江西省樟樹(shù)中學(xué)　(331200)

楊建華

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一例二次方程根的分布問(wèn)題的常見(jiàn)錯(cuò)解

江西省樟樹(shù)中學(xué)(331200)

楊建華

一元二次方程根的分布問(wèn)題，是三個(gè)“二次”(一元二次函數(shù)，一元二次方程及一元二次不等式)關(guān)系中的重要題型，也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合，分類討論及函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想的非常好的載體.從教學(xué)實(shí)踐來(lái)看，一般地，學(xué)生對(duì)以下一些較為簡(jiǎn)單的根的分布問(wèn)題：諸如①方程有兩正根；②方程有兩負(fù)根；③方程有一正一負(fù)兩根；④方程在[k1,k2](其中k1

例若方程x2+(3a-2)x+a-1=0在(-1,3)上僅有一根，求a的取值范圍.

圖1

分析：當(dāng)a滿足f(-1)f(3)<0時(shí)，拋物線在坐標(biāo)系中的圖像為圖1、圖2.由此可見(jiàn)，此時(shí)方程f(x)=0確實(shí)在(-1,3)上僅有一根.

圖2

那么，問(wèn)題出在哪里呢？本題求參數(shù)a的取值范圍，也就是求使得方程f(x)=0在(-1,3)上僅有一根的充要條件，而錯(cuò)解中f(x)滿足f(-1)f(3)<0僅是該結(jié)論成立的充分條件，是否是必要條件還有待進(jìn)行全面的分析.事實(shí)上，若拋物線圖像如圖3或圖4所示時(shí)(不滿足f(-1)f(3)<0)也能使f(x)=0在(-1,3)上僅有一根.該情形是否存在呢？檢驗(yàn)便可得知.

圖3

圖4

②當(dāng)f(-1)=0時(shí)，即-2a+2=0時(shí)，解得a=1，此時(shí)方程為x2+x=0，其另一根x=0∈(-1,3)，所以此時(shí)方程在(-1,3)上有唯一根x=0，符合題意.

由上例錯(cuò)解及分析，不難總結(jié)出解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)在區(qū)間(m,n)(也可以是[m,n)，(m,n]，[m,n])上僅有一根時(shí)參數(shù)取值范圍問(wèn)題的一般步驟：

令f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，則(1)由f(m)f(n)<0解出參數(shù)范圍；(2)當(dāng)f(m)=0時(shí)，求出參數(shù)的取值，進(jìn)而求出方程的另一根，檢驗(yàn)這一根是否在(m,n)內(nèi)，由此判斷此時(shí)求出的參數(shù)取值是否符合題意；(3)當(dāng)f(n)=0時(shí)重復(fù)步驟(2).最后寫出正確答案.

為鞏固此文但要的解法，特提出此問(wèn)題的一變式題：若將本題中在(-1,3)上僅有一根分別改為在[-1,3]上，[-1,3)上，(-1,3]上僅有一根，試分別求出參數(shù)a的取值范圍.