王　婉，羅戎蕾，劉成霞

(1.浙江理工大學 服裝學院，杭州 310018； 2.浙江省服裝工程技術研究中心，杭州 310018)

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基于數(shù)學方法的伊斯蘭圖案設計研究

王婉1，羅戎蕾2，劉成霞3

(1.浙江理工大學 服裝學院，杭州 310018； 2.浙江省服裝工程技術研究中心，杭州 310018)

摘要:為了豐富圖案的表現(xiàn)形式，拓展傳統(tǒng)圖案的設計思路，為設計師提供更便捷的設計方法和途徑。首先，運用科學可視化方法，對部分數(shù)學公式形成圖形的原理和方法進行研究。然后通過對伊斯蘭圖案的特點和傳統(tǒng)作圖方法的分析，運用計算機輔助設計，對數(shù)學模型中各個參數(shù)的控制生成一系列的基礎圖形，結合平面設計、圖像處理軟件等對生成的圖形實現(xiàn)對伊斯蘭圖案的模擬，做出能夠運用到織物上的紋樣圖案。結果表明，利用數(shù)學方法可以實現(xiàn)對傳統(tǒng)經典圖案的設計創(chuàng)造，設計出既經典又時尚的圖案。

關鍵詞:米拉公式；伊斯蘭；伊斯蘭圖案；圖案設計

伊斯蘭圖案藝術是與紋飾藝術緊密結合的藝術形式，其規(guī)則的排列和節(jié)奏感、對稱、均衡的表現(xiàn)形式富于裝飾性。當伊斯蘭圖案經典圖案遍布清真寺和工藝品上時，足以表現(xiàn)其影響力，然而伊斯蘭圖案傳統(tǒng)的作圖方法卻異常繁瑣。近代隨著計算機技術的發(fā)展，數(shù)字化圖案為圖案設計提供了新的思路和平臺，為圖案的設計提供了嶄新的角度。

目前，國內外對數(shù)字圖案的研究主要集中在分形理論、混沌理論的應用。Neves Jorge等[1]，Hudec G等[2]從20世紀90年代就研究了分形圖案的生成方法及其在印花和織造設計中應用的可能性與前景。2002年以來，張聿[3]研究了非線性圖案(包括各類分形與混沌圖案)在紋織設計與印花圖案設計中的應用。Attilio Maccari[4]也對分形理論在藝術設計中的應用進行了研究。Loai M Dabbour[5]在研究幾何比例過程中分析了伊斯蘭幾何圖案的結構與作圖方法。但是，對于用數(shù)學方法對伊斯蘭圖案進行設計應用的相關報道很少。筆者通過對大量數(shù)學公式產生的不同造型圖形進行了分析和研究，發(fā)現(xiàn)某些函數(shù)生成的圖形具有伊斯蘭圖案的部分特征。本文主要介紹玫瑰曲線、運動曲線等數(shù)學曲線和米拉圖形對伊斯蘭圖案的模擬設計。通過對數(shù)—形的轉換，將抽象的數(shù)學理論運用到實際設計應用中，為圖案設計提供了一種較便捷的設計方法，最后通過實例來驗證基于數(shù)學方法做出的圖案的實用價值。

1　基本理論

1.1玫瑰曲線

玫瑰曲線是一種以三角函數(shù)為基礎，包絡線為圓弧的非多項式參數(shù)曲線，其幾何結構十分規(guī)則，并且具有明顯的周期特性，因其形狀極像玫瑰花，所以命名為玫瑰線。

在極坐標中，玫瑰曲線常用的表達方式為：

ρ=asin(nθ)或ρ=acos(nθ)

(1)

式中：參數(shù)a取實數(shù)控制花瓣的長度；n取整數(shù)，控制花瓣的個數(shù)，當n為奇數(shù)時有n個花瓣，當n為偶數(shù)時有2n個花瓣；當n為非整數(shù)時，將產生圓盤狀圖形，且花瓣也為非整數(shù)。

