杜月嬌

劉東文，浙江大學(xué)“青年千人計劃”特聘研究員。1987年1月生，安徽人。2002.09～2006.06，中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)本科；2006.08～2011.06，香港科技大學(xué)博士；2011.08～2012.07，廈門大學(xué)助理教授；2012.0～2015.08，康涅狄格大學(xué)博士后。2015年9月就聘于浙江大學(xué)。主要研究方向是針對抽象調(diào)和分析、自守形和表示論做出了若干推廣。兼任美國數(shù)學(xué)會《數(shù)學(xué)評論》評論員、德國《數(shù)學(xué)文摘》評論員。2010年以來發(fā)表論文7篇，多次參加國家學(xué)術(shù)會議，并受邀在韓國高等研究院、日本九州大學(xué)、康涅狄格大學(xué)、耶魯大學(xué)、廈門大學(xué)、香港科技大學(xué)等地進(jìn)行學(xué)術(shù)報告?；貒蟪袚?dān)項目：國家自然科學(xué)基金青年科學(xué)基金項目“高維adele和算術(shù)曲面”（2013～2015）；浙江大學(xué)基本科研業(yè)務(wù)費專項資金項目“Loop Siegel-Weil公式和theta提升”（2016.1～2017.12）。

專家簡介：

2010年8月19日，在印度海得拉巴市召開的第26屆國際數(shù)學(xué)家大會上，越南數(shù)學(xué)家吳寶珠獲得國際數(shù)學(xué)界大獎——菲爾茨獎。他“通過引入新的代數(shù)—幾何學(xué)方法，證明了朗蘭茲綱領(lǐng)自守形式中的基本引理”，該成果于2009年被美國《時代》周刊列為年度十大科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一。

“朗蘭茲綱領(lǐng)”“自守形”，同樣的關(guān)鍵詞，也出現(xiàn)在浙江大學(xué)“青年千人計劃”特聘研究員劉東文的履歷中。29歲的他，“研齡”不長，卻折服于數(shù)論之魅力，做好了在自守形和表示論領(lǐng)域內(nèi)“打持久戰(zhàn)”的準(zhǔn)備。

享受“朗蘭茲”的江湖

2002年9月，15歲的劉東文走進(jìn)中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)少年班?！拔沂前不杖?，離中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)比較近，恰好我當(dāng)時也符合少年班的報考條件，就試了一下?！痹谟浾叩暮闷胬铮瑒|文并沒有講述一個神童的成長故事，只是輕描淡寫地說了幾句。按照少年班的規(guī)矩，劉東文在學(xué)習(xí)了一年的基礎(chǔ)課之后，選擇了基礎(chǔ)數(shù)學(xué)方向。

“我更喜歡理論一點的東西?！彼f，轉(zhuǎn)而又給記者分析起自己的研究方向。“表示論是一個很寬的理解方向，分支很多。一般來說，表示論其實是通過研究一個對象在另一個空間上的作用來研究對象本身?！边@種借力打力的方式，讓劉東文覺得趣味盎然。而自守形則是其中的核心方向，“對每一個素數(shù)，比如3，你可以考慮三進(jìn)制數(shù)或者五進(jìn)制數(shù)等。也就是說，對每一個素數(shù)，都可以考慮這個素數(shù)上對應(yīng)的李群，以及它的表示。當(dāng)你把所有素數(shù)的表示放在一起，最直接的意義就是可以去考慮這些表示的整體性質(zhì)，給出一個自守表示，得到一個L函數(shù)。我們的目的就是用表示論的方法去研究L函數(shù)的性質(zhì)。”

