(chǎn)時(shí)加工成本會(huì)變得很高。因此，非等徑加工是常用的空間凸輪小批量生產(chǎn)的加工方式，即采用半徑小于滾子半徑的刀具加工空間凸輪廓面。

近年來，學(xué)者們針對(duì)凸輪的非等徑側(cè)銑加工刀軌優(yōu)化問題，從刀具與工件的局部幾何關(guān)系和NURBS直紋面整體逼近兩個(gè)方面進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[2]根據(jù)局部刀具與凸輪的接觸線幾何關(guān)系計(jì)算出加工最佳切觸點(diǎn)，減小了理論加工誤差；文獻(xiàn)[3]綜合側(cè)銑點(diǎn)位偏置算法的優(yōu)點(diǎn)，建立局部刀位搜索模型來確定最優(yōu)刀位點(diǎn)；文獻(xiàn)[4]簡(jiǎn)化了刀具與凸輪接觸線幾何關(guān)系求解模型，提出了一種自適應(yīng)誤差補(bǔ)償算法；文獻(xiàn)[5]根據(jù)NURBS曲面重構(gòu)原理，利用最小二乘法從整體上提高了理論加工精度；文獻(xiàn)[6]對(duì)理論非等徑刀軌曲面進(jìn)行了插值反算，并利用遺傳算法從整體上對(duì)刀軌進(jìn)行了優(yōu)化。從誤差控制效果和算法實(shí)現(xiàn)效率來看，整體直紋面逼近算法的理論誤差相對(duì)較小，也無需過多考慮局部優(yōu)化過程中存在的刀具干涉問題，因此，從總體上來看，NURBS直紋面整體逼近算法要優(yōu)于局部幾何優(yōu)化方法。

現(xiàn)有直紋面逼近算法都只運(yùn)用了NURBS最基本的算法原理，鮮見對(duì)NURBS擬合算法深層次應(yīng)用的研究。因此筆者提出一種基于NURBS直紋面擬合敏感點(diǎn)的側(cè)銑刀軌優(yōu)化算法，利用NURBS曲面重構(gòu)原理的多種數(shù)學(xué)性質(zhì)構(gòu)建誤差控制模型，減小空間凸輪非等徑側(cè)銑加工的理論誤差。

1NURBS直紋面擬合

直紋面是通過位于兩條準(zhǔn)線之間的直線做連續(xù)運(yùn)動(dòng)而形成的曲面，其準(zhǔn)線S(u)的NURBS表達(dá)式為[7-8]

(1)

式中，u為準(zhǔn)線的定義域，u∈[0,1]；Wi為權(quán)因子； Ni,k(u)為k次規(guī)范B樣條基函數(shù)；di為準(zhǔn)線的控制頂點(diǎn)位置矢量(簡(jiǎn)寫為控制頂點(diǎn)，下同)。

在不影響直紋面的逼近的前提下，可對(duì)式(1)進(jìn)行簡(jiǎn)化，設(shè)定兩條NURBS準(zhǔn)線的次數(shù)和節(jié)點(diǎn)數(shù)均相同。由于理論刀軌面數(shù)據(jù)點(diǎn)之間權(quán)重相等，取NURBS曲面所有權(quán)因子W=1。3次NURBS在CAM中應(yīng)用廣泛，因此采用3次NURBS方程對(duì)刀軌曲面進(jìn)行重構(gòu)，取k=3。因此NURBS直紋面的兩條準(zhǔn)線S1(u)和S2(u)可表示為3次B-Spline形式：

(2)

直紋面方程可根據(jù)兩條準(zhǔn)線定義為

S(u,v)=(1-v)S1(u)+vS2(u)

(3)

v∈[0，1]

將式(2)代入式(3)，可得NURBS直紋面表達(dá)式：

(4)

Ri,k；j,l(u,v)=

式中，di,j為NURBS表達(dá)式的權(quán)因子；Ri,k;j,l(u,v)為NURBS表達(dá)式的基函數(shù)；Wi,j為直紋面S(u,v)的權(quán)因子；Nj,l(v)為NURBS直紋面母線上的基函數(shù)，其中l(wèi)=1，表示直紋面母線次數(shù)為1。

