胡啟平，王麗娟

(1.河北工程大學(xué)土木工程學(xué)院， 河北邯鄲056038; 2.河北旅游職業(yè)學(xué)院， 河北承德067000)

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基礎(chǔ)隔震框架結(jié)構(gòu)動力時程分析的精細(xì)積分法

胡啟平1，王麗娟2

(1.河北工程大學(xué)土木工程學(xué)院， 河北邯鄲056038; 2.河北旅游職業(yè)學(xué)院， 河北承德067000)

為了求得基礎(chǔ)隔震框架結(jié)構(gòu)抗震性能的高精度數(shù)值解，基于層剪切模型建立了結(jié)構(gòu)的動力方程。引入對偶變量，導(dǎo)出動力時程分析的哈密頓正則方程，應(yīng)用初值問題的精細(xì)積分法求得數(shù)值解；最后應(yīng)用MATLAB語言編制程序?qū)σ粦?yīng)用橡膠墊基礎(chǔ)的6層框架結(jié)構(gòu)進(jìn)行多遇地震作用下的動力時程分析。計算結(jié)果表明，在相同的地震波作用下，相對于傳統(tǒng)抗震結(jié)構(gòu)，基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)的層間位移減少了60%，速度和加速度減少了30%，頂層最大位移減少了15%。由此可見，基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)具有優(yōu)良的抗震性能。該方法是求解基礎(chǔ)隔震框架結(jié)構(gòu)動力時程分析的新方法，計算數(shù)據(jù)精度高、可靠性好。

哈密頓正則方程；精細(xì)積分法；基礎(chǔ)隔震；MATLAB語言；動力時程分析

地震是不可預(yù)測的自然災(zāi)害，給人類生命和財產(chǎn)安全帶來嚴(yán)重威脅。傳統(tǒng)的彈塑性抗震設(shè)計方法利用結(jié)構(gòu)構(gòu)件的強(qiáng)度和彈塑性變形，在保證人身安全的同時并不能充分滿足工程的實(shí)際需要。在這種背景下，基礎(chǔ)隔震技術(shù)[1-4]迅速發(fā)展起來。其主要減震原理是在基礎(chǔ)頂部與結(jié)構(gòu)底部之間設(shè)置隔震層，使上部結(jié)構(gòu)與基礎(chǔ)隔離開來[5]。這樣，在地震動過程當(dāng)中，隔震層的變形吸收和消耗了大量的地震能量，同時延長結(jié)構(gòu)體系的自振周期[6]、增大阻尼，從而有效的減少了地震反應(yīng)。

經(jīng)過國內(nèi)外學(xué)者的不斷努力，基礎(chǔ)隔震技術(shù)在實(shí)驗(yàn)研究與工程應(yīng)用中都取得了很大的進(jìn)步。Jenn等[7]對基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)進(jìn)行了振動臺實(shí)驗(yàn)，程曉杰、方詠[8]和徐麗佳[9]利用有限元分析軟件SAP2000對基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)進(jìn)行了分析，結(jié)果表明基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)減震效果明顯。至今為止，我國已經(jīng)建成隔震結(jié)構(gòu)近400棟，覆蓋了大部分抗震設(shè)防區(qū)。本文建立了基礎(chǔ)隔震框架結(jié)構(gòu)動力時程分析的哈密頓對偶求解體系，應(yīng)用初值問題的精細(xì)積分法進(jìn)行數(shù)值計算，給出了一套基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)動力時程分析的新方法。

圖1　動力模型Fig.1　Dynamic model

1　基本理論

對于多層現(xiàn)繞鋼筋混凝土框架隔震結(jié)構(gòu)，其上部各層的層間剛度比較小，當(dāng)?shù)卣饋砼R時，應(yīng)將其視為多質(zhì)點(diǎn)結(jié)構(gòu)進(jìn)行計算分析。本文基于層剪切模型，各層質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量采用集中質(zhì)量法計算，并將其集中于樓層標(biāo)高處。隔震層的水平剛度為所有隔震墊水平剛度的總和。橡膠墊產(chǎn)生的水平恢復(fù)力與水平位移成正比，認(rèn)為其豎向剛度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于其水平剛度，故在地震動過程中只考慮水平變形。這種多質(zhì)點(diǎn)平動體系的動力模型如圖1所示。在分析過程中忽略隔震層頂部樓板的變形，考慮剛性樓板將各平面抗側(cè)力結(jié)構(gòu)連接在一起共同承受側(cè)向水平荷載。假定地震水平合力作用線通過框架結(jié)構(gòu)的剛度中心，因此不考慮結(jié)構(gòu)在水平荷載作用下繞豎軸的扭轉(zhuǎn)。