現(xiàn)在的劉東文，可以清晰直觀地去分析，但當(dāng)年的他卻只能一步步摸索。2006年6月，劉東文本科畢業(yè)，兩個月后，他前往香港科技大學(xué)繼續(xù)在基礎(chǔ)數(shù)學(xué)方面深造，師從朱永昌教授?！拔艺嬲臄?shù)學(xué)訓(xùn)練其實就是在香港科技大學(xué)攻讀博士學(xué)位那幾年開始的，在朱老師身上學(xué)到了很多東西，讓我懂得判別什么樣的數(shù)學(xué)是好的?！痹谥煊啦淌诘慕ㄗh下，劉東文選擇了無窮維李群。他在博士論文中研究了一般數(shù)域上loop群的拓?fù)浜痛鷶?shù)結(jié)構(gòu)，誘導(dǎo)了cuspidal Eisenstein級數(shù)，在Godemen條件下證明了常數(shù)項的絕對收斂，從而證明了級數(shù)本身的幾乎處處收斂性。他們還計算并討論了常數(shù)項和傅里葉系數(shù)?！耙恢币詠恚蠹易龅亩际怯邢蘧S李群方向，無窮維李群方向的研究人群很少，是屬于比較新的進(jìn)展。”

眾所周知，Eisenstein級數(shù)在自守形理論中起到非常重要的作用。它不僅決定了自守形空間的連續(xù)譜，而且還通過取留數(shù)可以給出離散譜中所有的非cuspidal表示。另一方面，著名的Langlands-Shahidi方法對Langlands functoriality和拉馬努金猜想都有重要的應(yīng)用，然而卻只能夠解決有限的幾種情況。為了得到更廣泛的結(jié)果，Garland首先提出把Eisenstein級數(shù)的理論推廣到無窮維Kac-Moody群上，并對affine Kac-Moody群，也就是所謂loop群在有理數(shù)域的情況奠定了基礎(chǔ)?；贕arland的這個想法，近年來關(guān)于loop群上的Eisenstein級數(shù)理論取得了很多進(jìn)展，并且在表述論和數(shù)論領(lǐng)域吸引了越來越多的注意。為了將來在數(shù)論上的應(yīng)用，首先需要建立嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚摶A(chǔ)，那么第一個步驟則是研究loop群上的測度理論和Eisenstein級數(shù)的解析性質(zhì)。在這種背景之下，劉東文在博士期間去挖掘loop群上Eisenstein級數(shù)的常數(shù)項和傅里葉系數(shù)具有非常重要的意義。如果考慮從Borel子群誘導(dǎo)出的Eisenstein級數(shù)，那么其常數(shù)項由所謂的affine Gindikin-Karpelevich公式給出。在有限維的情況下，Gindikin-Karpelevich公式就是Langlands-Shahidi方法的起點。

“這里面，我們所關(guān)心的朗蘭茲綱領(lǐng)，從某種意義上說，是一種大一統(tǒng)理論。會把分析、數(shù)論、幾何等數(shù)學(xué)里不同的分支統(tǒng)一起來，去揭示數(shù)學(xué)里面一種很普遍的現(xiàn)象，甚至把一些看起來不相關(guān)的東西和算術(shù)聯(lián)系到一起。在有限維的群上，對于Langlands-Shahidi方法，我們能用的例子幾乎都用完了，很難再得到新的結(jié)果，所以考慮無窮維的群也是大勢所趨，因為可以有更多的對象可以利用，就會出現(xiàn)一些新的可能性。”劉東文的“可能性”，是回歸到解析性質(zhì)的研究，進(jìn)一步對級數(shù)本身的絕對收斂證明做出更加細(xì)致的分析。借鑒朗蘭茲綱領(lǐng)的技巧，他實現(xiàn)了對常數(shù)項和級數(shù)本身的比較，最終在一些條件下對一般數(shù)域的情況證明了Eisenstein級數(shù)的絕對收斂，并且猜測這些條件可以被放寬。這些結(jié)果將發(fā)表在Transactions of the AMS上。

