江蘇省徐州高級中學(xué)　李賀

數(shù)學(xué)課堂中的"技"、"藝"、"道"*

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準(2011年版)》中明確指出: "數(shù)學(xué)在應(yīng)用方面需要大力加強,鼓勵學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的規(guī)律和問題解決的途徑,使他們經(jīng)歷知識的形成過程."可見,追求課堂的高效是每個老師都應(yīng)關(guān)注的問題.《基于初中生學(xué)習風格與個體差異性的"做、學(xué)、教"學(xué)習模式的研究》課題組曾多次進行這方面的研究.筆者作為該課題的主持人,結(jié)合多年的教學(xué)經(jīng)驗,發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)課堂上的"技"、"藝"、"道"的貫徹到位是應(yīng)當大力提倡的,本文就以一節(jié)公開課"一次函數(shù)與二元一次方程"為例與同行進行交流,談?wù)勛约旱淖龇ê腕w會.

一、技:追求課堂的寬度和厚度

"技"即為手藝、才能、本領(lǐng),筆者認為在數(shù)學(xué)課堂上可將其定義為基礎(chǔ)知識、基本技能有沒有使學(xué)生掌握到位.一節(jié)新授課,教師必須理解教學(xué),理解教學(xué)目標,讓學(xué)生經(jīng)歷提出問題---思考探究---分析解決的過程,才算真正把"技"貫徹到位.

以下為筆者在課堂上貫徹"技"的做法.

師:前面的課我們學(xué)習了一次函數(shù)圖像的畫法,下面請同學(xué)們在平面直角坐標系中,畫出一次函數(shù)y=-x+3的圖像,并在直線上標出任意三個點,寫出相對應(yīng)的坐標.

生:我找的三個點的坐標為(0,3)、(1,2)、(3,0).

師:請你將三個點的坐標換一種語言,轉(zhuǎn)換成我們熟悉的形式,比如(0,3)可以轉(zhuǎn)換成當x=0時,y=3.

生:(1,2)、(3,0)分別可以轉(zhuǎn)換成當x=1時,y=2;當x=3時,y=0.

師:換個角度來研究,式子y=-x+3大家其實十分熟悉,雖然它現(xiàn)在是一次函數(shù),但我們對它早就了解,以前它叫什么?

生:二元一次方程.

師:當x=0時,y=3滿足于二元一次方程y=-x+3嗎?當x=1時,y=2;當x=3時,y=0呢?

生:均滿足.

師:不同的式子說不同的話,既然滿足于方程,那我們要寫成怎樣的形式?

師:一次函數(shù)y=-x+3的圖像上有多少個點?難道大家找的都是這三個點嗎?有不同的點嗎?(學(xué)生積極舉手,說出自己所找的點的坐標)

師:這些點的坐標寫成解的形式是方程y=-x+3的解嗎?

生:是的!

師:你有什么發(fā)現(xiàn)?

生:一次函數(shù)圖像上任意一點的坐標都對應(yīng)著二元一次方程的一個解.

師:請寫出方程y=-x+3的任意三個解,把這些解寫成點的坐標形式,并在平面直角坐標系內(nèi)標出這些點. (學(xué)生動手操作,并在平面直角坐標系內(nèi)標出)

師:你發(fā)現(xiàn)這些點在哪兒?

生:點在直線上.

師:直線很多條,精確一些.

生:在一次函數(shù)y=-x+3的圖像上.

師:如果再找?guī)讉€解,寫成點的坐標形式,你覺得這些點還在這條直線上嗎?

生:是的!

師:以前二元一次方程的解是一組數(shù),現(xiàn)在卻能看得見了,你有這樣的感覺嗎?你又有什么發(fā)現(xiàn)呢?

生:以二元一次方程的解為坐標的點都在對應(yīng)的一次函數(shù)的圖像上.

師:能用一句通俗易懂的話來總結(jié)上面兩個發(fā)現(xiàn)嗎?

生:二元一次方程的解與相對應(yīng)的一次函數(shù)的圖像上的點的坐標一一對應(yīng).

師:請再畫出y=x-5的圖像,為了節(jié)省紙張,我們畫在同一個平面直角坐標系內(nèi)(為后面的活動埋下伏筆).

