鐘揚(yáng)威, 王良明, 常思江, 傅健

(南京理工大學(xué) 能源與動力工程學(xué)院, 江蘇 南京 210094)

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基于Kane方法的雙旋彈飛行動力學(xué)建模及仿真

鐘揚(yáng)威, 王良明, 常思江, 傅健

(南京理工大學(xué) 能源與動力工程學(xué)院, 江蘇 南京 210094)

針對雙旋彈飛行動力學(xué)建模,提出了基于Kane方法建立樹形多剛體系統(tǒng)動力學(xué)方程的方法。分析了雙旋彈后體和前體的運(yùn)動,并分別建立了其動力學(xué)方程,綜合得到了雙旋彈的七自由度飛行動力學(xué)方程?；谒脑獢?shù)轉(zhuǎn)換,建立了雙旋彈轉(zhuǎn)動運(yùn)動學(xué)方程。通過編程對雙旋彈的無控和有控運(yùn)動特性進(jìn)行了仿真分析。結(jié)果表明,雙旋彈無控時(shí)以小迎角穩(wěn)定飛行;有控飛行時(shí)彈體產(chǎn)生配平迎角,且縱向和橫向修正會出現(xiàn)交叉耦合。

飛行動力學(xué); 多體系統(tǒng)動力學(xué); Kane方法; 雙旋彈

0　引言

近年來,雙旋彈作為一種極具潛力的二維彈道修正彈,引起了國內(nèi)外眾多專家學(xué)者的關(guān)注。雙旋彈由地面火炮平臺發(fā)射,采用低成本GPS/MIMU等測量彈丸的速度、位置、姿態(tài)等信息,通過預(yù)測算法快速預(yù)測彈丸的落點(diǎn),獲得落點(diǎn)與預(yù)定目標(biāo)距離和方向的二維偏差信息。彈載控制系統(tǒng)根據(jù)預(yù)測落點(diǎn)偏差信息和彈道修正策略,形成距離和方向修正指令,由鴨舵執(zhí)行機(jī)構(gòu)按規(guī)定的時(shí)序修正彈丸的落點(diǎn)和方向偏差。鴨舵執(zhí)行機(jī)構(gòu)(前體)安裝在彈丸頭部,與后體由滾轉(zhuǎn)軸承連接,在飛行過程中前體以低速繞彈體縱軸旋轉(zhuǎn)[1-2]。

與傳統(tǒng)旋轉(zhuǎn)彈相比,雙旋彈多了一個(gè)滾轉(zhuǎn)自由度,彈道修正階段還會受到鴨舵控制力和控制力矩的作用,使得其飛行動力學(xué)模型不同于傳統(tǒng)彈箭。Wernert等[3]在非滾轉(zhuǎn)彈體系下建立了裝有CCF引信的旋轉(zhuǎn)彈的七自由度非線性運(yùn)動模型,并通過該模型計(jì)算了彈丸的平衡性及操縱性。該模型含有迎角和側(cè)滑角的導(dǎo)數(shù),便于分析彈丸的角運(yùn)動。文獻(xiàn)[4-5]根據(jù)牛頓第二定律和動量矩定理,推導(dǎo)了七自由度剛體的質(zhì)心運(yùn)動方程和繞質(zhì)心運(yùn)動方程,采用該模型對鴨式布局雙旋彈的彈道特性進(jìn)行了仿真分析。王志剛等[6]采用凱恩方法建立了包含彈頭和后體動力學(xué)特征的雙旋火箭彈動力學(xué)模型,綜合考慮了彈頭和后體的相互作用,最終得到了7個(gè)標(biāo)量的動力學(xué)方程。王毅等[7]研究了修正組件、彈體運(yùn)動與彈丸運(yùn)動的關(guān)系,分析了彈丸飛行過程中兩剛體間的相互作用,綜合兩剛體的運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)方程建立了7D彈道模型。張開創(chuàng)等[8]分別建立了彈丸與修正組件的六自由度彈道模型,并通過兩者的運(yùn)動耦合關(guān)系建立了具有相對滾轉(zhuǎn)向量的七自由度彈道模型。

本文利用Kane方法在解決多剛體動力學(xué)問題方面的優(yōu)越性,通過多剛體系統(tǒng)的樹形結(jié)構(gòu)描述和運(yùn)動描述,給出了用Kane方法建立系統(tǒng)動力學(xué)方程的一般計(jì)算公式。在此方法的基礎(chǔ)上,通過對雙旋彈后體和前體的運(yùn)動分析,綜合建立了雙旋彈七自由度飛行動力學(xué)模型,并對雙旋彈無控和有控時(shí)的彈道特性進(jìn)行了仿真分析。