這只是一個開始，隨著研究的進(jìn)展，劉東文在和L.Carbone，H.Garland，D.Gourevich，K-H.Lee，S.Miller等人的合作中，把Eisenstein級數(shù)理論推廣到了更一般的Kac-Moody群上?！?我們在Godemen條件下證明了常數(shù)項在Tits cone上是絕對收斂的，并寫出了Gindikin-Karpelevich公式。特別地，對于秩為2的雙曲Kac-Moody群，我們得到了Eisenstein級數(shù)本身的收斂性，并證明了cuspidal Eisenstein級數(shù)是一個整函數(shù)。而對于一般的情形，我們收斂性的問題歸結(jié)到關(guān)于Kac-Moody代數(shù)和秩為3的Frenkel-Feingold代數(shù)。另外，我們對有限域上秩為2的Kac-Moody群的Eisenstein級數(shù)也做了一些有趣的工作?！彼?xí)慣用“有趣”來形容這些在檻外人看來異常艱深的研究，并繼續(xù)用朗蘭茲綱領(lǐng)舉例，“著名的費馬大定理就用到了自守形表示，朗蘭茲綱領(lǐng)在其中起到了非常重要的作用?！彼J(rèn)為，這種作用極有創(chuàng)見性，需要去了解很多東西，當(dāng)不同的分支交叉起來，“你會看到不同的領(lǐng)域是怎樣被統(tǒng)一的”，他很享受這種過程。endprint

能夠應(yīng)用到“朗蘭茲綱領(lǐng)”的理論非常多，它們圍繞著自守形，形成了一個獨特的“江湖”。劉東文一直在其中探索新的應(yīng)用，在與Y.Zhu的合作中，他們在更自然的條件下證明了loop辛群上theta函數(shù)的絕對收斂，并討論了它的模性質(zhì)。這項工作發(fā)表在Journal of Algebra。受到這一工作的啟發(fā)，他們觀察到一些punctured算術(shù)曲面上的向量叢的同構(gòu)類可以用loop群的算術(shù)商來刻畫，而定義在這些算術(shù)商上的theta函數(shù)可以理解為無窮維torus上的線叢的截面，從幾何的觀點給出了loop theta函數(shù)的解釋，發(fā)表在Mathematical Research Letters。而在對loop群結(jié)構(gòu)的研究中，他們分類了典型loop群的共軛類，并發(fā)表在Proceedings of the AMS上。

從算術(shù)曲面上尋求突破

上世紀(jì)50年代，著名的Tate's thesis中，J.Tate用局部緊群的調(diào)和分析理論和adele的語言來研究Hecke L函數(shù)的性質(zhì)，證明了它的解析延拓和函數(shù)方程。這一經(jīng)典工作可以視為現(xiàn)代自守形理論的基礎(chǔ)。而作為局部緊群調(diào)和分析理論的另一個代表性的應(yīng)用，A.Weil引入了Weil指標(biāo)和Weil表示，給出了二次互反律的解析證明。這些工作對現(xiàn)代表示論的發(fā)展產(chǎn)生了無法估量的深遠(yuǎn)影響。從數(shù)論和算術(shù)的觀點來看，經(jīng)典調(diào)和分析理論為整體域，也就是算術(shù)曲線的函數(shù)域的研究提供了有力的工具。

“我們的想法是希望用解析的方法來研究更高維的算術(shù)對象，在二維的情形，也就是算術(shù)曲面?！碧岬竭@個想法，又要說到Y(jié).Zhu了。依然是與之合作，劉東文將調(diào)和分析推廣到非局部緊致交換群，乃至比局部緊致交換群更高一層的范疇上?！邦愃朴谒腎nd-Pro范疇，我們把這個范疇叫做LCA（2）。LCA（2）里的對象非常豐富，比如它包含所有的二維局部域。”劉東文介紹。他們將這些對象引入了測度理論和Bruhat-Schwartz函數(shù)空間，從而可以進(jìn)一步定義傅里葉變換。他們也推廣了Weil指標(biāo)的概念，得到了曲面上的一些二次互反律?！拔覀儾孪?，另一個潛在的應(yīng)用可能會給出算術(shù)曲面某種形式的Riemann-Roch定理。”在計劃書里，劉東文認(rèn)真寫道。

對于一位數(shù)學(xué)研究者來說，方法是十分重要的，尤其是這種需要代入多個數(shù)學(xué)分支的研究。劉東文通過代數(shù)的方法，利用Milnor K理論和Kato余數(shù)同態(tài)等工具，在算術(shù)曲面上推廣了tame符號，并證明了這些局部定義在K群上的符號滿足若干互反律。在混合特征的情形下，給出了Kato余數(shù)同態(tài)的具體公式，還發(fā)現(xiàn)了它和Contou-Carrere符號的密切聯(lián)系，發(fā)表在Advances in Mathemtics上。