2敏感點(diǎn)對(duì)NURBS擬合約束

NURBS擬合曲面生成過程中，需要從初始理論曲面獲得初始數(shù)據(jù)點(diǎn)，然后利用數(shù)據(jù)點(diǎn)擬合NURBS曲面。理論曲面離散數(shù)據(jù)點(diǎn)的采樣算法和擬合出的曲面形狀對(duì)理論加工誤差有直接影響。一般情況下，理論NURBS曲面初始數(shù)據(jù)點(diǎn)的采樣算法采用等參數(shù)離散法，擬合曲面采用NURBS插值反算方法。通過分析NURBS曲面的擬合算法原理可知，NURBS重構(gòu)過程中會(huì)出現(xiàn)“弓高”誤差，利用等參數(shù)離散插值反算重構(gòu)算法求得的NURBS曲面，其擬合誤差會(huì)隨著曲率的增長而逐步提高，并在曲率最值點(diǎn)達(dá)到最大。從NURBS曲面重構(gòu)原理上來看，曲率最大點(diǎn)就是誤差最大點(diǎn)，即曲面曲率與曲面加工誤差有著直接的對(duì)應(yīng)關(guān)系[9]。因此可將曲率最值點(diǎn)與誤差最大點(diǎn)統(tǒng)一定義為擬合誤差敏感點(diǎn)[10]，在敏感點(diǎn)處施加約束來控制NURBS刀軌直紋面擬合誤差。

2.1非等徑刀軌曲面推導(dǎo)式及其性質(zhì)

常用的求解刀軌曲面上任意點(diǎn)曲率的算法通過聯(lián)立刀軌曲面坐標(biāo)公式，得到該點(diǎn)周圍小范圍區(qū)域內(nèi)其他若干離散數(shù)據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，將這些離散的數(shù)據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)代入曲率公式得到該點(diǎn)曲率的近似解。這種方法既無法求得刀軌曲面任意點(diǎn)曲率的準(zhǔn)確數(shù)值解，也不能建立曲率與數(shù)據(jù)點(diǎn)離散模型的直接數(shù)學(xué)關(guān)系。為了從整體上構(gòu)建NURBS直紋面擬合誤差控制模型，將理論刀軌曲面數(shù)據(jù)點(diǎn)離散算法建立在曲率約束的數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)上，使得擬合誤差與數(shù)據(jù)點(diǎn)離散形成直接的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

空間圓柱凸輪通過滾子和運(yùn)動(dòng)導(dǎo)桿來控制末端從動(dòng)件的運(yùn)動(dòng)，按運(yùn)動(dòng)形式可將空間圓柱凸輪可分為直動(dòng)凸輪和擺動(dòng)凸輪。以空間擺動(dòng)圓柱凸輪為例，其輪廓設(shè)計(jì)方法是，將凸輪的輪廓曲線展開成矩形平面，然后按照平面凸輪輪廓的設(shè)計(jì)方法求得展開的輪廓曲線，最后將平面輪廓曲線轉(zhuǎn)換到三維空間，生成等槽深的輪槽?；谝陨戏治隹赏茖?dǎo)出一種新的空間凸輪的數(shù)學(xué)建模方法：先通過輪廓方程得到滾子的理論二維運(yùn)動(dòng)曲線，然后將運(yùn)動(dòng)曲線首尾相接進(jìn)行“纏繞”，這樣就生成了等徑刀具的運(yùn)動(dòng)曲線，再通過“掃掠”曲面的方法進(jìn)行等徑刀軌曲面的構(gòu)造，如圖1、圖2所示?；谶@種原理得到等徑刀軌曲面后，通過等距面偏置得到非等徑刀軌曲面方程，從而簡(jiǎn)化非等徑刀具軌跡面的求解。根據(jù)滾子軸線軌跡面表達(dá)式可知其為直紋面，等徑刀軸軌跡面為滾子軸線軌跡面，非等徑刀軸理論軌跡面為滾子軸線軌跡面的等距偏置曲面，令等徑刀具(滾子)半徑、非等徑刀具半徑分別為R和r，則刀軌等距面偏置距離值Δr=R-r。