玫瑰曲線中的參數(shù)a、n的改變控制著玫瑰曲線的形狀。如圖1所示的玫瑰曲線圖形，是當n分別取奇數(shù)3、偶數(shù)2、非整數(shù)6/5時生成的三葉玫瑰、四葉玫瑰、圓盤線。

1.2運動曲線

運動曲線指的是點在運動過程中的形成的軌跡圖形，本文主要介紹線段上點的運動。

圖1　玫瑰曲線Fig.1　Rose curves

圖2中的點A、B、C分別為圓周O上的任意一點，點D和點E分別為線段AB和線段CD上的任一點，當點A、B、C分別在圓周上做勻速圓周運動時，點E在這一運動過程中的軌跡可以用下式表示：

(2)

式中：a、b、c、d、e為可調參數(shù)。

圖2　線段上點的運動Fig.2　Movement of points on a line segment

式(2)中的參數(shù)有五個，在這些參數(shù)中，一個參數(shù)的微小變化就會使圖形產生巨大的變化，因此，可以通過對各參數(shù)的調節(jié)做出成千上萬種造型各異的曲線圖形。圖3所示的就是當給各個參數(shù)賦予不同數(shù)值時所形成的曲線圖形。

圖3　點E運動形成的曲線圖形Fig.3　Curve graph of point E motion

1.3米拉(Mira)公式

1.3.1Gumowski-Mira公式原理

米拉(Mira)公式，又稱顧莫烏斯基-米拉公式(Gumowski-Mira)，其迭代算法如下：

(3)

式中：b取值在1附近(一般取值為[0.998,1.001])，控制軌道是膨脹還是收縮，如果b稍大于1，比如1.002，則軌道就會膨脹；反之若b稍小于1，比如0.998，軌道就會收縮。

其中一個經典函數(shù)：f(x)=ax+2(1-a)x2/(1+x2)。

常用的函數(shù)有：f(x)=ax+2sign(x)(1-a)x2/(1+x2)，f(x)=-0.05ax+a(π-ax)x2/(1+x2)，f(x)=asign(x)+sin(1/x)，f(x)=2πasign(x)+π+sin(π+sin(π+x))等。其中sign是符號函數(shù)，當x>0時，sign(x)=1;當x=0時，sign(x)=0;當x<0時，sign(x)=-1。

通過式(3)迭代的結果是坐標位置，即繪圖點，影響圖案生成的參數(shù)有a、b、迭代次數(shù)n，以及函數(shù)f(x)的選取。米拉公式每迭代運算一次，生成一個新點，迭代完成后，將所有的坐標點繪制出，便得最終圖形。

1.3.2Gumowski-Mira公式

選取經典函數(shù)f(x)=ax+2(1-a)x2/(1+x2)，通過對其不同參數(shù)值設置生成的圖形變化來研究各個參數(shù)(參數(shù)n、b、a)的物理意義。圖4中(a)(b)兩個圖形的對比可以看出，參數(shù)n代表點的個數(shù)，即循環(huán)的次數(shù)，決定著圖像的清晰程度，n越大點數(shù)越多，圖像越清晰。圖4中(c)(d)(e)的對比可以發(fā)現(xiàn)，參數(shù)b通常在1附近，是一個非常敏感的常數(shù)，當b由0.999增大到1時，圖形軌跡會膨脹；如果b輕微減小至0.985時，圖形的軌跡收縮至奇異吸引子。圖4中(f)(g)(h)的對比可以看出，參數(shù)a也很敏感，a的值對圖形的舒展影響很大，a的值增大，圖形周圍類似花瓣的圖案會收斂。

圖4　Mira公式參數(shù)及其圖形Fig.4　Mira formula parameters and patterns

2　伊斯蘭圖案分析

2.1伊斯蘭圖案造型及藝術特征

伊斯蘭裝飾圖形大致可分為文字、幾何、植物三類，其中幾何圖形繪成的圖案藝術被稱為“幾何紋樣”，伊斯蘭民族是世界上最早使用幾何紋樣的民族[6]。其中圓形、三角形、菱形、四邊形、星形、多邊形等是構成伊斯蘭圖案的主要幾何元素(圖5)，通過對這些基礎圖形以不同方式反復循環(huán)、變換、相互交叉等構成繁瑣復雜、變化無窮的精妙紋樣。伊斯蘭的藝術家們在藝術方面的創(chuàng)造主要體現(xiàn)在充分、靈活地運用幾何圖案上，他們將線條、多角形、環(huán)形等圖案混合運用，創(chuàng)造了許多抽象的幾何圖案，其對世界裝飾圖案的影響具有深遠意義[7]。