(學(xué)生畫好后,仿照之前的發(fā)現(xiàn)敘述一次對應(yīng)關(guān)系)

師:既然y=x-5與y=-x+3的圖像在同一平面直角坐標系中,那就來研究一下吧,這兩條相交直線上有無數(shù)個點,老師覺得有一點很值得研究,你覺得呢?

生:交點很有研究價值.

師:價值在哪兒?

生:它對應(yīng)著方程組的解.

師:交點會是一個方程組的解嗎?交點不就是一個點嗎?

生(有些著急):講錯了,是交點的坐標.

師:請解釋一下.

生:因為交點既在y=x-5的圖像上,又在y=-x+3的圖像上,所以這個點是公共點,按照之前的發(fā)現(xiàn),公共點的坐標對應(yīng)公共解,也就是說這個點的坐標既符合方程y= x-5,又符合方程y=-x+3,也就是公共解,兩個方程的公共解就是方程組的解,所以這個交點的坐標就是對應(yīng)的方程組的解.

分析:本節(jié)課的教學(xué)目標為知道一次函數(shù)與二元一次方程的關(guān)系,會用一次函數(shù)的圖像求二元一次方程組的近似解.此片段的教學(xué)遵循學(xué)生"具體---抽象---具體"的認知規(guī)律,使學(xué)生在具體的情境中感知一次函數(shù)與二元一次方程之間存在的密切聯(lián)系,再上升到一次函數(shù)的圖像與二元一次方程組的解之間的關(guān)系,通過觀察、分析等數(shù)學(xué)活動,以及連貫而巧妙的師生對話,抽象、概括出一系列結(jié)論,"逼"出了學(xué)生的思想,讓學(xué)生的思維主動"跳"了出來,對知識的理解準確到位,可謂是"技"貫徹成功.

二、藝:追求課堂的效度和深度

"藝"即為準則、法度、限度,筆者認為在數(shù)學(xué)課堂上可將其定義為有沒有將知識講清楚.一節(jié)新授課,必須理解學(xué)生,尊重學(xué)生的認知規(guī)律,讓學(xué)生清晰地認識到這節(jié)課的知識脈絡(luò),理清知識間的相互聯(lián)系,才算真正把"藝"貫徹到位.

以下為筆者在課堂上貫徹"藝"的做法.

師:在同一平面直角坐標系中,兩條直線一定有一個交點嗎?

生:不一定,如果兩個一次函數(shù)的圖像有一個交點,即兩直線相交,則二元一次方程組有唯一解,交點的坐標就是相對應(yīng)的二元一次方程組的解;如果兩個一次函數(shù)的圖像有無數(shù)個交點,即兩直線重合,則相對應(yīng)的二元一次方程組有無數(shù)組解;如果兩個一次函數(shù)的圖像沒有交點,即兩直線平行,則相對應(yīng)的二元一次方程組無解.

分析:此片段旨在反饋學(xué)生對之前一次函數(shù)的圖像與二元一次方程組的解之間的關(guān)系理解是否全面,掌握是否深刻,該處學(xué)生的回答比書本的結(jié)論還要完整,充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)結(jié)論是在不斷完善中形成的,學(xué)生給予的回答應(yīng)當高度的贊賞.事實上,學(xué)生認識事物的順序總是把特殊的事物作為認識的出發(fā)點,認識這些事物的具體屬性,然后在此基礎(chǔ)上抽象、概括,逐步擴大到認識同類事物一般的、普遍的本質(zhì),此環(huán)節(jié)是上一環(huán)節(jié)的延續(xù),通過特殊去發(fā)現(xiàn)一般,再從一般回到特殊,以形成規(guī)律性的認識,最終再用一般去解釋特殊、理解特殊,雖然此處只是一小段對話,卻精彩無比,可謂準確到位貫徹"藝".

三、道:追求課堂的難度和高度

"道"即為本源、規(guī)律、境界,筆者認為在數(shù)學(xué)課堂上可將其定義為有沒有"追魂",將知識進行拓展,達到知識的學(xué)有所用,學(xué)以致用.一節(jié)新授課,必須理解數(shù)學(xué)課的終極目標,尋找"靈魂"所在之處,達到知識的拓展,經(jīng)驗的遷移,才算真正把"道"貫徹到位.

