倪錦根

(蘇州大學(xué)電子信息學(xué)院,江蘇蘇州 215006)

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時變參數(shù)比例自適應(yīng)濾波算法

倪錦根

(蘇州大學(xué)電子信息學(xué)院,江蘇蘇州 215006)

在免提電話和視頻會議系統(tǒng)中,自適應(yīng)濾波器估計的回聲路徑通常是稀疏的.改進的比例歸一化最小均方(IPNLMS)算法能夠加快自適應(yīng)濾波器在估計稀疏系統(tǒng)時的收斂速度,但與歸一化最小均方(NLMS)算法相比,其穩(wěn)態(tài)失調(diào)的波動性較大.為了解決這一問題,本文提出了一種時變參數(shù)IPNLMS(TV-IPNLMS)算法.該算法根據(jù)系統(tǒng)的均方誤差(MSE)與噪聲功率的比值,使用一個sigmoid函數(shù)來調(diào)整時變參數(shù)的值.該時變參數(shù)能夠降低IPNLMS算法在濾波器到達穩(wěn)態(tài)時的比例增益.仿真結(jié)果表明,時變參數(shù)方法能夠降低IPNLMS算法穩(wěn)態(tài)失調(diào)的波動性.該算法可用于回聲消除、主動噪聲控制等領(lǐng)域.

免提電話;視頻會議;比例自適應(yīng);時變參數(shù);穩(wěn)態(tài)失調(diào)

1　引言

自適應(yīng)濾波技術(shù)在通信、雷達、聲納等領(lǐng)域獲得了廣泛應(yīng)用[1].自適應(yīng)濾波算法決定了自適應(yīng)濾波器的收斂速度和穩(wěn)態(tài)失調(diào).最小均方(LMS)算法及其改進算法[2]和歸一化最小均方(NLMS)算法及其改進算法[3]是兩類重要的自適應(yīng)濾波算法.在網(wǎng)絡(luò)和聲學(xué)回聲消除等應(yīng)用中,待估計的回聲路徑脈沖響應(yīng)通常是稀疏的,即回聲路徑脈沖響應(yīng)只有很少系數(shù)的值較大,而大部分系數(shù)的值很小或者為零[4].如果采用LMS或NLMS算法來估計稀疏系統(tǒng),則收斂較慢.

Duttweiler于2000年提出了著名的比例NLMS(PNLMS)算法[5].該算法根據(jù)回聲路徑脈沖響應(yīng)的稀疏性,給自適應(yīng)濾波器的每個系數(shù)按比例分配增益,從而加快自適應(yīng)濾波器在估計稀疏系統(tǒng)時的收斂速度.然而,當(dāng)待辨識的系統(tǒng)是非稀疏時,PNLMS算法比NLMS算法收斂更慢.為了保證PNLMS算法在估計非稀疏系統(tǒng)時仍然保持較快的收斂速度,Benesty等人提出了一種改進的PNLMS(IPNLMS)算法[6].無論待估計系統(tǒng)是稀疏還是非稀疏的,IPNLMS算法的收斂速度都優(yōu)于PNLMS算法.在IPNLMS算法被提出之后,許多比例自適應(yīng)算法采用了IPNLMS算法中使用的增益分配思想,如文獻[7～9].通過仿真實驗可以發(fā)現(xiàn),在估計稀疏系統(tǒng)時,IPNLMS算法的收斂速度快于NLMS算法,但其穩(wěn)態(tài)失調(diào)的波動性較大.在回聲消除等應(yīng)用中,大的穩(wěn)態(tài)失調(diào)波動性會在免提電話、視頻會議等設(shè)備中產(chǎn)生嚴(yán)重的干擾噪聲,從而影響通話質(zhì)量[10,11].文獻[12]提出了一種變參數(shù)IPNLMS(VP-IPNLMS)算法,該算法能夠加快濾波器估計非稀疏系統(tǒng)時的收斂速度,但在估計稀疏系統(tǒng)時,其穩(wěn)態(tài)失調(diào)的波動性仍然較大.

針對上述問題,本文提出了一種時變參數(shù)方法來降低IPNLMS算法穩(wěn)態(tài)失調(diào)的波動性.該方法根據(jù)系統(tǒng)的均方誤差與噪聲功率的比值,使用一個sigmoid函數(shù)來自動調(diào)整時變函數(shù)的值.仿真結(jié)果表明,本文提出的時變參數(shù)方法,能夠顯著減小IPNLMS算法引起的穩(wěn)態(tài)失調(diào)波動性.

