屈改珠

(渭南師范學院 數(shù)理學院,陜西 渭南　714000)

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一類KdV型方程的不變子空間

屈改珠

(渭南師范學院 數(shù)理學院,陜西 渭南714000)

討論了一類KdV型方程的不變子空間，通過分別考慮其二維和三維不變子空間，構造了方程的不同形式的廣義分離變量解，得到了一些方程的尖峰孤子解和爆破解。

不變子空間；KdV型方程；廣義分離變量解；尖峰孤子解；爆破解

0　引言

本文研究一類帶有源項的KdV型方程

ut=F[u]=αuxxx+β(ux)2+γu2，

(1)

當α=β=1,γ=0時，方程(1)成為勢KdV方程

ut=uxxx+(ux)2。

(2)

方程(2)是通過對著名的KdV方程vt=vxxx+2vvx施行變換v=ux而得到的。

不變子空間方法是與廣義條件對稱[1-4]密切相關的構造非線性偏微分方程(組)廣義變量分離解的有效方法之一。下面介紹不變子空間方法及相關定義[5-9]?？紤]一階演化方程

ut=F[u]，

(3)

其中F[u]≡F(x,u,ux,…,ukx)是一個k階非線性微分算子，F(xiàn)(·)是充分光滑的函數(shù)，ukx表示u關于x的k階導數(shù)，由n個線性無關的函數(shù)f1(x),…,fn(x)擴張生成的n維線性空間

其中Ci(t)滿足下面的有限維動力系統(tǒng)：

(4)

從(4)可以得到Wn關于F的不變條件為

(5)

這里用[H]表示方程L[u]=0以及它關于x求各階導數(shù)后的等式.

1　微分算子F[u]容許的不變子空間

我們考慮方程(1)中微分算子F[u]允許的不變子空間，根據(jù)不變子空間理論中的最大維定理，算子F[u]所容許的不變子空間的最高維數(shù)為7，通過計算可知，算子F[u]僅在W2和W3上有非平凡解。

1.1二維不變子空間W2

考慮方程(1)算子F[u]中容許的二維不變子空間W2，W2由如下線性常微分方程定義

L[y]=y″+a1y′+a0y=0，

(6)

則相應的不變條件變?yōu)?/p>

(7)

其中[H2]表示約束條件：L[u]=0及其關于x求導后的等式。經(jīng)計算，(7)式左端為關于變量u,ux的多項式，令方程中各項系數(shù)為0，得到下列方程組

利用maple求解上述代數(shù)方程組，得到其非平凡解：

將其代入到(1)及(6)中，有下面的結果

1.2三維不變子空間

同樣的，我們給出在方程(1)中非線性微分算子F[u]允許的由方程(4)定義的三維不變子空間，W3由如下線性常微分方程定義

L[y]=y?+a2y″+a1y′+a0y=0，

(8)

則相應的不變條件變?yōu)?/p>

(9)

從而(9)式左端為關于變量u,ux,uxx的多項式，令方程中各項系數(shù)為0，得到下列方程組

用maple 求解得到

將其代入到方程(1)及(8)中，有

2　例子

例1考慮方程

(10)

它容許三維多項式不變子空間

其中Ci(t)滿足下面的常微分方程組

求解上述方程組，可得原方程具有尖峰孤子解

c1是任意實數(shù)。

c1,c2是任意實數(shù)。

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The invariant subspaces for a family of KdV-type equations

QU Gaizhu

(School of Mathematics and Physics, Weinan Normal University, Weinan，Shannxi 714000,China)

Invariant subspace of a family of KdV-type equations are discussed.By studying two-dimension and three-dimension invariant subspace, several different types of separation of variables solutions are obtained. Peak solutions and blow-up solutions of some equations are also derived.

invariant subspace；KdV-type equations；generalized separation of variables solution；peak solution；blow-up solution

1004—5570(2016)04-0051-03

2016-04-10

國家自然科學基金資助項目(11371293，11501419)；陜西省重點學科數(shù)學學科基金項目(14SXZD015)；渭南師范學院理工類科研項目(16ZRRC05,13YKF003), 渭南師范學院校級特色學科建設項目(14TSXK02)

屈改珠(1978-), 女,講師，博士研究生,研究方向：偏微分方程，E-mail：qugaizhu.hi@163.com.

O175.29

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