圖1　運(yùn)動(dòng)曲線纏繞

圖2　掃掠生成圓柱凸輪

凸輪理論運(yùn)動(dòng)曲線展開線K上點(diǎn)si(xi，yi)的坐標(biāo)計(jì)算公式為[11]

(5)

凸輪理論運(yùn)動(dòng)曲線展開線上的始末點(diǎn)s0、sn坐標(biāo)為(x0，y0)和(xn，yn)；(xB，yB)為曲線K1或K2上任意點(diǎn)的坐標(biāo)；λ=±1，取正號(hào)代表(xB，yB)為曲線K1上任意點(diǎn)的坐標(biāo)，取負(fù)號(hào)代表(xB，yB)為曲線K2上任意點(diǎn)的坐標(biāo)；α為滾子的瞬時(shí)壓力角。

式(5)中參數(shù)xi、yi、α為未知量，可消去未知量α，使式(5)只含有未知量xi、yi，那么就可將式(5)改寫為yi=f(xi)形式，這樣就將凸輪的設(shè)計(jì)曲線與凸輪的理論運(yùn)動(dòng)曲線公式聯(lián)系起來了。

設(shè)在凸輪外徑上的si到s0的轉(zhuǎn)角為θ，則θ=(xi-x0)/Rb。令Rb為空間凸輪的半徑，Rb=(xn-x0)/(2π)，xi∈[x0，xn]。將滾子運(yùn)動(dòng)展開線轉(zhuǎn)換至三維坐標(biāo)系，得到等徑刀具(滾子)外側(cè)軸心運(yùn)動(dòng)曲線(等徑刀軌直紋面導(dǎo)線)S(θ)在三維空間中的表達(dá)式：

S(θ)=(x(θ),y(θ),z(θ))=(Rbsinθ,Rbcosθ,yi)

(6)

根據(jù)等徑刀軸軌跡面為直紋面的性質(zhì)可知，S(θ)為等徑刀軸直紋面的導(dǎo)線方程，對(duì)于導(dǎo)線上任意一點(diǎn)si，其沿母線方向矢量為l，則該點(diǎn)處等徑刀軸直紋面母線l(θ)幾何表達(dá)式為

l(θ)=(x(θ),y(θ),z′(θ))=(Rbsinθ,-Rbcosθ,0)

(7)

將其轉(zhuǎn)化為切矢為參數(shù)方程的形式，根據(jù)式(6)、式(7)及直紋面性質(zhì)可得到等徑刀軌直紋面R0(θ，w)的幾何表達(dá)式：

R0(θ，w)=S(θ)+wl(θ)

(8)

式中，w為直紋面母線。

根據(jù)式(8)及等距偏置面性質(zhì)得到非等徑刀軌曲面R(θ，w)的幾何表達(dá)式：

R(θ，w)=R0(θ，w)+Δrn

(9)

式中，n為等距偏置曲面之間的法向矢量。

將式(9)改寫成曲面第一、第二表達(dá)式形式：

RⅠ(θ，w)=Edθ2+2Fdθdw+Gdw2

(10)

RⅡ(θ，w)=Ldθ2+2Mdθdw+Ndw2

(11)

式中，E、F、G、L、M、N為理論非等徑刀軌曲面的曲面第一、第二表達(dá)式中的參數(shù)。

根據(jù)式(10)、式(11)，可得非等徑刀軌曲面的高斯曲率K*和平均曲率H*：

(12)

(13)

式中，k1、k2為非等徑刀軌曲面的主曲率。

2.2基于曲率敏感點(diǎn)的離散路徑規(guī)劃

基于曲率敏感點(diǎn)的自適應(yīng)規(guī)劃思想對(duì)數(shù)據(jù)點(diǎn)取樣網(wǎng)格進(jìn)行規(guī)劃[12]，具體步驟如下：