圖5　伊斯蘭幾何圖案Fig.5　Islamic geometrical patterns

伊斯蘭植物紋樣的造型形式都是基于模仿大自然形成的(圖6)，意在重現(xiàn)自然，體現(xiàn)了穆斯林對于自然的向往之情。伊斯蘭植物紋樣是通過裝飾的藝術手法提練出抽象、簡化的植物紋樣，不是對自然界生物的一種簡單的臨摹。伊斯蘭藝術家們在設計花草圖案時將其原有的形貌抽象化，抽取自然花草的要素和特點而非整株植物的形貌加以運用，妙在似與不似之間。

圖6　伊斯蘭植物紋樣Fig.6　Islamic plant pattern

伊斯蘭特有的宗教思想和信仰使伊斯蘭裝飾藝術非常豐富多彩，伊斯蘭圖案最大的特點就是密集繁復，呈現(xiàn)密不透風，滿地錦繡之形態(tài)，使得人們瞬間即能辨認出“伊斯蘭血統(tǒng)”[8]。其特有的宗教思想使穆斯林人喜愛“繁復藝術”，不喜歡留空白。伊斯蘭紋樣的藝術特征突出，可歸納為以下幾點：

1)抽象性。由于伊斯蘭教禁止偶像崇拜，伊斯蘭藝術家們用抽象的幾何圖案來表達伊斯蘭世界的思想，于是風格化的卷須紋、藤蔓紋樣等對植物母體進行抽象勾勒包含高度抽象化的含義。此外，伊斯蘭世界在中古時期有很多數(shù)學家，他們在天文表的編纂、三角表的制作，數(shù)字研究等方面研究都有杰出成就。阿拉伯人把對數(shù)學和天文的精深研究運用到藝術裝飾中，創(chuàng)造出了許多抽象的幾何圖案。

2)繁密精巧。伊斯蘭圖案最大的特點就是密集繁復，不留空白。在伊斯蘭文化的引導和制約下，“無限聯(lián)系”的方式作為其獨特的藝術表現(xiàn)形式，來表達穆斯林的自由不受約束，也構成了伊斯蘭紋樣的藝術風格特點，在清真寺的墻面裝飾中，這種藝術特點隨處可見。

3)均衡統(tǒng)一。伊斯蘭裝飾藝術是以規(guī)整統(tǒng)一勾勒出共性特征，因紋樣的線條多采用螺旋線、拋物線等纏繞穿插，所以即使圖案繁瑣復雜但仍然能夠保持脈絡的清晰不雜亂，在藝術形式法則上注重整體與局部、簡潔與繁縟、文字和形象的統(tǒng)一。

2.2傳統(tǒng)伊斯蘭圖案設計方法

傳統(tǒng)的伊斯蘭圖案設計運用的是尺規(guī)作圖和鑲嵌原理的方法，做出的圖案不僅連貫還能自由擴展和隨時改變方向，以適合整體布局的需要[9]。尺規(guī)作圖就是只用一把沒有刻度的尺子和一只圓規(guī)進行作圖，直尺只是用來連接兩點之間作直線或者延長線段，圓規(guī)則是用來畫弧線或做圓，通過有限次使用直尺和圓規(guī)，力圖用最簡單的方法做出圖形。其中“作圓、畫線、求交點”是尺規(guī)作圖中最常用的方法，伊斯蘭圖案就是通過這三種方法有限次復合而成。

