馬方超

(同濟(jì)大學(xué) 電子與信息工程學(xué)院， 上海 201804)

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模型降階算法在互連線系統(tǒng)仿真中的應(yīng)用

馬方超

(同濟(jì)大學(xué) 電子與信息工程學(xué)院， 上海 201804)

在進(jìn)行集成電路系統(tǒng)的仿真時(shí)，如何加快含有互連線寄生效應(yīng)所產(chǎn)生的延時(shí)信息的計(jì)算變得尤為重要。采用模型降階的方式對(duì)具有互連線寄生效應(yīng)的電路系統(tǒng)系數(shù)矩陣進(jìn)行降階，以達(dá)到加快含有互連線延時(shí)信息的互連電路仿真速度的目的。通過(guò)泰勒級(jí)數(shù)展開的高階逼近技術(shù)，將傳遞函數(shù)中的e-sτ項(xiàng)進(jìn)行多項(xiàng)式展開逼近，而后采用高階Arnoldi算法進(jìn)行降階，所以降階算法繼承了傳統(tǒng)矩匹配算法的保持無(wú)源性和結(jié)構(gòu)性的優(yōu)點(diǎn)，又能保證一定的精確度。算法最初的目標(biāo)降階數(shù)采用Hankel奇異值決定，減少了降階的迭代次數(shù)，大大縮減了計(jì)算時(shí)間。

互連線寄生效應(yīng)；泰勒級(jí)數(shù)展開；高階逼近；矩匹配

0　引言

集成電路是整個(gè)信息產(chǎn)業(yè)發(fā)展的基礎(chǔ),而電子設(shè)計(jì)自動(dòng)化(EDA)則是支持集成電路高速發(fā)展的支柱。在早期的小規(guī)模電路中，互連線的尺寸遠(yuǎn)小于信號(hào)波長(zhǎng)，相對(duì)于門上時(shí)延，互連線的時(shí)延很小可以忽略不計(jì)。但隨著工藝的不斷進(jìn)步，互連線尺寸逐漸縮小，電路工作頻率進(jìn)入GHz水平，使得互連線寄生效應(yīng)也越來(lái)越明顯，互連線的時(shí)延與門上時(shí)延更加接近，因此互連線的時(shí)延已經(jīng)不可忽略。

常見(jiàn)的互連線寄生效應(yīng)主要由趨膚效應(yīng)、襯底效應(yīng)和串?dāng)_等組成。為了精確描述互連線寄生效應(yīng)，一般采用寄生參數(shù)提取的方式，即獲取互連線的等效模型及其等效參數(shù)。本文電路模型針對(duì)互連線寄生效應(yīng)中的趨膚效應(yīng)采用部分元等效電路(PEEC)的方法對(duì)趨膚效應(yīng)進(jìn)行分析，完成互連線寄生電阻與寄生電感的參數(shù)提取。模型還會(huì)考慮互連線與襯底間的電容耦合效應(yīng)，互連線間的串?dāng)_和襯底損耗等因素，使得互連線等效電路模型更加精確。對(duì)于大規(guī)模集成電路中的互連線而言，寄生參數(shù)提取之后的電路仿真需要求解的電路節(jié)點(diǎn)數(shù)會(huì)達(dá)到千萬(wàn)以上的量級(jí)，如果使用傳統(tǒng)的Spice進(jìn)行仿真則時(shí)間過(guò)長(zhǎng)。因此在計(jì)算含時(shí)間延遲的電路模型時(shí)引入模型降階的思想，以達(dá)到簡(jiǎn)化電路模型從而大大加快計(jì)算速度的目的。

