張　杰

(阜陽師范學院數(shù)學與統(tǒng)計學院，安徽　阜陽　236041)

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帶啟動時間和休假延遲的Geom/Geom/1排隊模型

張杰

(阜陽師范學院數(shù)學與統(tǒng)計學院，安徽阜陽236041)

由于在計算機網絡、通訊系統(tǒng)、生產交通領域建模的廣泛應用，離散時間休假排隊成為近年來應用概率的一個研究熱點?？紤]帶休假延遲和啟動時間的Geom/Geom/1多重休假排隊系統(tǒng)，運用QBD鏈和矩陣幾何解等工具，給出過程穩(wěn)態(tài)隊長分布的具體形式，在此基礎上, 推導出平穩(wěn)狀態(tài)下隊長與逗留時間的隨機分解結構，并進一步得到系統(tǒng)在相應狀態(tài)下的概率和穩(wěn)態(tài)指標的均值。

Geom/Geom/1排隊；休假延遲；啟動時間；QBD鏈；矩陣幾何解；隨機分解

離散時間排隊模型由Meisling[1]提出并研究，Hunter[2]系統(tǒng)地給出這類排隊的早期分析成果。由于在計算機網絡、通訊系統(tǒng)、生產交通領域建模的廣泛應用，離散時間休假排隊成為近年來應用概率的一個研究熱點[3-5]。根據(jù)實際應用的特點，文獻[6-7]分別將顧客策略和二次可選服務加入Geom/Geom/1休假排隊，文獻[8-9]研究了帶負顧客的情形，文獻[10-11]將N控制策略引入Geom/Geom/1多重休假排隊系統(tǒng)，并進行了較為深入的研究。

基于節(jié)省能源降低成本的考慮，許多系統(tǒng)實際可能需要一個隨機的延遲休假時間，休假延遲策略由Leung[12]引入并得到關注[13-14]?？紤]到服務臺需要休假，而休假期有顧客達到通常是先啟動系統(tǒng)，文獻[15-16]研究了不同啟動機制下的休假排隊模型。特別地，文獻[17]研究了多重休假的帶啟動關閉期的Geom/G/1排隊，利用嵌入Markov 鏈的方法，得到了排隊指標的隨機分解結構。文獻[18]考慮了離散時間批到達的情形，文獻[19]討論了連續(xù)時間排隊的穩(wěn)態(tài)指標，文獻[20]運用仿真程序對系統(tǒng)性能指標進行統(tǒng)計分析。

本文在離散時間Geom/Geom/1排隊中，提出帶啟動期及休假延遲的多重休假模型，建立擬生滅鏈并運用Netus發(fā)展的矩陣幾何解方法[21]，得到系統(tǒng)的平穩(wěn)隊長分布，并闡明了隊長和逗留時間的隨機分解性質。

1　模型描述

4) 當一次休假結束時，如果系統(tǒng)仍為空，服務臺進入多重休假狀態(tài)。否則，終止休假開始啟動服務臺，一個隨機長度的啟動時間A服從參數(shù)為α的幾何分布，啟動期結束后忙期開始；

5) 達到間隔T，休假延遲時間D，啟動時間A和休假狀態(tài)V之間是相互獨立的，休假的開始與結束均發(fā)生在(n-，n)上。

記Jn=

Ω={(0，0)，(0，1)}∪{(k，j)：k≥1，j=0，1，2}

其中(k，0)(k≥0)表系統(tǒng)有k個顧客且服務臺處于休假期，狀態(tài)(0，1)表示系統(tǒng)在休假延遲期，(k，1) (k≥1)表示服務臺位于啟動期且其中有k個顧客，(k，2)(k≥1)表示系統(tǒng)內有k個顧客且處于忙期。

其中

R=R2B+RA+C

(1)

的最小非負解，其中稱R為率陣。

引理1若p<μ，則矩陣方程(1)的最小非負解

2　穩(wěn)態(tài)隊長分布

π0=(π00，π01)，πk=(πk0，πk1，πk2)k≥1

定理1若p<μ，則{(L+，J)}的穩(wěn)態(tài)概率分布由(2)式給出

(2)