鑲嵌藝術最早的做法是在瀝青的木材上用陰刻法刻上圖案，再將貝殼填充進去。阿拉伯幾何圖案的鑲嵌與古羅馬時代的馬賽克鑲嵌畫有關，不再是將一種材料填充到另一種材料里，而是將不同材料如貝殼、石子、玻璃等按色彩分類平鋪到地板或墻壁上。通過對伊斯蘭幾何圖案構造的研究不難發(fā)現(xiàn)，伊斯蘭幾何圖案雖然面貌各異，但它們的起點都是一個圓，其變化始于對圓的分割會形成幾種多邊形或其他圖形，這些不同的圖形在很多步驟上是相同的，只是最后一步不同。

圖7所示的伊斯蘭圖案的作圖方法就是以圓為基本單位，各個圓之間形成許多如圖7(a)所示的交點，然后通過對交叉點連線構造出藝術圖案造型。由于交叉點數(shù)目繁多，會產生不同的連接方式，對交叉點連線的不同就會產變化無窮的精妙紋樣，圖7(b)(c)分別為不同連線構造出的不同圖形。

圖7　傳統(tǒng)伊斯蘭圖案作圖方法Fig.7　Traditional Islamic pattern graphing methods

3　伊斯蘭圖案模擬設計

3.1玫瑰曲線

玫瑰曲線的數(shù)學表達式簡單，但曲線變化眾多，具有抽象性和均衡統(tǒng)一的特性。圖8(a)所示的是用傳統(tǒng)伊斯蘭設計方法做出的圖案，以三葉玫瑰作為基礎圖形，經過旋轉、變換等做出如圖8(c)所示的圖案，再經過其他變換后得到圖8(d)，完成圖案的模擬。詳細流程如下：

1)根據(jù)玫瑰曲線圖形的繪制原理，通過對基本參數(shù)值的設定，plot輸出曲線圖形；

2)設置其中一個花瓣頂點為中心點，確定該點的點坐標，利用旋轉矩陣A，設置旋轉角度，對基礎圖形進行旋轉設計；

3)根據(jù)對RGB值的確定對曲線進行著色；

4)循環(huán)重復上述旋轉操作，直至形成連續(xù)完整的圖案。

最后對生成的曲線圖形進行縮放、拼接，即生成如圖8(d)所示的圖案模擬效果。

圖8　玫瑰曲線圖案模擬Fig.8　Simulation of rose curve patterns

3.2運動曲線

運動曲線不僅在運動過程中形成了千變萬化的造型，其結構具有對稱性、節(jié)奏感和律動性。伊斯蘭教哲學認為，運動體現(xiàn)了真主生命力的無限性。伊斯蘭圖案藝術本身就非常注重節(jié)奏和韻律美，例如富有流動感的抽象卷草紋。在伊斯蘭圖案紋樣中，無數(shù)重復的、流動的線條在藝術表現(xiàn)上充滿了活力和動態(tài)。

根據(jù)圖9所示的運動曲線程序流程圖，對圖10(a)所示的伊斯蘭幾何圖案進行模擬，得到圖10(b)所示的幾何圖案，可以作為單獨紋樣應用于裝飾中；圖11(b)是在運動曲線做出的幾何圖案的基礎上，對其進行重復排列形成連續(xù)紋樣效果，再運用圖形處理軟件對其進行一些特殊效果處理，完成對圖11(a)所示的伊斯蘭植物圖案的模擬。

圖9　運動曲線程序流程Fig.9　Motion curve program flowchart

圖10　伊斯蘭幾何圖案模擬Fig.10　Simulation of Islamic geometric patterns

圖11　伊斯蘭植物圖案模擬Fig.11　Simulation Islamic plant patterns

3.3米拉圖形

菱形是構造伊斯蘭幾何圖案的主要圖形之一，圖12所示的是在伊斯蘭建筑、服飾品和地毯上菱形圖案的應用。根據(jù)圖13所示的米拉公式迭代流程，當函數(shù)為f(x)=2πasign(x)+π+sin(π+sin(π+x))時，運用Mira迭代公式，對參數(shù)n、b、a取不同值迭代生成了圖14所示的具有類似伊斯蘭風格的菱形圖案，體現(xiàn)了伊斯蘭“密集繁復”的圖案特征。隨著a的值的增大圖形越收斂，其中通過對RGB值調節(jié)變換顏色，生成色彩更豐富的圖案。