首先根據(jù)式(12)、式(13)得到理論刀軌曲面任一點(diǎn)主曲率k1、k2，然后定義刀軌曲面上任意一點(diǎn)的彎曲度：

(14)

根據(jù)高斯曲率和平均曲率公式 ，可將式(14)轉(zhuǎn)化為

(15)

定義形狀函數(shù)：

(16)

令非等徑刀軌曲面SR={R(θ，w)| (θ，w)∈D0}，D0是參數(shù)θ和w的定義域。根據(jù)形狀函數(shù)r(c)，假設(shè)SR離散采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)為P，定義采樣點(diǎn)下標(biāo)的集合D={1，2，…，P}。由于r(c)為能夠反映曲面SR特征變化的形狀函數(shù)，在D0上獲得基于曲率敏感點(diǎn)的點(diǎn)集V={(θi，wi) |i∈D}使給定的P個(gè)抽樣點(diǎn)能夠表示曲面SR的特征。定義一個(gè)領(lǐng)域系統(tǒng)N={Ni|i∈D}，Ni是點(diǎn)(θi，wi)的相鄰點(diǎn)的索引，其中i?Ni。如果i∈Nj，j∈Ni，Ni可定義為網(wǎng)格四領(lǐng)域，則離散點(diǎn)(θi，wi)的最符合曲率的分布位置滿足：

∑r(qj)(qi-qj)=0

式中，qi為第i次離散后點(diǎn)集的離散程度；qj為第j次離散后點(diǎn)集的離散程度，且j=i+1。

雖然非等徑刀軌曲面的曲率演化規(guī)律能夠在最終生成的網(wǎng)格上反映出來，但生成的網(wǎng)格形狀散亂，不利于下一步基于NURBS直紋面的重構(gòu)，所以需要對(duì)最終的網(wǎng)格數(shù)據(jù)進(jìn)行分析和處理。形狀函數(shù)r(c)在某點(diǎn)處的值越大，該點(diǎn)相鄰部分在等參數(shù)條件下的形狀變化越劇烈，即離散網(wǎng)格對(duì)曲率的“敏感度”越高。為了保留了刀軌面的幾何特征，也使生成的網(wǎng)格更加規(guī)則，以便于NURBS曲面重構(gòu)，可采用“曲率敏感點(diǎn)”方式，即將曲率敏感點(diǎn)作為約束條件，以曲率最大的點(diǎn)為有效數(shù)據(jù)點(diǎn)生成過該點(diǎn)的u、v坐標(biāo)網(wǎng)格線。算法實(shí)現(xiàn)過程如下。

將自適應(yīng)迭代后采集的數(shù)據(jù)點(diǎn)改寫為的矩陣形式：

式中，a為等參數(shù)w曲線上離散得到的數(shù)據(jù)點(diǎn)個(gè)數(shù)；b為等參數(shù)θ曲線上離散得到的數(shù)據(jù)點(diǎn)個(gè)數(shù)。

矩陣同列數(shù)據(jù)點(diǎn)的參數(shù)w相同，同行數(shù)據(jù)點(diǎn)的參數(shù)θ相同。對(duì)于第i行的數(shù)據(jù)點(diǎn)，基于曲率敏感點(diǎn)規(guī)劃后取坐標(biāo)點(diǎn)為

(θi,wj)={(θi,wj)|k(θi,wj)=

由式(9)可得離散網(wǎng)格上對(duì)應(yīng)等參數(shù)θ的網(wǎng)格線方程：

R(θi,w)=R0(θi,w)+Δrn=S(θi)+wl(θi)+Δrn

(17)

對(duì)于第nj列的數(shù)據(jù)點(diǎn)，基于曲率敏感點(diǎn)規(guī)劃后取坐標(biāo)點(diǎn)為

(θi,wj)={(θi,wj)|k(θi,wj)=

由式(9)可得離散網(wǎng)格上對(duì)應(yīng)等參數(shù)w的網(wǎng)格線方程：

R(θ，wj)=R0(θ，wj)+Δrn=

S(θ)+wjl(θ) +Δrn

(18)

