王中林，張寧斌，李秦川，陳巧紅

(浙江理工大學(xué)，a.機(jī)械與自動(dòng)控制學(xué)院；b.信息學(xué)院，杭州 310018)

?

2-UPR-RPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的靜力學(xué)分析

王中林a，張寧斌a，李秦川a，陳巧紅b

(浙江理工大學(xué)，a.機(jī)械與自動(dòng)控制學(xué)院；b.信息學(xué)院，杭州 310018)

2-UPR-RPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)可以實(shí)現(xiàn)2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度及1個(gè)移動(dòng)自由度，文章對(duì)該機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)進(jìn)行了靜力學(xué)分析。通過構(gòu)件矢量法分別對(duì)2-UPR-RPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)分支桿件及動(dòng)平臺(tái)建立靜力平衡方程，再由該并聯(lián)機(jī)構(gòu)桿件小變形原理建立變形協(xié)調(diào)方程，最后統(tǒng)一到動(dòng)坐標(biāo)系中求解該機(jī)構(gòu)在不同運(yùn)動(dòng)算例下的驅(qū)動(dòng)力、約束力隨時(shí)間的變化曲線。結(jié)果表明，該機(jī)構(gòu)繞u軸的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度對(duì)驅(qū)動(dòng)力的影響較大。研究結(jié)果可為2-UPR-RPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析、動(dòng)力學(xué)分析及控制過程實(shí)現(xiàn)等后續(xù)研究提供靜力學(xué)理論基礎(chǔ)。

并聯(lián)機(jī)構(gòu)；少自由度；靜力學(xué)分析

0　引　言

少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)[1]的自由度少于6，與串聯(lián)機(jī)構(gòu)相比，少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度大、運(yùn)動(dòng)精度高、負(fù)載能力強(qiáng)；與6自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)相比，少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)少、易于控制、成本較低，因此少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有更好的應(yīng)用前景[2-3]，已成為當(dāng)下研究的熱點(diǎn)。

機(jī)構(gòu)靜力學(xué)分析在實(shí)際的工業(yè)應(yīng)用中非常重要，許多機(jī)械設(shè)備在實(shí)際應(yīng)用中都需要很強(qiáng)的靜承載力，如機(jī)床定點(diǎn)工作、天文望遠(yuǎn)鏡等。并聯(lián)機(jī)構(gòu)靜力分析是并聯(lián)機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)中重要內(nèi)容，包括驅(qū)動(dòng)力、運(yùn)動(dòng)副上約束力及機(jī)構(gòu)最大載荷等，它是動(dòng)力學(xué)分析、結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、強(qiáng)度校核等的基礎(chǔ)。

目前并聯(lián)機(jī)構(gòu)的靜力學(xué)分析研究已經(jīng)取得一定的進(jìn)展，文獻(xiàn)中所涉及的機(jī)構(gòu)靜力分析方法有螺旋理論法、矢量法、影響系數(shù)法等。Hubert等[4]通過對(duì)機(jī)構(gòu)靜力學(xué)分析來判斷機(jī)構(gòu)奇異邊界。趙燕等[5-6]分析了并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)副上的主動(dòng)力和約束力情況。李永剛等[7]在微分流形理論的基礎(chǔ)上，指出了機(jī)械臂末端執(zhí)行器的廣義力空間。高峰等[8]提出了一種新型機(jī)器人五維力和力矩傳感器，并分析其力學(xué)特性，發(fā)現(xiàn)它的解耦和各向同性。Lu[9]利用虛功原理求解空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)力和被動(dòng)力。周玉林等[10-11]通過拆桿法以及考慮機(jī)構(gòu)微小變形建立并聯(lián)機(jī)構(gòu)的靜力學(xué)模型，分析各運(yùn)動(dòng)副上受力情況。李永泉等[12]通過建立大量的變形協(xié)調(diào)方程對(duì)二自由度冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行靜力全解。艾青林等[13]論述了以剛性桿、柔性桿連接并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)定平臺(tái)時(shí)機(jī)構(gòu)的靜力特性。

本文采用矢量法建立機(jī)構(gòu)的靜力學(xué)平衡方程，并利用構(gòu)件小變形疊加原理建立變形協(xié)調(diào)補(bǔ)充方程，對(duì)3自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)2-UPR-RPU進(jìn)行靜力學(xué)分析，求得該機(jī)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)力及運(yùn)動(dòng)副約束反力隨時(shí)間的變化曲線，以期為該機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析、動(dòng)力學(xué)分析及控制過程實(shí)現(xiàn)等后續(xù)研究提供靜力學(xué)理論基礎(chǔ)。

