周順鈿

(浙江省杭州高級(jí)中學(xué)，310003)

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○數(shù)學(xué)探究○

阿波羅尼斯圓的探究及其應(yīng)用

周順鈿

(浙江省杭州高級(jí)中學(xué)，310003)

一、問題背景

我們知道,到兩定點(diǎn)的距離之和為定值(定值大于兩定點(diǎn)間的距離)的點(diǎn)的軌跡是橢圓,到兩定點(diǎn)的距離之差為定值(定值大于零且小于兩定點(diǎn)間的距離)的點(diǎn)的軌跡是雙曲線．那么，到兩定點(diǎn)的距離之商為定值(定值大于零且不等于1)的點(diǎn)的軌跡是什么呢?這就是由公元前3世紀(jì)下半葉古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯(Apollonius of Perga,公元前262-公元前190)提出的幾何作圖問題,載于他的《論接觸》中,惜原書已失傳．

若避開純幾何解決方法，我們從解析法探究：設(shè)兩個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)為A(-a,0),B(a,0),動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y).

(x+a)2+y2=k2[(x-a)2+y2],

展開化簡，得

于是,平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為常數(shù)k(0

現(xiàn)行中學(xué)數(shù)學(xué)教材在編寫時(shí)都十分重視對(duì)數(shù)學(xué)歷史題材的挖掘和應(yīng)用.如，蘇教版數(shù)學(xué)選修2-1在第二章《圓錐曲線和方程》第63頁例2：“求平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比等于2的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程”就是對(duì)阿波羅尼斯圓的開發(fā)與應(yīng)用.

二、阿波羅尼斯圓的靈活應(yīng)用舉例

例1在直角坐標(biāo)平面上,已知點(diǎn)A(0,2),B(0,1),D(t,0)(t>0)．點(diǎn)M是線段AD上的動(dòng)點(diǎn),如果|AM|≤2|BM|恒成立,求正實(shí)數(shù)t的最小值．

評(píng)注本題的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關(guān)系．

例2(2013年江蘇高考題)如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A(0,3),設(shè)圓C的半徑為1,圓心C在直線l:y=2x-4上．

(1)若圓心C也在直線y=x-1上,過點(diǎn)A作圓C的切線,求切線的方程;

(2)若圓C上存在點(diǎn)M,使|MA|=2|MO|,求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍.

解(1)所求切線方程為y=3或者3x+4y-12=0．(過程略)

(2)設(shè)M(x,y),由|MA|=2|MO|,可得點(diǎn)M的軌跡為阿波羅尼斯圓

D:x2+(y+1)2=4．

由題意,點(diǎn)M應(yīng)該既在圓C上又在圓D上,即圓C和圓D有公共點(diǎn)．設(shè)圓心C(a,2a-4),則

≤|2+1|,

評(píng)注解決本題(2)的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為兩圓的位置關(guān)系．

解由點(diǎn)M知,∠AKC=∠BKC,

即KC為∠AKB的平分線(如圖2),所以

記A(-a,0),B(a,0),K(x,y),其中a>0,則點(diǎn)K的軌跡為阿波羅尼斯圓

當(dāng)且僅當(dāng)r=2時(shí)取等號(hào)．

評(píng)注本題通過對(duì)隱晦條件的層層剖析,揭示了點(diǎn)K的軌跡即為阿波羅尼斯圓,于是問題的背景便豁然開朗．

三、對(duì)阿波羅尼斯問題的進(jìn)一步探究

對(duì)于阿波羅尼斯問題,如果給予定點(diǎn)、定值、圓心、半徑等相關(guān)的要素進(jìn)行不同的組合,還可以作進(jìn)一步的探究．

解設(shè)P(x,y),則

(x+2)2+y2=λ2[(x-4)2+y2],

展開化簡得

與圓C:(x+4)2+y2=16相比較，得

4[(x-a)2+y2]=(x-b)2+y2,

化簡得

評(píng)注上述兩題本質(zhì)上是阿波羅尼斯圓的逆向探究問題．

例6(2015年湖北高考題)如圖3,圓C與x軸相切于點(diǎn)T(1，0)，與y軸正半軸交于兩點(diǎn)A，B(B在A的上方)，且|AB|=2.

(1)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為______.

(2)過點(diǎn)A任作一條直線與圓O：x2+y2=1相交于M，N兩點(diǎn)，下列三個(gè)結(jié)論：

其中正確結(jié)論的序號(hào)是______.(寫出所有正確結(jié)論的序號(hào))

OA·OB,故?OAN∽?OBN,從而∠ONA=∠OBN.

同理,?OAM∽?OBM,得∠OMA=∠OBM(如圖4)．

又由OM=ON,得∠OMA=∠ONA,于是∠OBM=∠OBN.

所以②③也成立．

數(shù)學(xué)探究教學(xué)是數(shù)學(xué)知識(shí)“再創(chuàng)造”和“再現(xiàn)”的重要方式．在探究活動(dòng)中,教師應(yīng)把自己的精力放在鼓勵(lì)學(xué)生觀察分析、自主探索和合作交流上.開放性是探究學(xué)習(xí)的一個(gè)重要特征,教師應(yīng)創(chuàng)建一個(gè)開放的課堂教學(xué)體系,給學(xué)生營造一個(gè)寬松、和諧、民主的心理氛圍,不限制學(xué)生思考問題的方向和角度,不預(yù)設(shè)探究的結(jié)果和產(chǎn)物,從而保證探究活動(dòng)的有效性．