這些都是對無窮維代數(shù)群上自守形的研究，但劉東文并非只抱定無窮維，相反，他對傳統(tǒng)的有限維代數(shù)群自守形理論也有所涉獵。對于同樣大小的dual pair酉群來說，從Rallis內(nèi)積公式得到的zeta積分給出一些自守L函數(shù)的中心值，可以進(jìn)而對志村簇等一些算術(shù)對象提供有用的信息。劉東文的一項進(jìn)展，就是計算了實李群U（2，1）上的某種zeta積分。在計算過程中，他們一方面用joint harmonics來得到Weil表示的矩陣系數(shù)，另一方面用Schmid算子、Riemann微分方程和超幾何級數(shù)等工具來得到離散級數(shù)表示的矩陣系數(shù)。其中的公式由離散級數(shù)表示的Harish-Chandra參數(shù)給出。這是在現(xiàn)有文獻(xiàn)中所沒有出現(xiàn)過的新結(jié)果。

做起來會覺得枯燥嗎？當(dāng)記者在他的講解中忍不住有此一問時，劉東文老老實實地回答：“主要問題不是枯燥，是壓力比較大?！奔词寡旋g不長，他也已經(jīng)深刻體會到，要做好一項理論研究，需要花費很多時間和精力去做準(zhǔn)備，越是難的問題就需要越多的準(zhǔn)備，而且還不一定能夠做出結(jié)果?！拔覀円诎l(fā)表文章的數(shù)量和質(zhì)量之間做選擇，真正做好需要對數(shù)學(xué)保持比較好的品位，不能為了發(fā)表文章就灌水。當(dāng)然，也不能從一開始就貿(mào)然去做一些特別大的問題，這也不現(xiàn)實。確定了自己認(rèn)為比較重要的方向之后，我們就需要一步步去積累。再龐大的理論系統(tǒng)，都是從一個個細(xì)節(jié)積累出來的。我要一邊學(xué)習(xí)，一邊做力所能及的問題，打好基礎(chǔ)。然后在適當(dāng)?shù)臅r候去嘗試深入的研究。”

對他來說，這一領(lǐng)域本來就處于起步階段，盡管做出了一些很有意義的成果，并得到越來越多國內(nèi)外同行的關(guān)注，依然有很多的新的問題需要解決。而那廣闊的未知，將是他未來的發(fā)展空間。

挖掘潛力股

2011年6月，獲得香港科技大學(xué)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)博士學(xué)位后，劉東文入聘廈門大學(xué)助理教授職位。一年后，遠(yuǎn)赴美國康涅狄格大學(xué)從事博士后研究，直到2015年9月回國至浙江大學(xué)任職?！艾F(xiàn)在國內(nèi)的工作環(huán)境越來越好，對科研項目的支持力度很大，回來是一個挺好的選擇。而選擇浙大，還有一個個人原因?！眲|文補(bǔ)了一句，“我太太是杭州人”。

新的學(xué)年開始，劉東文也在浙江大學(xué)基本科研業(yè)務(wù)費專項資金項目的支持下，開展起“Loop Siegel-Weil公式和theta提升”研究。

Siegel-Weil公式在上個世紀(jì)首先由Siegel和Weil給出，并在后續(xù)的工作中被很多表示論和數(shù)論的專家推廣到更一般的形式，其中代表性的工作由S.Kudla，S.Rallis， A.Ichino， W.T.Gan，S.Takeda，Y.Qiu，S.Yamana等人給出。loop群的情況目前唯一的結(jié)果則由H.Garland和Y.Zhu給出。而他們，正是劉東文的重要合作者。事實上，劉東文此前的工作，也為該項研究提供了必要的工作基礎(chǔ)，而H.Garland和Y.Zhu也在工作中引用了他們的結(jié)果。