3基于誤差敏感點(diǎn)的等參數(shù)曲線約束下NURBS曲面的形狀調(diào)整

3.1基于最小二乘法的刀軌面初步擬合

最小二乘優(yōu)化逼近方法是利用理論非等徑刀軌曲面離散的數(shù)據(jù)點(diǎn)，通過最小二乘法構(gòu)造一個(gè)NURBS直紋面來逼近理論非等徑刀軌曲面。通常情況下，NURBS刀軌曲面擬合需要將等距偏置曲面離散的數(shù)據(jù)點(diǎn)沿著基準(zhǔn)直紋面法向矢量方向進(jìn)行投影，得到相應(yīng)參數(shù)值后，再對(duì)基準(zhǔn)直紋面進(jìn)行逼近來獲得所需NURBS曲面[13]。而空間凸輪的刀軌數(shù)據(jù)點(diǎn)是基于理論非等徑刀軌曲面的離散點(diǎn)，理論非等徑刀軌曲面就是最優(yōu)基準(zhǔn)面，因此可直接對(duì)理論非等徑刀軌曲面進(jìn)行逼近得到NURBS刀軌曲面。我們首先對(duì)曲面上采集的z+1個(gè)離散數(shù)據(jù)點(diǎn)Cij(θi，wj)進(jìn)行雙向累積弦長參數(shù)化，其中z+1=ab，得到NURBS擬合所需參數(shù)化數(shù)據(jù)點(diǎn)(ui*,vi*)，(ui*,vi*)為離散數(shù)據(jù)點(diǎn)參數(shù)化生成的NURBS參數(shù)序列值，i*=0,1,…,z。將(ui*,vi*)代入式(4)得到S(ui*,vi*)。為使NURBS直紋面對(duì)理論非等徑刀軌曲面的整體逼近效果達(dá)到最優(yōu)，應(yīng)使NURBS直紋面到理論非等徑刀軌曲面的距離最小，因此可利用最小二乘法即以NURBS直紋面到刀軌曲面上所有離散點(diǎn)的距離平方和最小為目標(biāo)構(gòu)造逼近目標(biāo)函數(shù)：

(19)

式中，X為控制頂點(diǎn)矢量；Φ為節(jié)點(diǎn)向量；C為理論非等徑刀軌曲面上離散的數(shù)據(jù)點(diǎn)。

根據(jù)式(19)求解出實(shí)際NURBS刀軸軌跡面S(u，v)，其直紋面母線對(duì)應(yīng)的為刀具軸心線。逼近法的理論加工誤差為

δ=‖C(θ,w)-S(u,v)‖

(20)

3.2基于誤差敏感點(diǎn)的等參數(shù)曲線的形狀變化約束解算

為減小擬合曲面誤差，可基于最小二乘擬合刀軌直紋面的最大誤差點(diǎn)(該點(diǎn)擬合誤差值為δmax)建立誤差約束模型，改變擬合NURBS刀軌直紋面的局部形狀，進(jìn)行擬合誤差的控制[14]。由式(4)可知，NURBS擬合曲面形狀與控制頂點(diǎn)、權(quán)重因子和節(jié)點(diǎn)矢量有關(guān)，根據(jù)之前對(duì)敏感點(diǎn)與曲率、誤差關(guān)系的分析，可建立基于誤差敏感點(diǎn)約束的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)一步減小理論非等徑刀軌直紋面擬合誤差。

通過調(diào)整NURBS擬合曲面的形狀，使擬合曲面在誤差敏感點(diǎn)處與理論曲面重合，以此控制最大誤差和相鄰區(qū)域誤差[15]。凸輪等徑刀軌直紋面上對(duì)應(yīng)的最大誤差點(diǎn)為Cz(θz，wz)，可根據(jù)過該點(diǎn)的滾子直紋面母線lz的法矢nz，將lz沿nz方向偏置Δr，偏置后的曲線設(shè)為Ls，將曲線Ls作為目標(biāo)約束曲線，則該曲線的等參數(shù)樣條表達(dá)式為

(21)

假設(shè)形狀改變后的NURBS直紋面為

(22)

