宋成學(xué)

新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)第六師教育局教研室

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探究《解直角三角形的應(yīng)用》講解方法

宋成學(xué)

新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)第六師教育局教研室

利用解直角三角形來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題在新疆初中學(xué)業(yè)水平考試中的出題頻率很高，分值也較大，因此，解直角三角形可以說(shuō)是初中階段的考察的一個(gè)重要的內(nèi)容。對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，這是必須讓學(xué)生掌握的。而對(duì)于老師來(lái)說(shuō)如何對(duì)本知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行講解，是值得進(jìn)行研究的。解直角三角形的重點(diǎn)是讓學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思想。數(shù)學(xué)思想是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的靈魂，在初中數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，需要我們?nèi)ネ诰虿?yīng)用于解題過(guò)程。本節(jié)所用的數(shù)學(xué)思想有：分類思想、方程思想和轉(zhuǎn)換思想。分類思想，就是當(dāng)被解決的問(wèn)題包含兩種或兩種以上的可能情況時(shí)，則需要按不同的情況分類來(lái)解決的一種思想方法；方程思想是一種重要的解題思想方法，在解決與直角三角形和相似三角形有關(guān)計(jì)算問(wèn)題，往往從問(wèn)題中構(gòu)造方程，通過(guò)解方程解決問(wèn)題；轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要的思想方法，轉(zhuǎn)化思想把未知的轉(zhuǎn)化為已知的、把抽象的轉(zhuǎn)化為具體的、把一般轉(zhuǎn)化為特殊等等，都是轉(zhuǎn)化思想的重要體現(xiàn)。

《解直角三角形的應(yīng)用》一節(jié)共需兩個(gè)課時(shí)，但如何利用這兩個(gè)課時(shí)讓學(xué)生很好的掌握本節(jié)知識(shí)，這需要教師對(duì)本節(jié)課進(jìn)行典型事例匯總，總結(jié)出本節(jié)在中考中?？碱}型的演變和典型圖形。對(duì)于解直角三角形的考題而言，大多都是雙直角三角形的習(xí)題，雙直角三角形是指一條直角邊重合，另一條直角邊共線的兩個(gè)直角三角形。解這類問(wèn)題的基本思路是：運(yùn)用“遇斜化直”的數(shù)學(xué)思想，即通過(guò)作輔助線（斜三角形的高線）把它轉(zhuǎn)化成為雙直角三角形問(wèn)題，然后根據(jù)已知條件與未知元素之間的關(guān)系，利用解直角三角形的知識(shí)來(lái)求解下面就如何對(duì)本節(jié)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行整合談?wù)勛约旱挠^點(diǎn)。

一、第一類典型例題分析

人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第28.2.2應(yīng)用舉例中共給出了兩個(gè)例題，其中比較重要的是第二個(gè)例題：

例題：熱氣球的探測(cè)器顯示，從熱氣球看一棟高樓頂部的仰角為30°，看這棟高樓底部的俯角為60°，熱氣球與高樓的水平距離為120m，這棟高樓有多高？

本題考察的是題中有兩個(gè)直角三角形時(shí)的分析方法，這類題型的掌握對(duì)學(xué)生后期的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練提供的很多幫助，因?yàn)?，很多情景和題型都是有本題演變而來(lái)。

例如：第76頁(yè)的例5：如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東65°方向，距離燈塔80海里的A處，它沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東34°方向上的B處，這時(shí)，海輪所在的B處距離燈塔P有多遠(yuǎn)？（結(jié)果取整數(shù)）

如果教師在講解中把第一個(gè)例題講解透徹，作為典型圖例模型，讓學(xué)生理解分析這種圖例的結(jié)題方法，那么，76頁(yè)的例5，學(xué)生就會(huì)自己輕松的解決，因此，我們?cè)诮虒W(xué)中，總結(jié)第一個(gè)解直角三角形的應(yīng)用典型圖例模型一：

本模型有兩種設(shè)問(wèn)方式：（1）已知AB和兩個(gè)角，求BD；（2）已知AC和兩個(gè)角，求BD。

二，第二類典型例題分析

通過(guò)例題來(lái)總結(jié)圖例模型是一種對(duì)教材整合的方法，但除了例題，教材中的練習(xí)題我們也不能忽視。例如，教材第76頁(yè)的練習(xí)1：

如圖，建筑物BC上有一旗桿AB，由距BC40m的D處觀察旗桿頂部A的仰角為50°，觀察底部B的仰角為45°，求旗桿的高度。

這一試題的圖例特征也是我們?cè)谠嚲碇薪?jīng)常見(jiàn)到的一種，它的情景不僅僅是在測(cè)量建筑物的高度上，在航海航空方面的習(xí)題中也是經(jīng)常見(jiàn)到的，例如課本教材第77頁(yè)的練習(xí)第一題：海中有一個(gè)小島A，它的周圍8海里范圍內(nèi)有暗礁，漁船跟蹤魚群由西向東航行，在B點(diǎn)測(cè)得小島A在北偏東60°方向上，航行12海里到達(dá)D點(diǎn)，這時(shí)測(cè)得小島A在北偏東30°方向上，如果漁船不改變航線繼續(xù)向東航行，有沒(méi)有觸礁的危險(xiǎn)？

這個(gè)圖例的設(shè)問(wèn)情景有很多，再比如測(cè)量類的：某中學(xué)九（2）班數(shù)學(xué)活動(dòng)小組利用周日開展課外實(shí)踐活動(dòng)，他們要在湖面上測(cè)量建在地面上某塔AB的高度.如圖3，在湖面上點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為45°，沿直線CD向塔AB方向前進(jìn)18米到達(dá)點(diǎn)D，測(cè)得塔頂A的仰角為60°.已知湖面低于地平面1米，請(qǐng)你幫他們計(jì)算出塔AB的高度（結(jié)果保留根號(hào)）。

這類試題的分析也主要是圍繞解兩個(gè)直角三角形來(lái)進(jìn)行的，但在解直角三角形的過(guò)程中運(yùn)用了方程的思想，比如最后一題的解題方法為：延長(zhǎng)CD交AB的延長(zhǎng)線于E，則AE⊥CE。

設(shè)AB=x，在Rt△ADE中，因?yàn)锳E=x+1，∠AED=60°，

在Rt△ACE中，因?yàn)椤螩=45°，所以CE=AE=x+1，

通過(guò)設(shè)塔構(gòu)造方程解決問(wèn)題，使問(wèn)題易于理解.同時(shí)本題也體現(xiàn)了一種建模思想.因此，我們可以把這類試題圖例作為第二個(gè)典型模型進(jìn)行講解。

通過(guò)這兩個(gè)典型圖例模型的講解，可以比較系統(tǒng)的讓學(xué)生掌握利用解直角三角形來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題的方法。遇到類似的問(wèn)題，可以引導(dǎo)學(xué)生巧妙的作出輔助線，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成這兩個(gè)典型圖例模型，從而，達(dá)到學(xué)生自己解決問(wèn)題的目的，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模中將未知問(wèn)題轉(zhuǎn)化成已知問(wèn)題的基本思想。