圖12　伊斯蘭菱形圖案Fig.12　Islamic diamond patterns

圖13　米拉公式迭代流程Fig.13　Mira formula iteration flow chart

米拉公式迭代計算出的圖形本身就具有很強的對稱性，可以作為單獨紋樣運用到裝飾中，也可以作為適合紋樣和連續(xù)紋樣的單位紋樣。通過對米拉公式迭代算法生成的圖形，結合計算機圖形設計做出的紋樣圖案，可運用數(shù)字印花技術打印到絲綢或其他面料做出具有伊斯蘭風格的絲巾。

圖14　米拉圖形Fig.14　Mira graphics

4　模擬圖案應用實踐

4.1絲巾圖案設計

本文從圖14中選取(a)和(c)作為絲巾圖案的基本元素，并對圖14(a)進行提取出得到如圖15(a)所示的花邊，通過對這些元素組合再設計獲得圖15(b)的絲巾圖案。圖15(c)是通過圖14(b)控制n的取值范圍獲得的局部圖形，圖15(d)是伊斯蘭三葉紋，它是被廣泛應用于伊斯蘭裝飾中的一種紋樣，圖15(e)是通過對Mira公式圖形和伊斯蘭紋樣的提取、變形、重組設計出的絲巾圖案。

圖15　絲巾圖案設計Fig.15　Silk scarf pattern design

4.2絲巾印花效果

絲巾的生產試驗借助數(shù)碼打印機進行，將設計好的絲巾印花圖案以bmp文件的形式，選用素縐緞為材料，所生產的樣品如圖16所示。

圖16　絲巾效果Fig.16　Effects of silk scarf

5　結　論

本文對數(shù)學方法在伊斯蘭圖案設計中的應用進行了初步探索，與傳統(tǒng)伊斯蘭圖案設計方法相比，數(shù)學方法更加方便、快捷。運用玫瑰曲線、運動曲線和米拉圖形實現(xiàn)對伊斯蘭圖案的模擬，做出能夠運用到織物上的圖案效果，通過實踐證明了該方法的可行性。此舉為傳統(tǒng)圖案的設計提供了一個新的設計方法和思路，豐富了圖案設計的素材庫，具有一定的實用價值。

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DOI:10.3969/j.issn.1001-7003.2016.04.008

收稿日期:2015-06-03; 修回日期:2016-03-14

基金項目:國家自然科學基金資助項目(51405446)；浙江自然科學基金項目(LQ12F02018)；浙江省重點科技創(chuàng)新團隊計劃資助項目(2011R50004)

作者簡介:王婉(1990—)，女，碩士研究生，研究方向為服裝計算機輔助設計。通信作者：羅戎蕾，副教授，博士，luoronglei@163.com。

中圖分類號:TS941.26

文獻標志碼:A

文章編號:1001-7003(2016)04-0041-07引用頁碼:041108

Research on the design of Islamic pattern based on mathematical method

WANG Wan1, LUO Ronglei2， LIU Chengxia3

(1.School of Fashion Design and Engineering, Zhejiang Sci-Tech University, Hangzhou 310018, China; 2.Garment Engineering & Technology Research Center of Zhejiang Province, Hangzhou 310018, China)

Abstract:In order to enrich the demonstrating approaches for pattern forms and to expand design ideas for traditional pattern and provide more convenient design methods for designers.Firstly, the principle and method of the graphics formation by some mathematical formulas were studied by scientific visualization method.And then, the characteristic of Islamic pattern and the traditional drawing method were analyzed, and with computer to aide design and control of various parameters in mathematical model, a series of basic graphics were generated; in combing graphic design, image processing software and other tools, simulations on the generated Islamic patterned were made, from which applicable patterns for fabric can be made.All these have fully reflected that the use of mathematical methods can achieve creative design of the traditional classical pattern, both classical and fashionable patterns can be created.

Key words:Mira formula; Islam; Islamic pattern; pattern design