2　時變參數(shù)IPNLMS算法

在自適應(yīng)濾波應(yīng)用中,通常認為期望響應(yīng)d(n)滿足模型

d(n)=uT(n)wo+v(n)

(1)

其中,(·)T表示轉(zhuǎn)置運算符,u(n)=[u(n),u(n-1),…,u(n-M+1)]T表示由輸入信號的M個樣值構(gòu)成的輸入向量,wo為待估計系統(tǒng)的脈沖響應(yīng),v(n)為系統(tǒng)噪聲.通常假設(shè)u(n)、v(n)和d(n)的均值為零.若均值不為零,可對其進行預(yù)處理[1].

令w(n)=[w0(n),w1(n),…,wM-1(n)]T為自適應(yīng)濾波器在n時刻的系數(shù)向量,μ為步長參數(shù),δ為很小的正則化參數(shù),e(n)為誤差信號且滿足

e(n)=d(n)-uT(n)w(n)

(2)

則IPNLMS算法的迭代公式可表示為[6]

(3)

其中,G(n)表示M×M的對角增益矩陣.該矩陣的第m個對角元素由下式確定

m=0,1,…,M-1

(4)

其中,‖w(n)‖1表示系數(shù)向量w(n)的l1范數(shù),ε為很小的正常數(shù),α為在區(qū)間[-1,1)內(nèi)取值的參數(shù).

IPNLMS算法給自適應(yīng)濾波器的每個系數(shù)按比例分配增益.當(dāng)自適應(yīng)濾波器處于穩(wěn)態(tài)階段時,大的系數(shù)仍然采用大的增益進行更新,導(dǎo)致IPNLMS算法比NLMS算法的穩(wěn)態(tài)失調(diào)的波動性更大.本文采用如下方法來解決這一問題:在自適應(yīng)濾波初始階段,給式(4)中的參數(shù)α分配一個較大的值,使得自適應(yīng)濾波器按照IPNLMS算法進行迭代,從而獲得較快的收斂速度;在自適應(yīng)濾波穩(wěn)態(tài)階段,使參數(shù)α的值趨于-1,使得IPNLMS算法性能接近NLMS算法,從而降低穩(wěn)態(tài)失調(diào)的波動性.為了達到上述目的,我們將參數(shù)α變?yōu)闀r變的參數(shù)α(n),從而式(4)可改寫為

m=0,1,…,M-1

(5)

本文將采用式(5)的IPNLMS算法稱為時變參數(shù)IPNLMS(TV-IPNLMS)算法.下面來討論α(n)的選取問題.

定義自適應(yīng)濾波器的含噪信噪比為

(6)

誤差信號e(n)的大小能較好地反應(yīng)自適應(yīng)濾波器所處的階段,因而可以通過建立α(n)和e(n)之間的關(guān)系來自動更新α(n)的值.為此,定義如下的中間變量

(7)

當(dāng)自適應(yīng)濾波器處于0時刻時,根據(jù)式(2)和常用的初始條件w(0)=0,可得E[e2(0)]=E[d2(0)],從而有

x(0)=NSNR/10

(8)

在平穩(wěn)信號輸入下,E[e2(n)]隨著迭代次數(shù)增大逐漸而減小,從而有E[e2(n)]

(9)

對于NLMS算法,當(dāng)自適應(yīng)濾波器處于穩(wěn)態(tài)時,即n→∞,其穩(wěn)態(tài)均方誤差為[1]

(10)

上式隨步長參數(shù)變化的極限值為

(11)

假設(shè)α(n)在穩(wěn)態(tài)階段能取到近似-1的值,則TV-IPNLMS算法近似于NLMS算法,從而式(11)也是TV-IPNLMS算法穩(wěn)態(tài)均方誤差的下限.將式(11)代入式(7),可得

(12)

綜合式(8)、(9)和(12),可得

0≤x(n)

(13)

將待估計系統(tǒng)的無噪聲輸出信號記為y(n)=uT(n)·wo,則通常意義下的信噪比(SNR)的定義為

(14)

雖然e(n)能夠反應(yīng)自適應(yīng)濾波器所處的階段,但是在不同的輸入信號和噪聲環(huán)境中,e(n)的差別較大.為此,選擇一個與e(n)相關(guān)但是在不同環(huán)境中差別較小的變量更為重要.一個較好的選擇就是SNR,因為在大部分應(yīng)用中,SNR位于區(qū)間[10,80]內(nèi),其典型值位于10至40之間.因此,在典型信噪比環(huán)境中,有E[d2(n)]≈E[y2(n)],從而有NSNR≈SNR.根據(jù)式(13)可知,在不同的輸入信號和噪聲環(huán)境中,式(7)中x(n)的取值范圍要遠小于e(n)的取值范圍.此外,x(n)的最小值為0,而e(n)的最小值隨著輸入信號和噪聲的不同而不同.因此,采用x(n)來估計自適應(yīng)濾波器的工作狀態(tài)要優(yōu)于采用e(n).

