江蘇省張家港市第二中學(xué)　陳曉芳

淺析中考中的三大類特殊圖形旋轉(zhuǎn)問(wèn)題歸類剖析

中學(xué)階段涉及三種基本的全等變換,分別是平移、旋轉(zhuǎn)和翻折.這些全等變換具有如下的基本特征和解決思路:圖形在變換前后的基本性質(zhì)不變,分析這些圖形變換時(shí),對(duì)給定的圖形進(jìn)行某種位置變化以后,在變化過(guò)后的圖形中分析有關(guān)圖形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.這類問(wèn)題的共同特點(diǎn)是:考查該知識(shí)與其他知識(shí)之間的聯(lián)系,解題靈活多變,注重考查學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力;結(jié)論也相對(duì)開(kāi)放,注重考查學(xué)生的推理、猜想、探索能力.

對(duì)于三種基本的全等變化,以旋轉(zhuǎn)變換考查的力度最強(qiáng),出現(xiàn)的相關(guān)試題也最多.根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義:在平面內(nèi),將一個(gè)圖形繞一個(gè)定點(diǎn)沿某個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度成為與原來(lái)相等的圖形叫做圖形的旋轉(zhuǎn),這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心,圖形轉(zhuǎn)動(dòng)的角稱為旋轉(zhuǎn)角.圖形旋轉(zhuǎn)時(shí),圖形中的每一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的角都相等,都等于圖形的旋轉(zhuǎn)角.下面就來(lái)剖析一下中考中的旋轉(zhuǎn)類問(wèn)題的幾種基本考試模型.

一、正三角形類型

在等邊△ABC中,P為三角形內(nèi)一點(diǎn),將△ABP繞A點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°后得到AB與AC重合.通過(guò)以上的變化過(guò)程,將圖1中的PA、PB、PC三條線段變化成圖2中的一個(gè)△P′CP中,此時(shí)△P′AP也應(yīng)該為等邊三角形(正三角形).

圖1

圖2

二、正方形類型

在正方形ABCD中,P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn),將△ABP繞B點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°,使得BA與BC重合.經(jīng)過(guò)如下變化:將圖3中的PA、PB、PC三條線段變化成圖4中的△CPP′中,此時(shí)可以得到等腰直角三角形△BPP′.

圖3

圖4

三、等腰直角三角形類型

如圖5,在等腰直角三角形△ABC中,∠C=90°,P為△ABC內(nèi)一點(diǎn),將△APC繞C點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°,使得AC與BC重合.經(jīng)過(guò)這樣旋轉(zhuǎn)變化,在圖6中的一個(gè)△P′CP為等腰直角三角形.

圖5

圖6

圖7

例1如圖7,正方形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)P,∠PAD=∠PDA=15°,連接PB、PC,請(qǐng)問(wèn):△PBC是等邊三角形嗎?為什么?

解析:解決問(wèn)題的關(guān)鍵是得出∠PCD=∠PBA=30°,由前面的分析過(guò)程可得,如果將△APD繞點(diǎn)D逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°,使A與C重合,這個(gè)問(wèn)題就得到很好的解決了.由此可知,旋轉(zhuǎn)變化作為幾何變換中的最常見(jiàn)的變換情況,它一般先會(huì)對(duì)給定的圖形進(jìn)行相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)變化,通過(guò)改變位置產(chǎn)生新的情況,然后在新出現(xiàn)的圖形中分析相關(guān)圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系,從而揭示出解決問(wèn)題的一般方法,最終完美地解決問(wèn)題.

例2(2015年黑龍江省齊齊哈爾市)如圖8,在正方形CGEF和正方形ABCD中,點(diǎn)B、C、G在同一條直線上,AE的中點(diǎn)為M,延長(zhǎng)DM交EF于點(diǎn)N,連接FM,可得DM= FM,DM⊥FM(證明過(guò)程不必書寫).

(1)在圖9中,當(dāng)點(diǎn)B、C、F在同一條直線上時(shí),延長(zhǎng)DM交EG于點(diǎn)N,其余條件不變,請(qǐng)你思考一下線段FM與DM存在怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系?寫出猜想,并進(jìn)行證明.

圖8

圖9

(2)在圖10中,當(dāng)點(diǎn)E、B、C在同一條直線上時(shí),延長(zhǎng)DM交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,不改變其他條件,探究線段DM與FM有怎樣的關(guān)系?直接寫出你的猜想.

分析:本題考查了圖形的證明,涉及正方形的性質(zhì)、三角形全等的判定及性質(zhì),解題的關(guān)鍵是通過(guò)構(gòu)造全等三角形,實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)化及等腰三角形三線合一性質(zhì)的應(yīng)用.可以先證明△MAD≌△AEN,得到DM=MN;再證明△DCF≌△NEF,得到DF=FN,應(yīng)用等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到DM⊥FM.

解:(1)在圖9中,關(guān)系為DM=FM,DM⊥FM.

圖10

圖11

證明如下:如圖11,連接DF、NF.

因?yàn)樗倪呅蜛BCD和四邊形CGEF都是正方形,

所以AD∥BC,BC∥GE,所以AD∥GE,

所以∠DAM=∠NEM.

因?yàn)镸是AE的中點(diǎn),所以AM=EM.

因?yàn)椤螦MD=∠EMN,所以△MAD≌△MEN.

所以DM=MN,AD=NE.

因?yàn)锳D=CD,所以CD=NE.

因?yàn)镃F=EF,∠FCD=∠FEN=90°,

所以△DCF≌△NEF.

所以DF=FN,∠CFD=∠EFN.

因?yàn)椤螮FN+∠CFN=90°,

所以∠CFD+∠CFN=90°,即∠DFN=90°.

所以DM=FM,DM⊥FM.

(2)圖12中,連接DF、NF、MF.

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形,所以AD∥BC.

所以∠ADM=∠ENM.

因?yàn)镸是AE的中點(diǎn),

所以AM=EM.

因?yàn)椤螦MD=∠EMN,

所以△MAD≌△MEN.

所以DM=MN,AD=NE.

因?yàn)锳D=CD,所以CD=NE.

因?yàn)椤螰CD=∠DCB+∠BCF=90°+45°=135°,

∠FEN=180°-∠BEF=180°-45°=135°,

所以∠FCD=∠FEN.

因?yàn)镃F=EF,所以△DCF≌△NEF.

所以DF=FN,∠CFD=∠EFN.

因?yàn)椤螮FD+∠CFD=90°.

所以∠EFN+∠CFD=90°,即∠DFN=90°.

所以△FND為等腰直角三角形.

因?yàn)镸N=MD,所以DM=FM,DM⊥FM.

圖12

通過(guò)以上中考實(shí)例的解答,再聯(lián)系一下圖形的旋轉(zhuǎn)思想,是否有更為簡(jiǎn)單的做法呢?不妨動(dòng)手試一試.通過(guò)這個(gè)中考實(shí)例,可以看到旋轉(zhuǎn)變化的本質(zhì)就是抓住變化前后的不變性給予解決.