球面距離定義的合理性詮釋
2016-08-26 05:50甘肅省永登縣第二中學(xué)730302
中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西) 2016年7期
甘肅省永登縣第二中學(xué) (730302)
張長雁
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球面距離定義的合理性詮釋
甘肅省永登縣第二中學(xué)(730302)
張長雁
我們知道，平面上兩點之間的距離是連接兩點的線段的長度，其依據(jù)是公理：兩點之間線段最短.球面距離：在球面上,兩點(非大圓直徑端點)之間的最短距離,就是經(jīng)過這兩點的大圓在這兩點間的一段劣弧的長度,我們把這段弧長叫做兩點的球面距離.這樣定義球面距離的理論依據(jù)是什么？有什么合理性，與平面上兩點距離定義有何聯(lián)系?以下予以證明.
一、引理：當(dāng)，證明：不等式sinx
圖1
二、球面距離的證明過程：
不妨將原問題轉(zhuǎn)化到平面內(nèi)解決，即將經(jīng)過球面上兩點A、B的大圓和任意一個小圓繞弦AB旋轉(zhuǎn)到一個平面內(nèi)，則只需證明弦AB所對的大圓的劣弧長小于弦AB所對的小圓的劣弧長，就可以說明球面上兩點間距離定義的根據(jù).如圖1，令圓O上兩點A,B(非大圓直徑端點)，且|AB|=2a>0，大圓半徑為R,∠AOB=2θ；令圓M為經(jīng)過A、B兩點的任意一個小圓，半徑為r，∠AMB=2φ，則如圖只需證明小圓M中弦AB所對劣弧l0大于大圓O中弦AB所對的弧長l.
圖2
綜上可知，經(jīng)過球面兩點的所有弧長中，大圓在該兩點之間的劣弧長是最短的，于是定義為兩點之間的球面距離.
三、球面距離定義的合理性
圖3
所以，當(dāng)過AB兩點的圓的半徑x越來越大時，即AB之間的圓弧長越來越小，圓弧也越來越接近線段AB；當(dāng)x→+∞時，即極限狀態(tài)下，球面轉(zhuǎn)化為平面，圓弧轉(zhuǎn)化為線段AB,兩點的球面距離轉(zhuǎn)化為兩點的平面距離.因此，球面距離的定義根源于兩點平面距離的定義，則球面距離定義具有合理性.
一點啟示：極限思想是高等數(shù)學(xué)中處理數(shù)學(xué)問題的重要思想方法.比如導(dǎo)數(shù)概念中，函數(shù)在點A處的導(dǎo)數(shù)是割線AB的斜率在Δx→0的極限，即當(dāng)函數(shù)圖像上動點B無限逼近定點A時，割線AB的斜率不斷進行量的無窮積累與壓縮，從而達到了質(zhì)的極限狀態(tài)，不妨認(rèn)為是數(shù)學(xué)元素的形態(tài)發(fā)生了變化.再如；定積分定義推導(dǎo)中，當(dāng)無限分割時，所有小矩形的面積和的極限就是曲邊梯形的面積，即矩形和積累到無限時，其面積和狀態(tài)發(fā)生了改變.從上述對球面距離定義的說明中，我們能體會到極限狀態(tài)下，數(shù)學(xué)元素形態(tài)的轉(zhuǎn)變.其實，我國古代數(shù)學(xué)中“割圓術(shù)”早就孕育了“以直代曲”極限思想的萌芽，折射出古人智慧的光芒.因而，在我們解決和處理數(shù)學(xué)及其他學(xué)科領(lǐng)域內(nèi)的問題時，也不妨將問題推廣到極限狀態(tài)下去嘗試，或許能夠得到嶄新的結(jié)論，或許也能達到柳暗花明的境地.
[1]鄭錦森.球面上兩點間距離定義的合理性[J].《凱里學(xué)院學(xué)報》,1996,(Z1).
[2]蔣世信.關(guān)于兩點間球面距離的合理性[J].《教學(xué)與研究》，1984,(6).
[3]王德明.球面上兩點間距離的一個證明[J].《中學(xué)教研》，1993,(10).