中間變量x(n)選定之后,還需要選擇關(guān)于x(n)的單調(diào)遞增函數(shù).在眾多函數(shù)中,S型的sigmoid類函數(shù)在線性和非線性之間實現(xiàn)了很好的平衡,并且其形狀可以通過調(diào)整斜率參數(shù)來改變.一個應(yīng)用廣泛的sigmoid類函數(shù)是logistic函數(shù),其表達式為[16]

f(t)=1/[1+exp(-βt)]

(15)

其中β為logistic函數(shù)的斜率參數(shù),該參數(shù)控制logistic函數(shù)的形狀.取不同斜率參數(shù)的logistic函數(shù)如圖1所示.由該圖可見,f(t)在0到1之間取值,其對稱中心位于點(0,0.5).

令φ為時變參數(shù)α(n)的上限,則該上限應(yīng)滿足條件φ∈[-1,1),且α(n)的下限應(yīng)為-1.因此,α(n)與式(15)中的f(t)取值范圍和對稱中心均不相同.為了獲得滿足條件的時變參數(shù)α(n),需要將式(15)中的logistic函數(shù)進行縮放和平移,具體過程如下:將f(x(n))放大2φ+2倍后,再將放大后的函數(shù)沿著縱軸向下平移φ+2,可得

(16)

容易驗證,在x(n)≥0和φ∈[-1,1)條件下,式(16)中的α(n)位于區(qū)間[-1,1)內(nèi),該區(qū)間與IPNLMS算法中參數(shù)α要求的取值范圍相同.

TV-IPNLMS算法的性能會受到logistic函數(shù)的斜率參數(shù)β的影響,該參數(shù)的取值主要依賴于環(huán)境的SNR、待估計系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)長度以及輸入信號的統(tǒng)計特征,其選取原則如下:(1)在低SNR環(huán)境中,大的噪聲功率會使得x(n)取值較小,α(n)的取值也相應(yīng)減小,導(dǎo)致自適應(yīng)濾波器在估計稀疏系統(tǒng)時收斂較慢.因此,在低SNR環(huán)境中,應(yīng)該選擇較大的β值,來補償x(n)對時變參數(shù)α(n)取值的影響,從而維持自適應(yīng)濾波器在估計稀疏系統(tǒng)時的收斂速度.在高SNR環(huán)境中,自適應(yīng)濾波器的收斂速度受噪聲影響不大,因此可以使用較小的β值來獲得盡可能小的穩(wěn)態(tài)失調(diào)波動性.(2)對于較長的脈沖響應(yīng)或者相關(guān)性較高的輸入信號,由于自適應(yīng)濾波器在達到穩(wěn)態(tài)前,具有較長的過渡階段,β可以取較大的值來加快自適應(yīng)濾波器的收斂速度.對于較短的脈沖響應(yīng)或相關(guān)性較小或不相關(guān)的輸入信號,自適應(yīng)濾波器收斂較快,β可以取較小的值來獲得盡可能小的穩(wěn)態(tài)失調(diào)波動性.

3　仿真實驗

本節(jié)通過計算機仿真來比較NLMS[1]、IPNLMS[6]、VP-IPNLMS[12]和本文提出的TV-IPNLMS算法在估計稀疏系統(tǒng)時的穩(wěn)態(tài)失調(diào)波動性.待估計系統(tǒng)具有100個系數(shù),除4個系數(shù)外,其他系數(shù)的值均為零,4個非零系數(shù)位于點{1,30,35,85}處,其對應(yīng)的值為{0.1,1.0,-0.5,0.1}.輸入信號u(n)為二階自回歸(AR)隨機過程,由零均值的高斯白噪聲θ(n)通過系統(tǒng)u(n)=0.40u(n-1)-0.40u(n-2)+θ(n)產(chǎn)生.系統(tǒng)噪聲采用零均值的高斯白噪聲.上述條件與文獻[17]中的仿真條件相似.IPNLMS算法的參數(shù)α取為0,相應(yīng)地,TV-IPNLMS算法的時變參數(shù)α(n)的上限φ亦取為0.估計誤差信號功率的平滑因子λ取為0.99.為了比較算法的跟蹤性能,在算法運行到第4000點時,將待估計系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)向右循環(huán)平移12個樣值.采用歸一化失調(diào)作為衡量算法性能的指標(biāo),其定義為ρ(n)=20log10‖wo-w(n)‖/‖wo‖,單位為分貝(dB)[18].

圖2比較了NLMS、IPNLMS和TV-IPNLMS算法在20dB信噪比環(huán)境下的歸一化失調(diào)曲線.三種算法的步長均取為μ=0.3.TV-IPNLMS算法的斜率參數(shù)取為β=4.由圖2可見,IPNLMS和TV-IPNLMS算法比NLMS算法收斂更快,且TV-IPNLMS算法比IPNLMS算法的穩(wěn)態(tài)失調(diào)波動性更小.圖3通過將信噪比增加到30dB來比較三種算法的歸一化失調(diào)曲線.三種算法的步長均取為μ=0.5.根據(jù)TV-IPNLMS算法斜率參數(shù)選取原則,在相同輸入信號作用下,信噪比越高,β的取值越小.因此,在30dB信噪比環(huán)境下,TV-IPNLMS算法的斜率參數(shù)取為β=1.5.由圖3可見,TV-IPNLMS算法仍然優(yōu)于NLMS和IPNLMS算法.