1　樹形多剛體系統(tǒng)動力學(xué)建模

1.1多剛體系統(tǒng)的樹形結(jié)構(gòu)描述

在圖1所示的系統(tǒng)中,剛體1是其他所有剛體的參考體,稱為系統(tǒng)的主剛體。對兩個(gè)相互聯(lián)結(jié)的剛體,與主剛體相距較近的剛體稱為上級剛體,相距較遠(yuǎn)的稱為下級剛體。

圖1　系統(tǒng)樹形結(jié)構(gòu)Fig.1　Tree structure of the system

為了建立系統(tǒng)的動力學(xué)方程,可以先把各部分看成相互獨(dú)立的系統(tǒng),分別建立各自的動力學(xué)方程,再利用各部分的連接關(guān)系,將已有的各部分的動力學(xué)方程合并為系統(tǒng)的動力學(xué)方程。

根據(jù)Kane方程的思想,廣義速度矩陣up確定以后,剛體上任意質(zhì)點(diǎn)相對于慣性參考系的絕對速度v及剛體的絕對角速度ω可以表示為偏速度vp和偏角速度ωp的線性迭加,即:

(1)

式中:p=1,2,…,n為該剛體的廣義速度的個(gè)數(shù)。因此,對一個(gè)剛體來說,其偏速度vp和偏角速度ωp反映了其運(yùn)動特征。同樣,對于一個(gè)系統(tǒng),其運(yùn)動特征也可由其偏速度和偏角速度來表示。這樣,系統(tǒng)的動力學(xué)方程便可由各個(gè)剛體的偏速度和偏角速度組合得到[9]。

1.2多剛體系統(tǒng)的運(yùn)動描述

如圖2所示,剛體a和b為多剛體系統(tǒng)中兩個(gè)相鄰的剛體,其中a為b的上級剛體,選擇b相對于a做剛性運(yùn)動的廣義速度為坐標(biāo)變量;da點(diǎn)為剛體a自身運(yùn)動的參考點(diǎn);dba為剛體b相對于剛體a運(yùn)動的參考點(diǎn);db為剛體b上的某參考點(diǎn)。在db點(diǎn)建立與剛體a在該點(diǎn)的運(yùn)動固連的坐標(biāo)系,稱為sba坐標(biāo)系;在db點(diǎn)建立與剛體b的剛性運(yùn)動固連的坐標(biāo)系,稱為sb坐標(biāo)系。

圖2　系統(tǒng)運(yùn)動描述Fig.2　Description of the system motion

剛體b相對于剛體a的運(yùn)動可以用db點(diǎn)相對于dab點(diǎn)的相對運(yùn)動和sb坐標(biāo)系相對于sba坐標(biāo)系的相對轉(zhuǎn)動來描述。設(shè)剛體a屬于A系統(tǒng),且A系統(tǒng)的廣義速度為up0(p0=1,2,…,nA),剛體b為A系統(tǒng)外與剛體a相連接的剛體。設(shè)剛體b相對于剛體a的自由度為nba,則對于剛體b的相對運(yùn)動可以選擇nba個(gè)廣義速度。描述剛體b運(yùn)動的廣義速度為nb個(gè),則:

(2)

按照廣義速度的展開式,剛體b上任一點(diǎn)pb的偏速度和偏角速度可表示為:

(3)

(4)

1.3多剛體系統(tǒng)動力學(xué)方程的一般形式

設(shè)剛體b屬于B系統(tǒng),且與A系統(tǒng)中的剛體a相連,則可建立由B系統(tǒng)和A系統(tǒng)形成的C系統(tǒng)的Kane動力學(xué)方程。

各系統(tǒng)的廣義慣性力矩陣Δf*(k)中的元素為:

(5)

(6)

(7)

式中:k=A,B;I為轉(zhuǎn)動慣量矩陣。

各系統(tǒng)的廣義主動力矩陣f(k)中的元素為:

(8)

式中:F(k)和M(k)為作用在系統(tǒng)k上做功的力和力矩的合力。根據(jù)Kane方程,系統(tǒng)的廣義主動力和廣義慣性力之和為零,即:

(9)

其中:

因此,系統(tǒng)的動力學(xué)微分方程為:

(10)