設(shè)框架結(jié)構(gòu)共有n層，第i層的層間剛度為kj。將框架結(jié)構(gòu)沿高度按樓層分為若干單元，記每層單元剛度矩陣[10]為：

(1)

應(yīng)用有限元法由單元剛度矩陣集成上部框架結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣K*：

(2)

本文采用多質(zhì)點(diǎn)模型，每層質(zhì)量取上下半層之和，并將各層質(zhì)量集中于樓層標(biāo)高處，得上部框架結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣為：

M*=diag(M1,M2,…,MN)。

(3)

上部框架結(jié)構(gòu)阻尼采用瑞雷阻尼，其計算公式為：

C*=a0M*+a1K*，

(4)

隔震層及上部框架結(jié)構(gòu)運(yùn)動方程分別為：

(5)

式中，x=[x1,x2,…,xi,…,xn]T為上部結(jié)構(gòu)相對結(jié)構(gòu)底層水平位移；M*，C*，K*分別為上部框架結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；M0,C0,K0分別為隔震層的質(zhì)量、阻尼和剛度[11-12]；Mi為框架結(jié)構(gòu)第i層集中質(zhì)量；Xg為地面地震位移；X0為結(jié)構(gòu)底層與基礎(chǔ)面之間的水平相對位移；I=[1,1,…,1]T為單位向量。

2　運(yùn)動方程的整合

由式(5)隔震結(jié)構(gòu)體系的運(yùn)動方程，并令Xi=X0+xi(i=1,2,3,…,N)，將公式整理合并得整體結(jié)構(gòu)的運(yùn)動方程為：

(6)

M=diag(M0,M1,M2,…,MN),

(7)

(8)

(9)

3　哈密頓正則方程

基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)整體動力方程表達(dá)式為：

(10)

(11)

精細(xì)積分法是求解線性定常微分方程的一種高精度數(shù)值解法，矩陣H為哈密頓矩陣，它是一個辛矩陣。哈密頓正則方程采用了狀態(tài)空間的描述，引入對偶變量將二階常微分方程組降為一階常微分方程組。因此,本文采用精細(xì)積分法(即直接積分法)來求解動力方程式。

取地震波時間間隔η，并將荷載作用時間按η分成若干段，即：

tk=kη,tk=tk-1+η,k=1,2,…,n

(12)

(13)

綜上可得，式(11)的解可以表示為：

(14)

4　計算實(shí)例

圖2　框架結(jié)構(gòu)平面圖Fig.2　Plan view of the frame structure

工程實(shí)例為一棟6層鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)辦公樓，其結(jié)構(gòu)平面圖如圖2所示。樓高21.6 m，層高均為3.6 m，框架柱、主梁、次梁和樓板的截面尺寸分別為450 mm×450 mm、300 mm×600 mm、250 mm×500 mm、120 mm，選用C30混凝土。設(shè)防烈度為7度，設(shè)計抗震分組為第一組，場地類別為三類。每根柱子下設(shè)置一個疊層橡膠支座，選用型號GZY300并根據(jù)《建筑抗震設(shè)計規(guī)范》(GB50011-2010)選取，其參數(shù)如表1所示。

地震波采用后14 s南北向天津波，間隔為0.01 s，加速度峰值為145.8 mm/s2，并將加速度幅值調(diào)整到0.35 m/s2，在多遇地震下對結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析。

表1　隔震支座參數(shù)Tab.1　Parameters of the laminated

對上述鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)應(yīng)用本文編制的MATLAB程序進(jìn)行動力時程分析，得層間位移、速度、加速度值如表2所示。結(jié)構(gòu)頂層速度、位移和加速度時程圖如圖3、圖4、圖5所示。