式中，S(u，v)為形狀改變前的NURBS直紋面；εi,j為NURBS直紋面形狀調(diào)整矢量。

我們通過約束條件下建立優(yōu)化模型的方法來確定調(diào)整矢量εij。參照文獻(xiàn)[15]可設(shè)優(yōu)化模型的目標(biāo)函數(shù)為

(23)

拉格朗日方程為

(24)

式中，λ*為拉格朗日乘數(shù)。

根據(jù)式(24)分別對(duì)參數(shù)λ*、εi,j求偏導(dǎo)得

(25)

消去參數(shù)λ*后，可得εi,j的顯式表達(dá)式：

(26)

通過式(26)可以得到εi,j，將εi,j代入式(22)得到改變形狀后的NURBS刀軌直紋面。

3.3基于NURBS擬合敏感點(diǎn)的臨界條件

NURBS非等徑刀軌直紋面初步擬合結(jié)果(最小二乘法擬合得到的曲面)的優(yōu)劣可從兩個(gè)方面(最大誤差δmax和誤差滿足比例σ)進(jìn)行判斷，設(shè)δz和σm為判定條件。若擬合曲面的最大誤差值δmax過大，則會(huì)造成在NURBS擬合直紋面敏感點(diǎn)算法調(diào)整形狀后，擬合刀軌直紋面局部形狀變化劇烈，這不利于在加工過程中對(duì)刀具姿態(tài)和進(jìn)給速度進(jìn)行精確的控制；若誤差滿足比例值σ過小，則會(huì)造成實(shí)際加工出的凸輪不能滿足使用需求。

3.4刀軸參數(shù)的獲得

4基于NURBS擬合敏感點(diǎn)的空間凸輪側(cè)銑刀軌算法實(shí)現(xiàn)方法

根據(jù)以上的分析，可以得出基于NURBS擬合敏感點(diǎn)的空間凸輪側(cè)銑刀軌算法實(shí)現(xiàn)流程，如圖3所示，具體步驟如下：

(1)利用本文算法建立精確的凸輪零件模型，根據(jù)獲得的凸輪滾子軸線軌跡面得到理論非等徑刀軌曲面。

(2)根據(jù)基于敏感點(diǎn)(曲率極值)算法獲得理論刀軌曲面的數(shù)據(jù)點(diǎn)網(wǎng)格，并根據(jù)曲率最值點(diǎn)進(jìn)行網(wǎng)格規(guī)化。

《孟子·離婁上》云:“愛人不親，反其仁；治人不治，反其智；禮人不答，反其敬——行有不得者皆反求諸己，其身正而天下歸之?！辈环垂允∮萌谁h(huán)境“短板”，進(jìn)而排解“亡牢”問題，而妄圖用“補(bǔ)羊”的辦法解決“亡羊”問題，顯屬本末倒置舍本逐末。其結(jié)果必然是，小洞不補(bǔ)大洞吃苦，東邊打魚西邊放生。

(3)利用最小二乘法對(duì)NURBS刀軌直紋面進(jìn)行初步擬合，設(shè)置初步擬合最大誤差臨界值δ1、比例誤差臨界值δ*和誤差滿足比例臨界值σm，計(jì)算NURBS直紋面初步擬合誤差的最大值δmax和誤差值小于δ*的數(shù)據(jù)點(diǎn)個(gè)數(shù)以求得誤差滿足比例σ，利用δ1和σm判斷NURBS刀軌直紋面初步擬合的效果。若滿足設(shè)定條件則進(jìn)入步驟(4)；若不滿足則返回步驟(2)，增加離散數(shù)據(jù)點(diǎn)個(gè)數(shù)。

(5)輸出滿足要求的刀軌。

圖3　敏感點(diǎn)算法流程圖

5計(jì)算實(shí)例與仿真實(shí)驗(yàn)對(duì)比

為了驗(yàn)證本文算法的有效性，設(shè)計(jì)如下仿真實(shí)驗(yàn)：首先針對(duì)同一圓柱凸輪的同一工作廓面的非等徑加工刀軌曲面，使用不同離散方法進(jìn)行數(shù)據(jù)點(diǎn)采集，通過不同算法對(duì)曲面進(jìn)行擬合重構(gòu)，計(jì)算曲面的擬合誤差并進(jìn)行分析。

