張芳園，單輝宇

（哈爾濱工程大學(xué)信息與通信工程學(xué)院，哈爾濱150001）

卡爾曼濾波算法與Bootstrap算法比較

張芳園，單輝宇

（哈爾濱工程大學(xué)信息與通信工程學(xué)院，哈爾濱150001）

在信息化時代，人們對時間同步的精度要求越來越高.從時鐘根據(jù)它和主時鐘的偏差進行估計和調(diào)整，從而實現(xiàn)同步.在多個晶振的條件下，可以通過卡爾曼方法實現(xiàn)數(shù)據(jù)融合，通過卡爾曼濾波算法和Bootstrap算法對時鐘進行校正，對偏差進行估計.該方法可以提高本地時間穩(wěn)定性和準確性.關(guān)鍵詞：時鐘同步；卡爾曼濾波算法；Bootstrap算法

網(wǎng)絡(luò)中的每個節(jié)點都擁有獨立的晶振，輸出的時間是由輸出的脈沖個數(shù)來計算.時間的精度是由晶振的精度決定，每個晶振的性能指標不可能完全一樣，且每個晶振的運行環(huán)境中的溫度、濕度等因素的也會對晶振的精度產(chǎn)生影響.隨著時間的推移晶振會產(chǎn)生相應(yīng)的頻偏和時偏，使得晶振的穩(wěn)定度變差，在晶振運行過程中為了維持晶振的穩(wěn)定度，通常采用卡爾曼等方法對其精度進行校正.但卡爾曼濾波在對晶振的頻偏和時偏進行校正的過程中需要系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣、協(xié)方差、噪聲方差等，計算過于復(fù)雜.Bootstrap方法只需利用計算機對測量數(shù)值進行重采樣，從而對晶振的頻偏和時偏進行校正雖計算量大，但計算簡單.

1　IEEE 1588　時間同步協(xié)議

IEEE 1588協(xié)議是在建立硬件時間戳的條件下，通過主時鐘和從時鐘交換時間戳信息而實現(xiàn)時間得高精度同步［1］.協(xié)議將時間同步過程分為偏移測量階段和延遲測量階段兩個部分.它的時間同步過程如圖1所示［2］.

圖1　主從時鐘之間的交互過程

在本文中假設(shè)往返路徑對稱即數(shù)據(jù)包在傳播時它們的時延相等，則可以得到以下的計算公式：

2　卡爾曼濾波對時間偏差和頻偏的估算

2.1卡爾曼濾波的基本原理

卡爾曼濾波器要求信號和噪聲的統(tǒng)計特性得先驗條件已知，在此基礎(chǔ)上采用高效率遞歸方式獲得最小方差的最優(yōu)估計濾波器.在本文中，由主節(jié)點和從節(jié)點之間實現(xiàn)時間同步從而獲得整個網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點的時間同步.節(jié)點間的時間同步是通過計算從節(jié)點與主節(jié)點之間的時間偏差與頻率偏差并對本地時間的絕對時間和頻率進行調(diào)整而實現(xiàn)的.相對準確的時偏和頻偏的估計有利于提升網(wǎng)絡(luò)時間的準確度.在本小節(jié)采用了卡爾曼法去實現(xiàn)對時偏和頻偏的準確估計，并對該過程進行了仿真分析［3］.

2.2卡爾曼濾波對時間偏差和頻偏的估計

在本節(jié)中，采用卡爾曼濾波方法對上節(jié)提到協(xié)議的實現(xiàn)時間同步方式進行濾波估計，校正頻偏和時偏，提高同步精確性.同時在這里認為時間偏差的測量誤差為0，則可以得到從時鐘的時間偏差和頻率偏差的關(guān)系式：

設(shè)Z（k）=［θ［k］，s［k］］T為卡爾曼濾波器的當前狀態(tài)向量，而Y［k］=［θ^［k］，s^［k］］T為在k時刻的時鐘時間和頻率的校正值.在一定的時間間隔內(nèi)，時鐘的頻偏變化緩慢，所以在這里假設(shè)頻偏的變化率保持不變，因此可以根據(jù)前一時刻的頻偏去計算現(xiàn)在時刻的時偏.卡爾曼濾波的狀態(tài)方程和測量方程分別為式（5）、（6）.

通過上述過程，可以消除相關(guān)噪聲，提高時鐘的同步精度，保持時鐘的穩(wěn)定度.

2.3仿真結(jié)果分析

我們采用Matlab進行仿真，本文中的頻偏表示晶振的實際頻率與標準頻率在每秒產(chǎn)生的偏差值，在2維的情況下利用數(shù)據(jù)融合［4］的方法對2個時鐘的狀態(tài)估計值進行融合，從而對整個系統(tǒng)時鐘的頻偏和時偏進行校正，提高本地時鐘的穩(wěn)定性和準確性.

圖2為在只有1個時鐘的情況下的頻偏和時偏修正值.圖3為在只有1個時鐘條件下的頻偏和時偏狀態(tài)估計值.圖4為在2個時鐘的條件下的，它們各自的時偏和頻偏的修正值.圖5為在2個時鐘的條件下的，它們各自的時偏和頻偏的狀態(tài)估計值以及經(jīng)過數(shù)據(jù)融合后得到的晶振時偏和頻偏的估計值.