表2　時程分析計算結(jié)果Tab.2　The calculation results of time-procedure analysis

由表1可見：應(yīng)用基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)的層間位移相對傳統(tǒng)抗震結(jié)構(gòu)減小明顯，減小率在58%～62%之間，層間位移的大幅度減小可以有效的降低結(jié)構(gòu)在地震過程中的損傷，從而增強(qiáng)了結(jié)構(gòu)的抗震性能，可以更好的保證生命和財產(chǎn)的安全。應(yīng)用基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)的速度和加速度相對于傳統(tǒng)抗震結(jié)構(gòu)大幅減少，減小率在30%左右，而且層數(shù)越高，減小率越大。這是因?yàn)樵诘卣饎舆^程中，隔震結(jié)構(gòu)的柔性隔震層在吸收了大量的地震能量的同時，也阻隔了地震能量向上部結(jié)構(gòu)的傳遞。

從頂層速度、位移和加速度時程曲線(如圖3、圖4、圖5)可以看出，基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)相對于傳統(tǒng)抗震結(jié)構(gòu)的頂層最大速度、最大位移和最大加速度值分別由原來的0.46 m/s、0.07 m、2.31 m/s2降低到了0.31 m/s、0.06 m、1.40 m/s2，結(jié)構(gòu)頂層的地震反應(yīng)值的降低充分說明了基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)對結(jié)構(gòu)的抗震性能有所提高。在地震動過程中可以更好的保證生命和財產(chǎn)的安全。

圖3頂層速度時程曲線

Fig.3Top floor speed curve

圖4頂層位移時程曲線

Fig.4Top floor displacement curve

圖5　頂層加速度時程曲線

5　結(jié)　論

本文針對基礎(chǔ)隔震框架結(jié)構(gòu)在多遇地震下的動力時程分析問題給出了一套新的求解方法。應(yīng)用哈密頓正則方程和精細(xì)積分法并編制相應(yīng)的MATLAB語言程序?qū)σ粭?層鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)進(jìn)行了動力時程分析，計算結(jié)果表明：基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)相對于傳統(tǒng)抗震結(jié)構(gòu)的層間位移減少了60%，速度和加速度減少了30%，同時頂層的最大位移減少了15%，可見減震效果明顯。這樣在保證結(jié)構(gòu)安全的同時,可以適當(dāng)?shù)慕档弯摻罨炷量蚣芙Y(jié)構(gòu)的抗震要求，從而降低工程造價，并起到改善房屋使用功能的作用。

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(責(zé)任編輯唐漢民梁健)

Precise integration method for dynamic time history analysis of base-isolation frame structures

HU Qi-ping1, WANG Li-juan2

(1.College of Civil Engineering, Hebei University of Engineering, Handan 056038, China；2.Hebei Tourism Vocational College, Chengde 067000,China)

Based on the story shear model, a dynamic equation of base-isolation frame structure is established for high-precision numerical solution of its seismic performance. Dual variables are introduced to derive the Hamiltonian canonical equation for the dynamic time history analysis. The precise integration method of initial value problems is applied to obtain the numerical solution. The MATLAB program is used to carry out the dynamic time history analysis of a rubber-base 6-story frame structure under earthquake excitation. According to the calculated results, under the same earthquake wave, compared with traditional seismic structures, the story displacement of the base-isolation structure is reduced by 60%, speed and accelerated speed are both reduced by 30%, and the maximum displacement of top story is reduced by 15%. Therefore, the base-isolation structure has excellent seismicity. It is a new method to solve the dynamic time history problem of isolation frame structures. And the data is precise and reliable.

Hamiltonian canonical equation；precise integration method； base isolation；MATLAB program；dynamic time history analysis

2016-03-21；

2016-06-06

河北省自然科學(xué)基金資助項目(E2011402057)

胡啟平(1963-)，男，安徽六安人，河北工程大學(xué)教授；E-mail:huqiping@hebeu.edu.cn。

10.13624/j.cnki.issn.1001-7445.2016.0939

TU352.1

A

1001-7445(2016)04-0939-06

引文格式：胡啟平，王麗娟.基礎(chǔ)隔震框架結(jié)構(gòu)動力時程分析的精細(xì)積分法[J].廣西大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2016，41(4)：939-944.