[4]王德和.球面上兩點間最短距離定理的初等證明[J].《數(shù)學(xué)與教學(xué)研究》，1985,(3).
[5]欒世斌.關(guān)于兩點球面距離定義依據(jù)的證明及其地理應(yīng)用[J].《科學(xué)文匯》，2007,(05s).
[6]包志超.球面上兩點間的最短距離[J].《數(shù)學(xué)教學(xué)通訊》，1983,(2).
[7]楊冬明;趙姣姣.球面上兩點間距離的微分學(xué)證明[J].《數(shù)學(xué)通訊》，2011,(12).
[8]安明道.立體幾何中兩個論斷的證明[J].《中學(xué)數(shù)學(xué)》，21984,(9).
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圖1
二、球面距離的證明過程：
不妨將原問題轉(zhuǎn)化到平面內(nèi)解決，即將經(jīng)過球面上兩點A、B的大圓和任意一個小圓繞弦AB旋轉(zhuǎn)到一個平面內(nèi)，則只需證明弦AB所對的大圓的劣弧長小于弦AB所對的小圓的劣弧長，就可以說明球面上兩點間距離定義的根據(jù).如圖1，令圓O上兩點A,B(非大圓直徑端點)，且|AB|=2a>0，大圓半徑為R,∠AOB=2θ；令圓M為經(jīng)過A、B兩點的任意一個小圓，半徑為r，∠AMB=2φ，則如圖只需證明小圓M中弦AB所對劣弧l0大于大圓O中弦AB所對的弧長l.
圖2
綜上可知，經(jīng)過球面兩點的所有弧長中，大圓在該兩點之間的劣弧長是最短的，于是定義為兩點之間的球面距離.
三、球面距離定義的合理性
圖3
所以，當(dāng)過AB兩點的圓的半徑x越來越大時，即AB之間的圓弧長越來越小，圓弧也越來越接近線段AB；當(dāng)x→+∞時，即極限狀態(tài)下，球面轉(zhuǎn)化為平面，圓弧轉(zhuǎn)化為線段AB,兩點的球面距離轉(zhuǎn)化為兩點的平面距離.因此，球面距離的定義根源于兩點平面距離的定義，則球面距離定義具有合理性.
一點啟示：極限思想是高等數(shù)學(xué)中處理數(shù)學(xué)問題的重要思想方法.比如導(dǎo)數(shù)概念中，函數(shù)在點A處的導(dǎo)數(shù)是割線AB的斜率在Δx→0的極限，即當(dāng)函數(shù)圖像上動點B無限逼近定點A時，割線AB的斜率不斷進行量的無窮積累與壓縮，從而達到了質(zhì)的極限狀態(tài)，不妨認(rèn)為是數(shù)學(xué)元素的形態(tài)發(fā)生了變化.再如；定積分定義推導(dǎo)中，當(dāng)無限分割時，所有小矩形的面積和的極限就是曲邊梯形的面積，即矩形和積累到無限時，其面積和狀態(tài)發(fā)生了改變.從上述對球面距離定義的說明中，我們能體會到極限狀態(tài)下，數(shù)學(xué)元素形態(tài)的轉(zhuǎn)變.其實，我國古代數(shù)學(xué)中“割圓術(shù)”早就孕育了“以直代曲”極限思想的萌芽，折射出古人智慧的光芒.因而，在我們解決和處理數(shù)學(xué)及其他學(xué)科領(lǐng)域內(nèi)的問題時，也不妨將問題推廣到極限狀態(tài)下去嘗試，或許能夠得到嶄新的結(jié)論，或許也能達到柳暗花明的境地.
[1]鄭錦森.球面上兩點間距離定義的合理性[J].《凱里學(xué)院學(xué)報》,1996,(Z1).
[2]蔣世信.關(guān)于兩點間球面距離的合理性[J].《教學(xué)與研究》，1984,(6).
[3]王德明.球面上兩點間距離的一個證明[J].《中學(xué)教研》，1993,(10).
[4]王德和.球面上兩點間最短距離定理的初等證明[J].《數(shù)學(xué)與教學(xué)研究》，1985,(3).
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