2　雙旋彈飛行動力學(xué)建模

2.1坐標(biāo)系的定義

(1)地面坐標(biāo)系Oxyz:O點(diǎn)為炮口;Ox為射擊面與水平面的交線,指向射擊方向?yàn)檎?Oy在鉛垂平面內(nèi),向上為正;Oz按右手法則確定。地面坐標(biāo)系為動坐標(biāo)系,在忽略地球自轉(zhuǎn)的情況下可將其視為慣性系。

(2)基準(zhǔn)坐標(biāo)系C(1)xyz:C(1)點(diǎn)為后體質(zhì)心,該坐標(biāo)系由Oxyz平動而得到。其三軸的單位向量設(shè)為i,j,k。

(3)彈道坐標(biāo)系C(1)x2y2z2:C(1)x2與彈體速度v的方向一致;C(1)y2在包含速度v的鉛垂平面內(nèi)垂直于C(1)x2,向上為正;C(1)z2按右手法則確定。

(4)彈軸坐標(biāo)系C(1)ξηζ:C(1)ξ與彈軸一致,指向彈頭方向?yàn)檎?C(1)η在鉛垂平面內(nèi)垂直于C(1)ξ,向上為正;C(1)ζ按右手法則確定。其三軸的單位向量設(shè)為iξ,jη,kζ。

(5)后體坐標(biāo)系C(1)xayaza:C(1)xa軸沿彈軸方向;C(1)ya軸和C(1)za軸固連在后體上,并與后體一起繞C(1)xa旋轉(zhuǎn)。后體坐標(biāo)系可視為由彈軸坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動γa角得到。

(6)前體坐標(biāo)系C(2)xfyfzf:C(2)為前體質(zhì)心;C(2)xf軸沿彈軸方向;C(2)yf軸和C(2)zf軸固連在前體上,并與前體一起繞C(2)yf旋轉(zhuǎn)。后體坐標(biāo)系可視為由彈軸坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動γf角得到。

2.2坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

彈軸坐標(biāo)系C(1)ξηζ由基準(zhǔn)坐標(biāo)系C(1)xyz按3-2次序轉(zhuǎn)動φ1和-φ2角度得到,對應(yīng)的四元數(shù)qna為:

(11)

其中:

2.3后體的運(yùn)動描述

后體質(zhì)心的位置及速度矢量、后體的轉(zhuǎn)動角速度、彈軸坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動角速度分別為:

(12)

(13)

(14)

(15)

選取廣義速度矩陣為:

(16)

利用廣義速度,后體的速度和角速度表示為:

(17)

表1　偏速度、偏角速度及其導(dǎo)數(shù)Table1　Partialvelocities,partialangularvelocitiesandtheirderivatives

2.4前體的運(yùn)動描述

選擇前體質(zhì)心C(2)作為參考點(diǎn),前體繞過C(2)的軸線作單自由度轉(zhuǎn)動。C(2)點(diǎn)的位置矢量為:

(18)

式中:r(2,1)為前體質(zhì)心對后體質(zhì)心的矢徑,取彈軸系中的分量形式。

前體的轉(zhuǎn)動角速度矢量為:

(19)

式中:ω(2,1)為前體相對后體的轉(zhuǎn)動角速度,表示為:

(20)

選取廣義速度矩陣為:

(21)

后體C(2)點(diǎn)的速度矢量為:

(22)

利用廣義速度,后體的速度和角速度表示為:

(23)

(24)

(25)

(26)

表2　偏角速度及其導(dǎo)數(shù)Table2　Partialangularvelocitiesandtheirderivatives

2.5雙旋彈動力學(xué)方程的一般形式

(27)

(28)

式中:F(k)和M(k)的計(jì)算參見文獻(xiàn)[2]。F(k)需要向基準(zhǔn)系投影,M(k)向彈軸系投影。

系統(tǒng)動力學(xué)方程為:

(29)

其中:

2.6雙旋彈運(yùn)動學(xué)方程

(30)

(31)

彈道系的轉(zhuǎn)動角為:

(32)

后體滾轉(zhuǎn)角γ1和前體滾轉(zhuǎn)角γ2分別為:

(33)