1　2-UPR-RPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)介

2-UPR-RPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)包含定平臺(tái)、動(dòng)平臺(tái)以及3個(gè)分支，其示意圖如圖1所示。分支1、2為UPR分支，分支3為RPU分支(U表示萬向鉸，P表示移動(dòng)副，R表示轉(zhuǎn)動(dòng)副)。動(dòng)平臺(tái)通過B1、B2處的R副以及B3處的U副與3分支連接在一起；定平臺(tái)通過A1、A2處的U副以及A3處的R副與3分支連接在一起。3個(gè)分支的驅(qū)動(dòng)副為P副，即圖1中bi(i=1,2,3)。機(jī)構(gòu)中動(dòng)平臺(tái)與定平臺(tái)形狀均為等腰直角三角形，即OA1=OA2=OA3=r1、oB1=oB2=oB3=r2。定坐標(biāo)系原點(diǎn)O位于△A1A2A3斜邊中點(diǎn)處，動(dòng)坐標(biāo)系原點(diǎn)o位于△B1B2B3斜邊中點(diǎn)處。

圖1　2-UPR-RPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)示意圖

固定坐標(biāo)系中X軸與OA3重合，Y軸與OA1重合，Z 軸為垂直向下；動(dòng)坐標(biāo)系中u 軸與oB3重合，v 軸與oB1重合，w軸方向根據(jù)右手螺旋法則確定。對(duì)于分支1、2的分支坐標(biāo)系，xi(i=1,2)軸與B1、B2處的R副軸線重合，方向如圖1所示，zi(i=1,2)軸與分支1、2的桿件重合，方向如圖1所示，yi(i=1,2)軸的方向根據(jù)右手螺旋法則確定。對(duì)于分支3的分支坐標(biāo)系，x3軸與A3處的R副軸線重合，方向如圖1所示，z3軸與分支3的桿件重合，方向如圖1所示，y3軸方向根據(jù)右手螺旋法則確定。B1、B2處的R副軸線平行于u 軸，A3處的R副軸線平行于Y軸。此外，αi(i=1,2)表示zi(i=1,2)與w軸之間的夾角，α3表示z3與Z軸之間的夾角。

根據(jù)柴馨雪等[14]對(duì)2-UPR-RPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)奇異性分析可知，該并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有2轉(zhuǎn)動(dòng)1移動(dòng)3自由度。在圖1中，該機(jī)構(gòu)的3個(gè)自由度分別為繞Y軸、u軸的轉(zhuǎn)動(dòng)以及沿移動(dòng)副方向的移動(dòng)。

3　2-UPR-RPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)靜力分析

作用在動(dòng)平臺(tái)上中心點(diǎn)處的力/力矩在動(dòng)坐標(biāo)系o-uvw中可表示為6維力/力矩形式：

Fh= (Thx,Thy,Thz,fhx,fhy,fhz)T

(3)

由于6維力/力矩的作用使得各分支桿件的上部(ui)和下部(si)所受到的力/力矩表示為下列形式：

(4)

其中：i表示分支；ui表示分支上部，即Aibi；si表示分支下部，即biBi；j為ui或si。

通過將分支桿件的ui和si受到的力/力矩簡(jiǎn)化到其質(zhì)心處，得到：

(5)

其中：jc表示ui或si的質(zhì)心位置。

由圖1得分支坐標(biāo)系向動(dòng)坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣，即：

(6a)

(6b)

(6c)

其中：s表示正弦函數(shù)sin；c表示余弦函數(shù)cos。

圖2　分支靜力/力矩示意圖

圖3　分支下部靜力/力矩示意圖

圖4　動(dòng)平臺(tái)靜力/力矩示意圖

由圖2可得AiBi(i=1,2,3)力平衡方程為：

(7)

(8)

A3B3的力矩平衡方程為：

(9)

(10)

si的力矩平衡方程為：

(11)

動(dòng)平臺(tái)處的力/力矩平衡方程為：

(12)

(13)

因此可以得到總共45個(gè)平衡方程，其中有17個(gè)方程中包含主動(dòng)力及約束反力，寫成矩陣形式為：

(14)