現(xiàn)加工一個(gè)空間擺動(dòng)圓柱滾子凸輪，已知從動(dòng)滾子半徑R=10 mm，凸輪半徑Rb=80 mm，滾子軸心運(yùn)動(dòng)展開線為正弦曲線，分度期轉(zhuǎn)角為180°。凸輪模型根據(jù)滾子軸線直紋面生成的非等徑理論刀軌曲面如圖4所示。

圖4　非等徑理論刀具軌跡面

(1)首先分別基于等參數(shù)法和基于曲率敏感點(diǎn)法生成理論非等徑刀軸軌跡面數(shù)據(jù)點(diǎn)離散網(wǎng)格，得到理論非等徑刀軌直紋面的600個(gè)離散數(shù)據(jù)點(diǎn)。離散結(jié)果以及曲率分布如圖5～圖7所示，可看出基于敏感點(diǎn)規(guī)劃離散網(wǎng)格可在理論刀軌曲面曲率較大的區(qū)域取到更多的點(diǎn)。

圖5　基于等參數(shù)法刀軸軌跡面離散的網(wǎng)格

圖6　基于敏感點(diǎn)刀軸軌跡面離散的網(wǎng)格

圖7　理論刀軌面曲率分布云圖

(2)根據(jù)算法進(jìn)行擬合誤差進(jìn)行仿真分析，取加工立銑刀半徑為9 mm，分別利用等參數(shù)最小二乘法(利用等參數(shù)離散法獲得初始數(shù)據(jù)點(diǎn)，利用最小二乘法擬合刀軌直紋面)、敏感點(diǎn)最小二乘法(利用曲率敏感點(diǎn)自適應(yīng)離散法獲得初始數(shù)據(jù)點(diǎn)，利用最小二乘擬合刀軌直紋面)、敏感點(diǎn)擬合修正法(利用敏感點(diǎn)最小二乘法獲得擬合刀軌直紋面，基于誤差敏感點(diǎn)調(diào)整刀軌直紋面形狀)三種算法對(duì)刀軌曲面進(jìn)行擬合。根據(jù)實(shí)際加工精度要求，設(shè)定加工誤差臨界值δ*=0.01 mm。若NURBS刀軌直紋面在某區(qū)域內(nèi)的擬合誤差δ≤δ*，則認(rèn)為該區(qū)域擬合誤差足夠小，刀軌逼近精度能夠滿足實(shí)際加工的精度要求，仿真結(jié)果圖上用淺色表示此區(qū)域；反之則認(rèn)為擬合誤差過大，用深色表示。仿真結(jié)果如圖8～圖10所示，可以看出基于NURBS擬合敏感點(diǎn)算法能夠獲得最好的曲面逼近效果。

圖8　基于等參數(shù)最小二乘法的擬合面誤差分布圖

圖9　基于敏感點(diǎn)最小二乘法擬合面誤差分布圖

圖10　基于NURBS擬合敏感點(diǎn)修正法擬合面誤差分布圖

(3)分別利用三種算法對(duì)刀軌曲面進(jìn)行擬合，在中線(直紋面母線等參數(shù)二分點(diǎn)所在曲線)上對(duì)擬合誤差進(jìn)行數(shù)據(jù)采集，采集分度區(qū)間為0°～90°，對(duì)應(yīng)的非等徑刀具運(yùn)動(dòng)理論展開線的波谷和波峰作為采集區(qū)間的起始點(diǎn)和終點(diǎn)，所采集10個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的等分區(qū)間大小相同，在三種方法下擬合刀軌曲面的誤差波動(dòng)情況如圖11所示。