“我們首先希望把loop Siegel-Weil公式推廣到isotropic正交群的情形。這種情況下，對theta積分的收斂性問題，我們的主要解決方案是分別研究isotropic和anisotropic的部分，利用仿射李代數(shù)和李群的結(jié)構(gòu)來計算正交loop群上的軌道積分。我們打算應(yīng)用A.Weil的方法以及Garland-Zhu的推廣來比較loop Eisenstein級數(shù)和loop theta積分，得到它們的求和項的對應(yīng)關(guān)系，從而證明Siegel-Weil公式?！辈稍L中，劉東文提到了“theta對應(yīng)和theta提升”問題，希望從局部和整體兩個層面上進(jìn)行研究，這些都基于A.Braverman和D.Kazhdan所研究的p進(jìn)制loop群的spherical Hecke代數(shù)和Satake同構(gòu)。endprint

從局部來說，劉東文要考慮的是p進(jìn)制域上的一對loop辛群和loop正交群。它們的spherical Hecke代數(shù)作用在Weil表示的Schwartz函數(shù)空間上并且互相交換。通過theta對應(yīng)，他們將構(gòu)造這兩個群的Hecke代數(shù)之間的同態(tài)，并討論其與Satake同構(gòu)的聯(lián)系。在有限維的情形下，這個同態(tài)在regularized Siegel-Weil公式的證明里起到重要的作用。劉東文要做的是將其推廣到loop Siegel-Weil公式中。

整體情況時，他要借助的就是從有限維正交群上的尖形式到loop辛群的theta提升了。在經(jīng)典的情形下，尖自守表示通過一個Witt tower的theta提升在首次出現(xiàn)的時候總是不可約表示?！霸趌oop情形，我們將考慮由有限維首次出現(xiàn)所給出的loop群?！比绻ㄟ^計算常數(shù)項證明出這一點，那么將成為loop群上第一個尖形式的例子，從而對loop自守形式的研究具有非常重要的意義。

“本項目的預(yù)期目標(biāo)包括在國際刊物上發(fā)表高水平的SCI學(xué)術(shù)論文4?5篇，拓展并完善表示論專業(yè)的研究團(tuán)隊和研究方向，培養(yǎng)表示論方向3?5名優(yōu)秀的博士生與碩士生，提高項目負(fù)責(zé)人的學(xué)術(shù)水平，并為申請國家自然科學(xué)基金項目提供有力的支持。”項目書上的每一個字都是劉東文對未來的期許和承諾。他一直都清楚自己所做的是非常有潛力的工作。然而，也正是因為如此，才需要面對更大的挑戰(zhàn)。為此，他長期與無限維李群、傳統(tǒng)自守形這兩個領(lǐng)域的專家都保持著合作與交流，香港科技大學(xué)朱永昌（博士導(dǎo)師）、康涅狄格大學(xué)Kyu-Hwan Lee（博士后導(dǎo)師）、耶魯大學(xué)Howard Garland、羅格斯大學(xué)Lisa Carbone，Steve Miller、紐約州立大學(xué)阿爾巴尼分校Cristian Lenart等，都是他的合作者。當(dāng)一切在浙江大學(xué)重新開始時，他也期望能夠?qū)⑦@種合作精神發(fā)揚光大。“希望能夠在回國3年內(nèi)定期邀請國際專家到浙江大學(xué)進(jìn)行交流訪問，通過與同行互訪并進(jìn)行學(xué)術(shù)報告的方式來進(jìn)行學(xué)術(shù)研討，互相了解領(lǐng)域內(nèi)的進(jìn)展。條件成熟的情況下希望能夠下組織適當(dāng)規(guī)模的國際學(xué)術(shù)會議，邀請更多的學(xué)者共同交流，促進(jìn)學(xué)科的發(fā)展?！碑?dāng)然了，路要一步一步走，全新的2016年，劉東文回國后的事業(yè)也將全面展開。他已經(jīng)有了招收研究生的計劃，正如他一直所強(qiáng)調(diào)的，一個新的學(xué)科方向，需要很多人去共同努力，才能有長足發(fā)展。

“從博士畢業(yè)到現(xiàn)在，我一直在打基礎(chǔ)，花很長的時間去尋找值得做的問題。這個找問題的過程對我來說很長很長，雖然也發(fā)表了一些文章，但是我覺得水平還沒有到。接下來至少要奮斗10到15年，真正投入到更重要、更有價值的研究中去。”劉東文一語定出了自己未來的基調(diào)。endprint