圖1

以下為筆者在課堂上貫徹"道"的做法.師:如圖1,觀察圖像,方程組的解為_______.生:解為

師:解釋一下.

生:通過上面的發(fā)現(xiàn)知道交點的坐標就是方程組的解.

師:我們上面講的是二元一次方程組的圖像解法,而這個圖像所表示的好像不是一次函數(shù)吧?你又有什么發(fā)現(xiàn)?

生:如果兩個函數(shù)的圖像有交點,那么交點的坐標就是對應(yīng)的方程組的解,可將其擴展為通過交點來求二元高次方程組的解.

生:用圖像法試試吧!

師:對于消元法,雖然有時候很簡單,但遇到不會解的方程你就無從下手了,而圖像人人都可以試著畫,多找一些點圖像就會越精確,那我們用圖像法試試看.

為了節(jié)省時間,筆者用幾何畫板展示了兩個函數(shù)的圖像,并清晰地找到了交點,顯然方法是可行的.

分析:此片段旨在將一節(jié)課學(xué)到的方法和收獲的經(jīng)驗靈活自如地運用,解決更多的問題,事實上,學(xué)生的學(xué)習過程不僅是一個接受知識的過程,而且也是一個發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的過程,通過這節(jié)課的學(xué)習,學(xué)生知道了二元一次方程的圖像解法,類似的經(jīng)驗驅(qū)使學(xué)生去探索、自主研究更多的二元高次方程的圖像解法,這就是今天學(xué)習的價值,達到了經(jīng)驗的遷移,追了本節(jié)課的"靈魂"所在,可謂成功貫徹"道".

四、"技"、"藝"、"道"的思考

從數(shù)學(xué)的內(nèi)涵看,義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程最基本的特點就是基礎(chǔ)性、普及性和發(fā)展性,這是我們進行數(shù)學(xué)教學(xué)的基本出發(fā)點.堅持基礎(chǔ)性,關(guān)注義務(wù)教育階段中最為基礎(chǔ)的基礎(chǔ)知識和基本技能,即教會學(xué)生在學(xué)習數(shù)學(xué)和運用數(shù)學(xué)解決問題的過程中掌握最為重要的、必須掌握的核心觀念與思想方法、基本概念和常用技能,此為一節(jié)課的"技";堅持普及性,關(guān)注不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上的不同發(fā)展,即遵循學(xué)生的認知規(guī)律,注重過程,講清楚一節(jié)課的前前后后,此為一節(jié)課的"藝";堅持發(fā)展性,關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)的終身發(fā)展,讓數(shù)學(xué)學(xué)有所用,學(xué)以致用,即追根溯源,探其根本,此為一節(jié)課的"道".

從數(shù)學(xué)教學(xué)的角度看,數(shù)學(xué)是學(xué)習者個人建構(gòu)的過程,他們帶著自己原有的知識背景、活動經(jīng)驗和理解開始學(xué)習活動,并通過自己的主動活動,包括獨立思考和與他人交流等,去建構(gòu)對數(shù)學(xué)的理解,故教師應(yīng)遵循九字方針:"技"而實、"藝"而清、"道"而遠.在"技"的運用上,應(yīng)該以夯實為根本宗旨,循序漸進,不要操作過急,多給學(xué)生時間和空間去思考、研究的機會;在"藝"的運用上,應(yīng)該以理清為根本宗旨,正反對比,環(huán)環(huán)相扣,多給學(xué)生聯(lián)想、敘述的機會;在"道"的運用上,應(yīng)該以深遠為根本宗旨,探則深究,挖到根本,多給學(xué)生運用、拓展的機會.

當然,"技"、"藝"、"道"的全面貫徹需要教師很強的課堂駕馭能力,所以需要長期的研究和探索,這樣才能更好地讓學(xué)生在課堂中一步步將知識內(nèi)化,從而認識數(shù)學(xué)的特點,把握其規(guī)律,真正讓課堂"高效"起來.

*本文系江蘇省教育科學(xué)"十二五"規(guī)劃2013年度立項課題《基于初中生學(xué)習風格與個體差異性的"做、學(xué)、教"學(xué)習模式的研究》(課題批準號:E-c/2013/041)的階段性成果.