圖2　A時鐘頻偏和時偏修正值

圖3　A時鐘頻偏和時偏狀態(tài)值估計

圖4　時鐘A和B頻偏和時偏修正值

圖5　時鐘A，B及融合后的頻偏和時偏狀態(tài)值估計

3　Bootstrap方法對時偏和頻偏的估算

3.1Bootstrap方法基本原則

Bootstrap方法是一種基于計算機模擬的統(tǒng)計推斷方法，它不需要對未知總體分布作任何假定，而是通過對已有樣本進行有放回地隨機抽樣（每個樣本被抽到的概率相同）來產(chǎn)生“偽”隨機數(shù)，從而判斷總體分布的統(tǒng)計特性［5］.

常見的Bootstrap有殘差Bootstrap方法、參數(shù)Bootstrap方法、Wild Bootstrap方法、Pairs Bootstrap方法和Block Bootstrap方法.本文中采用殘差Bootstrap方法.

3.2殘差Bootstrap方法

殘差Bootstrap是通過對模型的殘差進行有放回地隨機抽樣而獲得所需數(shù)據(jù)的一種方法.它有兩個使用條件：1）誤差與變量之間相互獨立；2）誤差服從獨立同分布.表達式為式（7）.

E（εi|Xi）=0，εiIID（0，σ） （i=1，2，…，N）

殘差Bootstrap的執(zhí)行步驟如下：

1）利用最小二乘（OLS）或其他方法對式（3-1）進行估計，得到β的估計值和殘差向量e.其中，e=y-

2）對殘差e進行尺度變化和中心化.

4）由以上可以得到一個Bootstrap樣本（y*，X），其中y*=Xβ+e*.

重復(fù)第3步和第4步共B次，可以得到一組Bootstrap樣本.

3.3殘差Bootstrap仿真結(jié)果

對由信號源所產(chǎn)生的測量值隨機采樣或得10個數(shù)據(jù)，利用Bootstrap方法對這10個數(shù)據(jù)進行重采樣，得到一個狀態(tài)值樣本和修正值的樣本，將上述過程重復(fù)2 000次得到1組Bootstrap樣本，利用Matlab對該過程進行仿真分析.圖6為在1維情況下利用Bootstrap方法對晶振的頻偏和時偏進行測量及估計仿真圖.圖7是在2維條件下，利用數(shù)據(jù)融合方法得到的時鐘的頻偏和時偏進行測量及估計仿真圖.

圖6　頻偏和時偏狀態(tài)估計值和修正值

圖7　融合后的頻偏和時偏狀態(tài)估計值和修正值

4　結(jié)語

利用卡爾曼濾波法和Bootstrap方法均可以對時鐘的時間偏差和頻率偏差進行校正，且兩種方法對時鐘的噪聲干擾和影響進行消除的結(jié)果接近一致，但是在運算過程中，卡爾曼濾波方法需要對系統(tǒng)進行建模，需要系統(tǒng)各種的狀態(tài)矩陣、協(xié)方差、噪聲方差等參數(shù)以及系統(tǒng)的初始狀態(tài)值和初始測量值，在實際運算過程中會使計算過程較為復(fù)雜，而Bootstrap方法需要的樣本個數(shù)少，在重采樣的過程中雖然會產(chǎn)生大量的數(shù)據(jù)值，但是在計算機運行中不會給運算過程帶來不便，計算簡單，不需要大量的系統(tǒng)值和任何的先驗概率，后驗概率，簡化了系統(tǒng)計算.所以在應(yīng)用中可以用Bootstrap方法替代卡爾曼濾波方法，且簡化計算過程.

［1］李曉珍.基于IEEE 1588的網(wǎng)絡(luò)時間同步系統(tǒng)研究［D］.西安：中國科學(xué)院研究生院，2011.

［2］LEE S.An enhanced IEEE 1588 time synchronization algorithm for asymmetric communication link using block burst transmission ［J］.IEEE Communications Letters，2008，12（9）：687-689.

［3］周思捷.基于IEEE 1588無線網(wǎng)絡(luò)時間同步技術(shù)研究［D］.上海：上海交通大學(xué)，2013.

［4］李海艷，李維嘉，黃運保.基于卡爾曼濾波的多傳感器測量數(shù)據(jù)融合［J］.武漢大學(xué)學(xué)報，2011，44（4）：521-525.

［5］馮計才，劉力維，常寶嫻，等.Bootstrap方法的仿真實現(xiàn)及其在系統(tǒng)偏差估［J］.南京理工學(xué)學(xué)報，2007，31（3）：400 -402.

Comparison of Bootstrap algorithm and Kalman filtering algorithm

ZHANG Fang-yuan，SHAN Hui-yu
（School of Information and Communication Engineering，Harbin Engineering University，Harbin 150001，China）

In the information age，the users has higher requirement for the accuracy of time synchronization.The slave clock achieves clock synchronization according to the offset of the slave clock and themaster clock to estimate and adjust the offset.Under the condition ofmultiple crystal scillator，data fusion can be realized through Kalman filteringmethod.The clock correction and the deviation estimation were performed through Kalman filter algorithm and the Bootstrap algorithm.Thismethod can improve the local time’s stability and accuracy.

wireless synchronization；Bootstrap algorithm；Kalman filtering algorithm

TN972

A

1672-0946（2016）02-0200-03

2015-07-15.

中央高?；究蒲匈M專項基金（HEUCF140803）.

張芳園（1991-），女，碩士，研究方向：寬帶信號的檢測與識別.