模型降階方法是分析互連線電路的有效方法之一[1]。模型降階中比較成熟的一類算法是基于矩匹配的算法，例如傳統(tǒng)的SPRIM算法[2]，其通過(guò)塊Arnoldi降階的方式在保證了系統(tǒng)無(wú)源性的前提下更能完全地保證電路系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)性，使得模型降階算法在實(shí)際中加快電路仿真速度有了現(xiàn)實(shí)意義。針對(duì)互連線寄生效應(yīng)所帶來(lái)的互連線延時(shí)問(wèn)題，本文將傳統(tǒng)的矩匹配降階算法改進(jìn)為更加適合計(jì)算處理該種含有互連線時(shí)延信息的電路系統(tǒng)的仿真算法。

1　互連線電路模型

因?yàn)橐獫M足制造工藝原則，芯片內(nèi)部的互連線實(shí)質(zhì)上是一條條具有不同長(zhǎng)度、厚度和寬度的導(dǎo)線[3]。在現(xiàn)實(shí)研究仿真中，由于工作在高頻中的互連線的寄生效應(yīng)(如趨膚效應(yīng)、串?dāng)_等)越來(lái)越顯著，如何快速地建立一種高速精確的互連線模型成為集成電路仿真中的首要工作。

1.1PEEC模型

對(duì)于一個(gè)雙互連線模型[4],在考慮到互連線的趨膚效應(yīng)與襯底損耗兩種情況下，本文給出與實(shí)際情況非常接近的PEEC模型。PEEC模型是基于PEEC法的等效電路模型，PEEC法通過(guò)對(duì)互連線單元切割的方式，能夠精確計(jì)算在趨膚效應(yīng)影響下的互連線自身的寄生電阻Rs與寄生電感Ls。將襯底效應(yīng)與襯底損耗、線間串?dāng)_等因素一起考慮到等效電路中，可以得到等效模型如圖1所示。其中Csub與Rsub為襯底電性損耗模擬，Cox1與Cox2為互聯(lián)線與襯底形成的電容等效，Cm為線間串?dāng)_。

圖1　雙互連線PEEC等效模型

1.2PEEC模型延時(shí)計(jì)算

本文采用Elmore方法對(duì)互連線延時(shí)τ進(jìn)行計(jì)算，因?yàn)椴捎肞EEC提取的電路模型實(shí)質(zhì)上是RLC樹狀模型(不考慮襯底損耗對(duì)延時(shí)造成的影響)。此時(shí)：

2　降階算法推導(dǎo)

通過(guò)泰勒級(jí)數(shù)展開的方式，將傳遞函數(shù)中含有的e-sτi項(xiàng)進(jìn)行展開逼近，而后采用高階Arnoldi算法實(shí)現(xiàn)降階。因此降階后的矩陣擁有了SPRIM降階算法的保持無(wú)源性和結(jié)構(gòu)性的優(yōu)點(diǎn)，又確保了很好的精確度。又因?yàn)樗惴ㄗ铋_始通過(guò)對(duì)hankel矩陣奇異值進(jìn)行分析求取初始最優(yōu)降階數(shù)，減少了降階算法的迭代次數(shù)，大大加快了計(jì)算速度。

2.1傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)化

對(duì)于一個(gè)含有k個(gè)τj時(shí)延的n維p口電路網(wǎng)絡(luò)，其傳遞函數(shù)為[5]：

(1)

2.2零階逼近

在s域中將e-sτi在s=0處泰勒級(jí)數(shù)展開：

當(dāng)取零階逼近時(shí)，

此時(shí)有:

此時(shí)傳遞函數(shù)在s域中表示為[6]：

H(s)=C(sET(s)-AT(s))-1B

(2)

對(duì)于傳遞函數(shù)H(u)，其可控Gramian矩陣為：

R=[B,ATB,AT2B,...,ATr-1B,...]