圖4和圖5分別比較了VP-IPNLMS和TV-IPNLMS算法在20dB和30dB信噪比環(huán)境下的歸一化失調(diào)曲線.TV-IPNLMS算法的參數(shù)在不同信噪比環(huán)境下的取值分別與圖2和圖3相同.由于自適應(yīng)濾波器的初始權(quán)值取為w(0)=0,VP-IPNLMS算法無法根據(jù)公式計算稀疏度.為此,本文在VP-IPNLMS算法計算稀疏度的公式中加入了很小的正常數(shù),用來防止數(shù)值計算困難.由圖4和圖5可見,在估計實驗中使用的稀疏系統(tǒng)時,TV-IPNLMS算法比VP-IPNLMS算法的穩(wěn)態(tài)失調(diào)波動性更小.

TV-IPNLMS算法的優(yōu)越性源于參數(shù)α(n)的自動調(diào)整.圖6和圖7分別給出了TV-IPNLMS算法的參數(shù)α(n)在20和30dB信噪比環(huán)境下隨時間變化的曲線.由圖6和圖7可見,在自適應(yīng)濾波的初始收斂階段,參數(shù)α(n)取值較大;隨著迭代的進行,參數(shù)α(n)的取值逐漸減小;在穩(wěn)態(tài)階段,參數(shù)α(n)的取值在最小值-1上方波動,且信噪比越大,波動越小.因此,參數(shù)α(n)隨時間自動調(diào)整的過程符合比例增益取值的要求.

4　結(jié)論

IPNLMS算法在估計稀疏系統(tǒng)時比經(jīng)典的NLMS算法收斂更快,但其穩(wěn)態(tài)失調(diào)的波動性較大.本文提出了一種時變參數(shù)IPNLMS算法來解決上述問題.該時變參數(shù)IPNLMS算法根據(jù)系統(tǒng)的均方誤差與噪聲功率的比值來調(diào)整時變參數(shù)的值,從而達到自動調(diào)整比例增益的目的.仿真結(jié)果表明,在估計稀疏系統(tǒng)時,時變參數(shù)IPNLMS算法穩(wěn)態(tài)失調(diào)的波動性遠小于IPNLMS算法.

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倪錦根男,1979年11月生,江蘇省興化市人.畢業(yè)于復(fù)旦大學(xué),獲理學(xué)博士學(xué)位,現(xiàn)為蘇州大學(xué)電子信息學(xué)院副教授、碩士生導(dǎo)師,IEEE會員.主要研究方向為自適應(yīng)濾波、自適應(yīng)網(wǎng)絡(luò)、多采樣率濾波器組設(shè)計、高速數(shù)字系統(tǒng)的FPGA實現(xiàn).

E-mail:jni@suda.edu.cn

Time-Varying Parameter Proportionate Adaptive Filtering Algorithm

NI Jin-gen

(SchoolofElectronicandInformationEngineering,SoochowUniversity,Suzhou,Jiangsu215006,China)

In hands-free telephones and teleconferencing systems,the echo path to be estimated by the adaptive filter is usually sparse.The improved proportionate normalized least-mean-square (IPNLMS) algorithm can increase the convergence rate of the adaptive filter when it is used to estimate sparse systems.However,the steady-state misalignment of the IPNLMS algorithm may suffer from much larger fluctuations than that of the normalized least-mean-square (NLMS) algorithm.To address this problem,a time-varying parameter IPNLMS (TV-IPNLMS) algorithm is proposed,which uses a sigmoid function to adjust the value of the time-varying parameter according to the ratio of the mean square error (MSE) to the power of the system noise.This time-varying parameter can reduce the proportionate gains of the IPNLMS algorithm when the adaptive filter arrives at steady state.Simulation results show that the time-varying parameter method can reduce the fluctuations of the steady-state misalignment of the IPNLMS algorithms.This algorithm can be used in the fields of echo cancellation,active noise control,and so on.

hands-free telephone;teleconferencing system;proportionate adaptation;time-varying parameter;steady-state misalignment

2015-03-30;

2015-11-12;責(zé)任編輯：覃懷銀

國家自然科學(xué)基金(No.61471251，No.61101217);江蘇省自然科學(xué)基金(No.BK20131164)

TN911.72

A

0372-2112 (2016)05-1208-05

電子學(xué)報URL:http://www.ejournal.org.cn10.3969/j.issn.0372-2112.2016.05.028