其中

證明由Neuts，有(πk0，πk1，πk2)=(π10，π11，π12)Rk-1，k≥1，且

(π00，π01，π10，π11，π12)滿足(π00，π01，π10，π11，π12)B[R]=(π00，π01，π10，π11，π12).將B[R]代入，得到方程組

記

最后，使用正則條件π0e+π1(I-R)-1e=1，(e是全為1的列向量)可以表出K，

其中(I-R)-1=

由定理1，可得系統(tǒng)平穩(wěn)狀態(tài)下服務臺處于相應狀態(tài)的概率分布：

其中

證明由定理1并經過推導，有

3　逗留時間

定理3在平穩(wěn)狀態(tài)下，當p<μ時，帶有啟動時間和休假延遲的Geom/Geom/1排隊模型中顧客的平穩(wěn)逗留時間W有以下分解：W=W0+Wd，其中W0是經典Geom/Geom/1排隊中顧客的平穩(wěn)逗留時間，附加延遲Wd的LST為

代入上式，得

推論2系統(tǒng)平穩(wěn)狀態(tài)時平均逗留時間為

4　數(shù)值例子

通過以上分析，得到了系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)平均隊長和平均逗留時間的表達式。 由圖1～4可以看出， 當θ=0.3，p=0.4，μ=0.5，圖1～圖2中α=0.6，圖3～圖4中β=0.6時，平均隊長與平均逗留時間都是隨休假延遲時間D的參數(shù)β取值不斷增大而逐步增加，隨啟動時間A的參數(shù)α取值的增大先依次遞減，后都趨于平穩(wěn)。

β圖1　平均隊長E(L+)隨β的變化情況

β圖2　平均逗留時間E(W)隨β的變化情況

α圖3　平均隊長E(L+)隨α的變化情況

α圖4　平均逗留時間E(W)隨α的變化情況

5　小結

本文對帶啟動時間和休假延遲的Geom/Geom/1多重休假排隊模型進行了分析，得到模型轉移概率陣的經典三對角形式，平穩(wěn)條件下的隊長分布表達式，證明了系統(tǒng)排隊指標的隨機分解性質，并給出了穩(wěn)態(tài)時系統(tǒng)在相關狀態(tài)下的概率和附加隊長分布與附加延遲LST的具體形式及均值，最后通過數(shù)值例子給出了平均隊長和逗留時間隨休假延遲時間與啟動時間的參數(shù)的變化情況。這一模型為通信等領域的建模優(yōu)化提供了理論基礎。另外，如何對模型進行推廣和完善使其更具實用性，值得進一步的研究。

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(責任編輯：何學華，吳曉紅)

The Geom/Geom/1 Queue Model with Setup Time and Delayed Vacation

ZHANG Jie

(School of Mathematics and Statistics, Fuyang Teachers College, Fuyang, Anhui 236041,China)

This paper considers a Geom/Geom/1 queueing system with multiple vacation, delayed vacation and setup time. By applying quasi-birth-death chain and matrix-geometric solution method, the analytic expression of the stationary queue length is given. Meanwhile, it has demonstrated the stochastic decomposition structures of the stationary queue length and sojourn time. Moreover, expectation of stationary indices, the steady state probabilities that the system in vacation delay, vacation period, setup time and busy period are calculated respectively.

Geom/Geom/1 queue；delayed vacation；setup time；quasi birth and death chain ;matrix-geometric solution；stochastic decomposition

2016-01-16

國家特色專業(yè)基金資助項目(TS11496)；安徽省高校自然科學研究基金資助項目(KJ2014ZD21，KJ2015A182，KJ2015A191)；阜陽師范學院自然科學研究基金資助項目；教學團隊基金資助(2015FSKJ07，2014JXTD01)

張杰(1981-)，女，安徽淮南人，講師，碩士，研究方向：隨機運籌學。

O226

A

1672-1098(2016)03-0032-06