圖11　三種方法理論加工誤差分布圖

根據(jù)圖11可得，敏感點(diǎn)修正算法對(duì)刀軌直紋面誤差控制能力優(yōu)于敏感點(diǎn)最小二乘法，敏感點(diǎn)最小二乘法優(yōu)于等參數(shù)最小二乘法，誤差敏感點(diǎn)擬合修正算法在曲率較大的區(qū)域能夠較好地控制擬合誤差，并能夠有效減小最大刀軌擬合誤差。但在曲率較小的區(qū)域，敏感點(diǎn)修正算法誤差控制能力并不優(yōu)于其他兩種算法，這是由于該算法在曲率較小的區(qū)域獲得的數(shù)據(jù)點(diǎn)較少，降低了算法在該區(qū)域的誤差控制能力。

(4)利用三種算法，對(duì)不同半徑立銑刀加工的擬合誤差進(jìn)行計(jì)算，得到最大加工理論誤差結(jié)果，如表1所示。

表1　最大加工理論誤差δmax

通過表1可以看出，在使用不同半徑立銑刀時(shí)，NURBS擬合敏感點(diǎn)算法的擬合誤差小于敏感點(diǎn)最小二乘法擬合誤差，敏感點(diǎn)最小二乘法擬合誤差小于等參數(shù)最小二乘法擬合誤差。

6結(jié)論

(1)根據(jù)NURBS曲面重構(gòu)原理，提出了一種減小NURBS直紋面擬合誤差的方法。定義理論非等徑刀軌面上曲率的最值點(diǎn)和誤差最值點(diǎn)為敏感點(diǎn)，利用敏感點(diǎn)建立誤差約束算法模型，對(duì)空間凸輪側(cè)銑刀軌直紋面的擬合誤差進(jìn)行了控制，提高了空間凸輪理論非等徑加工的精度。

(2)在凸輪理論刀軌曲面敏感點(diǎn)計(jì)算過程中，提出了一種基于運(yùn)動(dòng)曲線表達(dá)式的空間凸輪非等徑理論刀軌曲面的推導(dǎo)算法。該算法簡(jiǎn)化了刀軌曲面表達(dá)式的推導(dǎo)過程，并能精確計(jì)算出非等徑刀軌曲面上任意點(diǎn)曲率的數(shù)值，為進(jìn)一步研究空間凸輪刀軌曲面的相關(guān)性質(zhì)提供了算法依據(jù)。

(3)根據(jù)本文算法設(shè)計(jì)了相關(guān)模擬實(shí)驗(yàn)，通過數(shù)值仿真計(jì)算，驗(yàn)證了基于NURBS擬合敏感點(diǎn)刀軌優(yōu)化算法的有效性，為減小NURBS曲面重構(gòu)誤差提供了理論依據(jù)。

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(編輯張洋)

收稿日期：2016-02-01

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51475146)；河南省教育廳重大科技攻關(guān)項(xiàng)目(13A520232)

中圖分類號(hào)：TH132.47

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2016.14.013

作者簡(jiǎn)介：胡東方，男，1967年生。河南科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院副教授。主要研究方向?yàn)樘摂M產(chǎn)品設(shè)計(jì)與開發(fā)。 獲河南省科技進(jìn)步獎(jiǎng)二等獎(jiǎng) 1項(xiàng)、三等獎(jiǎng)1項(xiàng)。出版專著1部。發(fā)表論文 30余篇。張文博，男，1989年生。河南科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院碩士研究生。

Flank Milling Cutter Path Optimization Method in Spatial Cam Machining Based on Reconstruction of NURBS Ruled Surface Driven by Sensitive Points

Hu DongfangZhang Wenbo

Henan University of Science and Technology,Luoyang，Henan，471003

Abstract:A new method to improve the tool path accuracy of frank milling was proposed based on the sensitive points affecting the NURBS ruled surface reconstruction for cam machining. The approach for the surface reconstruction was analyzed, and the curvature extreme points and the points with the maximum path error were defined as the sensitive points. The original data points was obtained by the adaptive sampling mesh planned by the curvature extreme points. Based on the least square method, the shape of the ruled surface reconstructed was modified by the constraint curve defined by the error sensitive points. At last, the numeral calculation and simulation experiments of the theoretical machining error model show the effectiveness of the algorithm.

Key words:spatial cam; flank milling; sensitive point; NURBS ruled surface; shape modification