可觀Gramian矩陣為：

L=[CT,ATTCT,(ATT)2CT,...,(ATT)r-1CT,...]T

2.3高階逼近

對(duì)e-sτi進(jìn)行r階逼近時(shí)有：

此時(shí)可得：

轉(zhuǎn)化后的傳遞函數(shù)為：

H(s)=C(mr+1sr+1+mrsr+...+m0)-1B

(3)

其中:

矩陣降階過(guò)程如下：

令G=m0-1B,Lj=m0-1mj，K0=G

令：K=[K0,K1,K2,…,Kr],可以得到其r階的Krylov 子空間為[6]:

Kq(L1,…,Lr,G)≡colsp(K)

(4)

由給定的Krylov子空間(4)和最優(yōu)降階數(shù)r求得降階矩陣Xk：

colsp(Xk)=Kq(L1,...,Lr,G)

通過(guò)降階矩陣Xk對(duì)傳遞函數(shù)中的系數(shù)矩陣進(jìn)行降階：

(5)

降階之后傳遞函數(shù)變?yōu)椋?/p>

(6)

3　實(shí)驗(yàn)仿真驗(yàn)證

本文實(shí)驗(yàn)采用兩條并行的單位長(zhǎng)度的金屬線，等效為一個(gè)2×2的PEEC模型，如圖2所示，每條互連線由20段PEEC單元等效模型組成，其中CL是負(fù)載電容。

使用hankel奇異值的方法求得初始最優(yōu)降階數(shù)為14，經(jīng)迭代后求得最終最優(yōu)目標(biāo)降階數(shù)為16。使用本文提出的降階算法以及傳統(tǒng)降階算法與降階前傳遞函數(shù)的頻域響應(yīng)對(duì)比，如圖3所示。不同方法對(duì)應(yīng)的電路仿真的CPU運(yùn)行時(shí)間對(duì)比如表1。

由圖3可以看出在頻域上，本文提出的降階算法降階前后頻率響應(yīng)幾乎一致,圖中表現(xiàn)為三角形曲線與五角星曲線幾乎完全重合。改進(jìn)后的降階算法與傳統(tǒng)的降階算法相比，在處理含有時(shí)延信息的計(jì)算上更為精確。由表1可以看出，采用本文所提出的算法，在電路仿真速度上提高了近200倍。

圖3　降階前后系統(tǒng)的頻率響應(yīng)

實(shí)驗(yàn)電路采用降階技術(shù)是否考慮延時(shí)降階前階數(shù)降階后階數(shù)CPU運(yùn)行時(shí)間/s2×2傳統(tǒng)降階技術(shù)否324160.00149不降階是3243240.2245本文方法是324160.001063×3傳統(tǒng)降階技術(shù)否486210.00277不降階是4864860.3126本文方法是486210.00155SISO傳統(tǒng)降價(jià)技術(shù)否13270.00075不降階是1321320.1224本文方法是13270.00059

[1] 蔣耀林.模型降階方法[M].北京：科學(xué)出版社， 2010.

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圖2　2×2互連線PEEC等效模型

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Application of model reduction algorithm for the simulation of interconnect system

Ma Fangchao

(Electronic and Information Engineering College , Tongji University, Shanghai 201804, China)

During integrated circuit system’s simulation, it becomes particularly important about how to speed up the calculation of interconnection’s delay. For accelerating simulation’s speed of interconnect system with delay information, model reduction method is adopted to achieve reduction of interconnected circuit system’s coefficient matrix. With high-order approximation technique of Taylor series expansion, the transfer function’s e-sτitem is converted a polynomials, then uses the high-order Arnoldi algorithm to finish reduction. So reduction method proposed inherits the advantages of passive and structural of tradition moment matching algorithm,and has a high precision. Since the algorithm uses the initial optimal target number decided from singular value of Hankel matrix, so the calculation time is decreased by reducing iteration’s time.

interconnect parasitic effect ;Taylor series; high-order approximation; moment matching

TN40

A

10.19358/j.issn.1674- 7720.2016.15.025

2016-03-06)

馬方超(1990-)，男，碩士研究生，主要研究方向：大規(guī)模集成電路自動(dòng)化仿真。

引用格式：馬方超. 模型降階算法在互連線系統(tǒng)仿真中的應(yīng)用[J].微型機(jī)與應(yīng)用，2016,35(15)：86-88,95.