劉明明

(江蘇省如東高級(jí)中學(xué)，226400)

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○高考之窗○

從一道高考題談極化恒等式的應(yīng)用

劉明明

(江蘇省如東高級(jí)中學(xué)，226400)

向量的數(shù)量積作為江蘇高考的C級(jí)考點(diǎn),是高考的核心考點(diǎn)之一．在處理數(shù)量積問題的過程中,一些重要結(jié)論的使用能促使問題更好更快地得到解決.本文從2016年江蘇數(shù)學(xué)高考第13題出發(fā),探索極化恒等式在解數(shù)量積問題中的應(yīng)用．

從極化恒等式可以看到向量的數(shù)量積可直接轉(zhuǎn)化為幾何長度問題,對(duì)研究向量的數(shù)量積問題有很大的幫助.筆者列舉幾例如下:

解連結(jié)BC,取BC的中點(diǎn)D，則

又因?yàn)锽Cmin=3-1=2,所以

解如圖3，取OB的中點(diǎn)D,連結(jié)PD，則

于是只要求PD的最小值即可．

由圖3可知，當(dāng)PD⊥AB時(shí)，

評(píng)注例2與例1都是通過將數(shù)量積的最值問題轉(zhuǎn)化為幾何線段的最值問題,極化恒等式從中起到重要的橋梁作用，但區(qū)別在于例2將數(shù)量積的最值問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)三角形的中線長最值問題．此外，例2中求PD的最小值還可以看成“以D為圓心的圓與線段AB有公共點(diǎn),求圓半徑最小值”．從這種角度看較典型的是下面的例子.

解如圖4,取AB的中點(diǎn)D,連結(jié)CD，

以上三題都是求最值問題,但問題也可以從“已知向量數(shù)量積的最值求相關(guān)參數(shù)”的角度發(fā)問,比如下面的例子.

上式等價(jià)于AB2+BC2≤AC2,即∠ABP≥900當(dāng)且僅當(dāng)P與B重合時(shí),取等號(hào).

此時(shí)曲線C在B處的切線斜率為1,即

從前面的題目,我們看到極化恒等式對(duì)研究共起點(diǎn)(終點(diǎn))向量數(shù)量積問題有很大的幫助.此外，對(duì)于有些不是共起點(diǎn)(終點(diǎn))向量數(shù)量積問題,也可以用極化恒等式來探索．

解如圖6,取AB,AC,CD,BD中點(diǎn)H,I,J,K.

四邊形ABCD中,易知EF,KI,HJ三線共點(diǎn)于O.

=4(HO2-FO2).

在?EFI中,

HO2=4.

近幾年來,對(duì)向量數(shù)量積的考查在一些模擬考試與高考中相當(dāng)熱門,而這些數(shù)量積問題基本上可以借助極化恒等式快捷地解決,故在平時(shí)教學(xué)中需要向?qū)W生滲透極化恒等式,讓學(xué)生明白極化恒等式不僅是一種基向量思想的公式化表達(dá)方式,而且在解決向量數(shù)量積問題中有廣泛的應(yīng)用．