3　彈道仿真

3.1無控飛行仿真

圖3　雙旋彈彈道軌跡Fig.3　Trajectory of the dual-spin projectile

圖4　雙旋彈總迎角曲線Fig.4　Curve of total AOA of the dual-spin projectile

圖5　前后體轉(zhuǎn)速曲線Fig.5　Curves of spin rate for front and rear parts

由圖3和圖4可以看出,雙旋彈無控飛行的最大彈道高為4 538 m,飛行距離為13 547 m。迎角振蕩衰減并且趨向于零,表明其無控飛行是穩(wěn)定的。

由圖5可以看出,雙旋彈后體轉(zhuǎn)速雖然隨時(shí)間逐漸衰減,但依然保持高速旋轉(zhuǎn)狀態(tài)。前體的轉(zhuǎn)速在出炮口后約1 s內(nèi)衰減到-5 rad/s 左右,并一直維持在這個(gè)轉(zhuǎn)速附近。

3.2有控飛行仿真

仿真初始條件與無控時(shí)相同,在彈道頂點(diǎn)處開始控制,前體滾轉(zhuǎn)角γ2分別固定為0°,90°,180°和270°,落點(diǎn)修正距離如表3所示,雙旋彈的總迎角如圖6所示。固定舵偏角δw=8°時(shí),前體的修正量與前體滾轉(zhuǎn)角γ2的對應(yīng)關(guān)系如圖7所示。

表3　前體修正距離Table3　Correcteddistancesoffrontpart

圖6　雙旋彈總迎角曲線Fig.6　Curves of total AOA of the dual-spin projectile

圖7　修正量與滾轉(zhuǎn)角對應(yīng)圖Fig.7　Reciprocal diagram between correction distances and roll angles

由表3可以看出,進(jìn)行射程修正(γ2=0°,180°)時(shí),對偏流產(chǎn)生了影響。對偏流修正(γ2=90°,270°)時(shí)也會對射程產(chǎn)生影響,這主要是由于雙旋彈的縱向和橫向運(yùn)動存在交叉耦合造成的。這種現(xiàn)象從圖7中也可以清晰地看出。

此外,由圖6可知,加入控制力后,總迎角不再振蕩趨近于零,而是產(chǎn)生了配平迎角。特別是加入向左的控制力后(γ2=270°),迎角在結(jié)束階段出現(xiàn)增大的趨勢。可見,橫向控制力對彈丸的飛行穩(wěn)定性產(chǎn)生了影響。

4　結(jié)束語

本文給出了基于Kane方程建立樹形多剛體系統(tǒng)動力學(xué)方程的一般方法,該方法推導(dǎo)過程簡潔、規(guī)范,方程中不出現(xiàn)理想約束力,最后得到的模型較簡單，便于計(jì)算機(jī)編程求解?；谠摲椒ń⒘穗p旋彈飛行動力學(xué)方程,并對某型雙旋彈開展了無控和有控仿真計(jì)算。得到了雙旋彈總迎角、前后體轉(zhuǎn)速、修正量等彈道參數(shù)的運(yùn)動規(guī)律,為后續(xù)開展雙旋彈飛行穩(wěn)定性分析、修正方案研究等提供了參考。目前,國內(nèi)對雙旋彈的研究尚處于初步階段,實(shí)際飛行過程中的角運(yùn)動特性、控制特性等還需進(jìn)一步開展研究。

[1]許諾,于劍橋,王亞飛,等.固定翼雙旋彈動力學(xué)特性分析[J].兵工學(xué)報(bào),2015,36(4):602-609.

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(編輯：李怡)

Modeling and simulation of flight dynamics for dual-spin projectile based on Kane’s method

ZHONG Yang-wei, WANG Liang-ming, CHANG Si-jiang, FU Jian

(School of Energy and Power Engineering, NUST, Nanjing 210094, China)

As to the modeling for the flight dynamic model of dual-spin projectile, a method to establish the dynamic model for multi-rigidbody systems with tree structures was given based on Kane’s equations. The motions of the front and rear parts were analyzed. Afterwards, the dynamic models of both parts were established, and the 7-DOF flight dynamic equations were built. The kinematics equations were set up based on the quaternion transformation. The simulation analyses for uncontrolled and controlled kinetic characteristics were carried out by programming. The results show that the projectile flies stably with small angles of attack while uncontrolled. The trim angle of attack is generated while the projectile is controlled. Moreover the cross coupling will appear between the longitudinal correction and lateral correction.

flight dynamics; multi-body dynamics; Kane’s method; dual-spin projectile

2015-09-21;

2016-01-11; 網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間:2016-02-29 16:38

國家自然科學(xué)基金資助(11402117)

鐘揚(yáng)威(1989-)，男，湖北宜昌人，博士研究生，研究方向?yàn)橥鈴椀琅c飛行控制、飛行力學(xué)。

TJ760.12

A

1002-0853(2016)04-0059-05