4　2-UPR-RPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)數(shù)值算例

選取2-UPR-RPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)尺寸參數(shù)時(shí)，需考慮該機(jī)構(gòu)占地面積、機(jī)構(gòu)平臺(tái)之間及平臺(tái)與桿件之間協(xié)調(diào)性(如定平臺(tái)尺寸大于動(dòng)平臺(tái)尺寸)、實(shí)際的裝配問題等。在本文算例中，參數(shù)值根據(jù)經(jīng)驗(yàn)選取，參數(shù)值選取不同其靜力學(xué)分析結(jié)果不同。為使2-UPR-RPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)靜力求解過程簡(jiǎn)單化、求解結(jié)果容易驗(yàn)證，文中假設(shè)該并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)只受到沿w軸方向的力，即FN=80N，其中動(dòng)平臺(tái)所受的力改變之后，該機(jī)構(gòu)靜力學(xué)求解結(jié)果也將隨之變化。綜上所述，2-UPR-RPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)相關(guān)參數(shù)如表1所示。

表1　參數(shù)值

因?yàn)椴⒙?lián)機(jī)構(gòu)具有3個(gè)自由度，本文用z表示在Z軸上的移動(dòng)，α表示繞u軸轉(zhuǎn)動(dòng)，β表示繞Y軸轉(zhuǎn)動(dòng)。在初始位型處，并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)與定平臺(tái)處于平行位置，動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)o處受到軸向力FN，沿w軸方向。由于機(jī)構(gòu)低速運(yùn)轉(zhuǎn)，所以不考慮機(jī)構(gòu)內(nèi)部作用力，可得：

(15)

4.1算例1

圖　5　算例1示意圖

如圖5所示，在初始位型下該并聯(lián)機(jī)構(gòu)只作垂直向下運(yùn)動(dòng)，所以該機(jī)構(gòu)各分支桿長(zhǎng)長(zhǎng)度一致，即：

(16)

及

(17)

圖6　驅(qū)動(dòng)力及約束反力

4.2算例2

機(jī)構(gòu)處于初始位型，z=z0、β=0、α=30°，改變?chǔ)恋闹?，其中的變化范圍為非全局的。算?示意圖如圖7所示，令vz=0、ωα=6°/s、t= 10s 。

圖7　算例2示意圖

圖8　驅(qū)動(dòng)力與約束反力

4.3算例3

圖9　算例3示意圖

圖10　驅(qū)動(dòng)力與約束反力

4.4算例4

圖11　驅(qū)動(dòng)力示意圖

5　結(jié)　論

a)繞u軸的轉(zhuǎn)角α角對(duì)2-UPR-RPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)力的影響比繞Y軸的轉(zhuǎn)角β、沿P副移動(dòng)量z對(duì)其驅(qū)動(dòng)力的影響更大；

b)在設(shè)計(jì)2-UPR-RPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)時(shí)需要考慮該機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)力較大的情形，由于該并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)副

中的約束反力可能會(huì)出現(xiàn)較大變化，因此該機(jī)構(gòu)的強(qiáng)度校核顯得尤為重要;

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(責(zé)任編輯： 康鋒)

Static Analysis of 2-UPR-RPU Parallel Manipulator

WANGZhonglina，ZHANGNingbina，LIQinchuana，CHENQiaohongb

(a. Faculty of Mechanical Engineering & Automation；b. School of Information Science and Technology, Zhejiang Sci-Tech University, Hangzhou 310018, China)

2-UPR-RPU parallel manipulator has two rotational degrees of freedom and one translational degree of freedom. A static analysis is provided for the structure of mechanism. An equation of static equilibrium was built for the branch rod piece of 2-UPR-RPU parallel mechanism and mobile platform by means of component vector method. Then, a compatibility equation of deformation was established according to the principle of small deformation of such parallel mechanism rod piece. In the end, the change curve of driving force and the binding force of 2-UPR-RPU with time history in a unified moving coordinate system were calculated. The results of this paper show that the driving force of 2-UPR-RPU is greatly affected by the rotational degrees of freedom of the u axis. The research results can provide static theoretical bases for the following researches, such as kinematic analysis, dynamic analysis and control process realization of 2-UPR-RPU parallel mechanism.

parallel mechanism；lower-mobility；static analysis

10.3969/j.issn.1673-3851.2016.05.009

2015-08-30

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51275479)

王中林 (1989-)，男，江蘇連云港人，碩士研究生，研究方向?yàn)椴⒙?lián)機(jī)器人。

陳巧紅，E-mail：chen_lisa@zstu.edu.cn

TP24

A

1673- 3851 (2016) 03- 0372- 07 引用頁碼： 050401