褚會(huì)鋒

(菱湖中學(xué)　浙江 湖州　313018)

邱為鋼

(湖州師范學(xué)院理學(xué)院　浙江 湖州　313000)

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電荷擺球平衡問(wèn)題

褚會(huì)鋒

(菱湖中學(xué)浙江 湖州313018)

邱為鋼

(湖州師范學(xué)院理學(xué)院浙江 湖州313000)

分析了電荷擺球平衡問(wèn)題“陷阱”，問(wèn)題來(lái)自兩個(gè)帶電小球相對(duì)位置的特殊性,即位于同一豎直線上.對(duì)于特殊情況，詳細(xì)分析了平衡穩(wěn)定位形和穩(wěn)定性與各參數(shù)的關(guān)系.

電荷擺球平衡穩(wěn)定性

中學(xué)物理力電模塊一個(gè)常見(jiàn)的模型是電荷擺球，一個(gè)帶電小球B固定，另一個(gè)帶電(同種電荷)小球A懸掛，求體系平衡時(shí)的位形.固定小球B，懸掛點(diǎn)O，懸掛小球A這三者位置沒(méi)有限制，可以任意擺放.如果出題者偏要把固定小球放在懸掛點(diǎn)的下方，這時(shí)就會(huì)出現(xiàn)文獻(xiàn)[1]所指出的“陷阱”問(wèn)題，當(dāng)兩個(gè)小球電量完全消失后，用力相似三角形和極限法計(jì)算得到的繩子拉力不一樣.我們先分析一般情況，說(shuō)明“陷阱”問(wèn)題的根源，然后就特殊情況詳細(xì)分析體系平衡時(shí)滿足的條件以及平衡的穩(wěn)定性判據(jù).

設(shè)一般情況下懸掛點(diǎn)為O，擺球?yàn)锳，固定球?yàn)锽，BA連線與O點(diǎn)正下方直線交于點(diǎn)C，如圖1所示.

設(shè)繩子中張力為T，擺球A重力G=mg，兩球庫(kù)侖力為F，繩長(zhǎng)OA=l，OC=h，AC=d,那么由力相似三角形，得到

(1)

與文獻(xiàn)[1]特殊情況不同，這里的h是變化的，當(dāng)兩球電荷逐漸變小到零時(shí)，F(xiàn)→0 ，d→0 ，h→l，T→G，沒(méi)有矛盾，也沒(méi)有“陷阱”.出現(xiàn)“陷阱”問(wèn)題的根源在于題目設(shè)計(jì)得太巧了，固定小球正好在懸掛點(diǎn)的正下方.

圖1　電荷擺球示意簡(jiǎn)圖

我們利用能量(勢(shì)能)方法[2]來(lái)求體系的平衡位形以及判斷平衡位形的穩(wěn)定性. 為簡(jiǎn)單考慮，只討論固定小球B在懸掛點(diǎn)的正下方這種情況.此時(shí)h不變，擺球A與垂直線的夾角是θ，體系的勢(shì)能為重力勢(shì)能和相互作用電勢(shì)能之和

(2)

定義一個(gè)長(zhǎng)度量為

(3)

(4)

由式(4)，求得總勢(shì)能對(duì)偏移角θ的偏微分

(5)

系統(tǒng)的平衡位形對(duì)應(yīng)于E′(θ)的極值點(diǎn)，一般有兩個(gè)，一個(gè)是θ=0，另一個(gè)是以下方程的解

(6)

利用數(shù)學(xué)軟件，很容易在(η,λ)平面上畫出f(η,λ)=1的曲線，如圖2所示.

圖2　參數(shù)(η,λ)上的平衡位形類別分界線

這個(gè)曲線是一個(gè)分界線，在這個(gè)曲線左邊，f(η,λ)>1，式(6)無(wú)解，系統(tǒng)只有θ=0的平衡位形；在這個(gè)曲線右邊，f(η,λ)<1，系統(tǒng)有θ=0和θ=arccos[f(η,λ)]兩種平衡位形.解析計(jì)算表明，在θ=arccos[f(η,λ)]的平衡位形處，量綱歸一化后的總勢(shì)能E′ 近似為開(kāi)口向上的拋物線，意味著這種平衡是穩(wěn)定平衡.在θ=0的平衡位形處，令Δθ=φ，把量綱歸一化后的總勢(shì)能式(4)展開(kāi)到φ的兩次方，得到

(7)

由平衡穩(wěn)定性判據(jù)條件可知，當(dāng)

時(shí)，θ=0的平衡位形是穩(wěn)定平衡；當(dāng)

時(shí)，θ=0的平衡位形是不穩(wěn)定平衡.當(dāng)λ=1時(shí)，即懸線長(zhǎng)度等于懸掛點(diǎn)到固定小球的距離，如果兩個(gè)電荷不變，偏移角θ趨向于零，兩個(gè)帶電小球的庫(kù)侖力趨向無(wú)窮大，系統(tǒng)不可能到達(dá)θ=0的位形.這時(shí)，量綱歸一化的總勢(shì)能為

(8)

總勢(shì)能對(duì)偏移角θ的偏微分

(9)

高中物理各級(jí)各類考題大部分來(lái)自理論模型，理論模型中的物理參數(shù)、數(shù)學(xué)參數(shù)(幾何形狀、空間維數(shù)、相對(duì)位置等)千變?nèi)f化，不能只局限于最簡(jiǎn)單的情形，這樣才能開(kāi)闊思路，提升物理思維的周到緊密性.

1何海明.電荷擺球平衡問(wèn)題的陷阱. 中學(xué)物理教學(xué)參考，2013，42(11):52～53

2黃尚鵬. 用能量的觀點(diǎn)求解平衡問(wèn)題例析. 物理教學(xué), 2014(6)

2016-01-09)